新教材高中数学高效作业28对数函数的图象及性质的应用（含解析）新人教A版必修

04/403/4/对数函数的图象及性质的应用[A级新教材落实与巩固]一、选择题1．若log3a<0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b)>1，则(D)A．a>1，b>0B．0<a<1，b>0C．a>1，b<0D．0<a<1，b<02．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为(D)A.B.C.D.3．下列函数中，在(0，2)上单调递增的是(D)A．y＝logeq\f(1,2)(x＋1)B．y＝log2eq\r(x2－1)C．y＝log2eq\f(1,x)D．y＝logeq\f(1,\r(2))(x2－4x＋5)【解析】选项A，C中的函数为减函数；(0，2)不是选项B中函数的定义域；选项D中，函数y＝x2－4x＋5恒大于零且在(0，2)上单调递减，又eq\f(1,\r(2))<1，故y＝logeq\f(1,\r(2))(x2－4x＋5)在(0，2)上单调递增．4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(B)A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4【解析】当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝eq\f(1,2)(舍去)；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝eq\f(1,2).5．函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(log\f(2,3)x)))的单调递减区间是(B)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))B．(0，1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递减区间为(0，1].6．eq\a\vs4\al(【多选题】)若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出的下列四个函数中，与函数y＝log2x是“同形函数”的是(BD)A．y＝2log2(x＋1)B．y＝log2(x＋2)C．y＝log2x2D．y＝log2(2x)【解析】y＝log2(x＋2)的图象沿着x轴向右平移2个单位，得到y＝log2x的图象，y＝log2(2x)＝1＋log2x的图象沿y轴向下平移1个单位后得到y＝log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选BD.二、填空题7．函数y＝3x(x≥2)的反函数g(x)＝__log3x，x∈[9，＋∞)__.8．若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)满足f(x)<0，则实数a的取值范围是__(2，＋∞)__，函数f(x)是__增函数__(填“增函数”或“减函数”).【解析】由x∈(－2，－1)，得0<x＋2<1.又log(2a－3)(x＋2)<0，所以2a－3>1，解得a>2，函数f(x)是增函数．9．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是__eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))__．【解析】由题意及f(log4x)<0，得－eq\f(1,2)<log4x<eq\f(1,2)，即log44－eq\f(1,2)<log4x<log44eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)<x<2.10．函数y＝logeq\f(1,2)(x2－6x＋17)的值域为__(－∞，－3]__．【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，因为y＝logeq\f(1,2)t为减函数，所以y＝logeq\f(1,2)t≤logeq\f(1,2)8＝－3.11．已知函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是__(－4，4]__．【解析】二次函数y＝x2－ax＋3a图象的对称轴为x＝eq\f(a,2)，由已知，有eq\f(a,2)≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a＞0，))解得－4＜a≤4.三、解答题12．已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)(a＞0，且a≠1).(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)求满足f(x)＞0的实数x的取值范围．解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下：根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋x＞0，,2－x＞0，))解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由f(x)＞0得loga(2＋x)＞loga(2－x)，①当a＞1时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜2，,2＋x＞2－x，))解得0＜x＜2；②当0＜a＜1时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜2，,2＋x＜2－x，))解得－2＜x＜0.综上可知，当a＞1时，x的取值范围是(0，2)；当0＜a＜1时，x的取值范围是(－2，0).[B级素养养成与评价]13．eq\a\vs4\al(【多选题】)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(ABC)A．f(4)＝－3B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y＝f(x)的最小值为－4D．函数y＝f(x)的最大值为4【解析】A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值，故选ABC.14．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系为__a＝b>c__．【解析】由题意得a＝eq\f(3,2)log23，b＝log232－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)log23>eq\f(3,2)，c＝log32<1，故a＝b>c.15．判断函数f(x)＝log2(x＋eq\r(1＋x2))的奇偶性．解：要使函数有意义，需满足x＋eq\r(1＋x2)>0，所以x∈R，故函数的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＋f(x)＝log2(－x＋eq\r(1＋x2))＋log2(x＋eq\r(1＋x2))＝log2(1＋x2－x2)＝log21＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即该函数为奇函数．16．已知函数f(x)＝lg(3x－3).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解：(1)由题意得，3x－3>0，解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞).因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以值域为R．(2)因为h(x)＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝