2021北京朝阳高三一模数学（教师版）

17/172021北京朝阳高三一模数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合，0，1，2，，，则A．，1，2， B．，2， C．， D．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么A． B．1 C．2 D．43．（4分）已知等差数列的前项和为，，，则A．0 B． C． D．4．（4分）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数A． B． C． D．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．6．（4分）在中，若，则A． B． C． D．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为A．2 B． C． D．8．（4分）在中，“”是“为钝角三角形”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，则为坐标原点）的最小值为A．8 B． C． D．610．（4分）在棱长为1的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直．当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是A．1 B． C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）12．（5分）已知函数则；的值域为．13．（5分）已知向量，，，，且，，则向量的坐标可以是．（写出一个即可）14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入万元．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，2，3，，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点．给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若则不存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）写出能确定的三个条件，并求的解析式；（Ⅱ）求的单调递增区间．17．（13分）如图，在四棱锥中，是边的中点，底面，．在底面中，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对，两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：地区地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户2019年人均年纯收入未超过10000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从地区和地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．19．（15分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点为椭圆上异于，的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．（15分）已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若直线与曲线相切，求证：．21．（15分）设数列，，，，若存在公比为的等比数列，，，，使得，其中，2，，，则称数列为数列的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列，6，12，24的一个“等比分割数列”；（Ⅱ）若数列的通项公式为，2，，，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围；（Ⅲ）若数列的通项公式为，2，，，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，0，1，2，，，所以，2，．故选：．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得值．【解答】解：的实部与虚部相等，．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】先由题设求得，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：，，又，由等差数列的性质可得：，，故选：．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆截直线所得弦的长度为，可得弦心距为：，所以：，解得．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．【分析】根据题意，由双曲线的离心率可得，由双曲线的几何性质可得，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在轴上，其渐近线方程为，又由其离心率，则，则，即，则其渐近线方程；故选：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若，所以，由于，所以．故选：．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以：，，，，故选：．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若为钝角，则，为锐角，，解得．若或为钝角，则成立．（2）若成立，假设或为钝角，则为钝角三角形．假设，都为锐角，，解得为钝角，则为钝角三角形．综上可得：在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件．解法二：为钝角三角形．在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件．故选：．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．【分析】不妨设为第一象限内的点，坐标为，由抛物线的定义可得，解得点的坐标，设点关于直线的对称点为，由对称性可得，即可得出答案．【解答】解：不妨设为第一象限内的点，坐标为由抛物线的方程可得焦点，则，解得，所以，所以点关于直线的对称点为，故，当且仅当，，三点共线时，等号成立，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当在点时，平面，平面截正方体所得的截面面积：是最大值；当与重合时，平面，平面截正方体所得的截面面积：是最大值当由向移动时，平面截正方体所得的截面，由向移动，当到的中点时，取得最小值，如图此时为的中点，为的中点，在底面上的射影为，是的中点，此时，可得，同理可得，可证明平面，，，，四边形是菱形，所以平面截正方体所得的截面面积：．故选：．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】求出展开式的通项，然后令的指数为2，求出的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为，令，解得，所以的系数为，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出，利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：，当时，，此时，当时，，则，即此时，综上，即函数的值域为，故答案为：1，．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量，，，，且，，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是，．故答案为：，．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．【分析】由题意知，每售出1万件商品获利8万元，可得售出万件商品的总获利为，设，利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件商品获利8万元，售出万件商品的总获利为：，设，则，令，即，解得，当时，，函数在，单调递增，当时，，函数在上单调递减，则当时，函数取得极大值，即最大值，要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于，令，2，3，，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点．对于①，当时，，因为直线与只有一个交点，故①正确；对于②，，时，，由，可得，，，，不满足当时，，所以不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，，当时，恒成立；当时，，，，当时，，符合题意，所以存在周期为3的周期点，故③错误；对于④，，所以，即，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件④，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件③，可得，结合范围，可求，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件④，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件④，所以函数只能满足条件①，②，③，由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件③，可得，，，，，，又因为，所以，所以．（Ⅱ）令，，，的单调递增区间为，，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）先证明四边形是平行四边形，即可得到，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形中，因为，，是的中点，则，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）连结，因为平面，所以，，又因为点时的中点，且，所以，因为，，，所以四边形是正方形，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，0，，，1，，，1，，，0，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件：从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此（C）可以估计为；（Ⅱ）设事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，的可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012所以的数学期望为；（Ⅲ）设事件为“从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件是随机事件，（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）由题意可得的值，再由离心率及，，之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程，由题意可得直线的方程，与联立求出的坐标，将直线的方程与椭圆联立求出的坐标，进而求出直线的方程，与联立求出的坐标，设以为直径的圆的方程过点，可得数量积，求出的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得，，，解得，所以椭圆的方程为：，且焦点坐标，；（Ⅱ）设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线，的交点，所以，，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，可得，，即，，因为，直线的方程为：，联立，解得：，，由题意可得，设，，所以，，，，由题意可得以线段为直径的圆过点，所以，所以，，，可得，①，要使①成立，，解得：，，或，，所以的坐标或．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和相切，得到，结合的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ），