2019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编：数列

9/92019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编数列一、单选题1．（2021·北京十五中高三期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则（

）A． B． C．10 D．152．（2020·北京·北师大二附中高三期中）年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．年，英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余，且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A． B． C． D．二、双空题3．（2021·北京十五中高三期中）数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______.4．（2020·北京·景山学校高三期中）已知数列满足，，且，则__________，其前项和__________．5．（2019·北京·101中学高三期中）复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为____，这张纸的面积之和等于____.三、解答题6．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知数列的前n项和为Sn，满足．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．7．（2021·北京四中高三期中）数列满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.(1)若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；(2)记，若证明：；(3)若，求n的最小值.8．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.9．（2021·北京师大附中高三期中）对于数列，定义设的前项和为.（1）设，写出；（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②.求所有满足条件的数列的个数.10．（2020·北京市第一六一中学高三期中）已知数列的首项其中，，令集合.（1）若，写出集合中的所有的元素；（2）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（3）求证：.11．（2020·北京市第一六一中学高三期中）已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．12．（2020·北京·北师大二附中高三期中）已知等比数列{an}满足a3=12,a8=记其前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若Sn=93

，求n.

参考答案1．C【分析】根据等比数列的性质得，由对数运算化简即可．【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且所以.故选：C．【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2．B【分析】由题意可知是的倍数，则，代入求值即可.【详解】解：由题意可知既是的倍数，也是的倍数，即是的倍数，则，故．故选:B.【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查运算能力，属于基础题.3．

8

【解析】由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果.【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列，所以，即，解得；所以，故答案为：8，.4．

【详解】∵，，∴数列是等差数列，且公差，又，∴，∴．答案：(1).

(2).点睛：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．5．

【解析】由题设条件逐一得出纸张的长和宽，进而得出的面积，再由纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，由求和公式得出这张纸的面积之和.【详解】根据题意，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，所以的面积为纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，所以这张纸的面积之和等于故答案为：；6．(1)证明见详解；(2)【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.（1）①②①-②得，即，变形可得，又，得故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，.（2）令，则当或时，，当时，又，，因为不等式对任意的正整数恒成立，，解得.7．(1)②③(2)证明见详解(3)1008【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；（2）由反证法证明即可；（3）由（2）得出一个，证明满足题意，即可得到的最小值，(1)由题可知，数列必满足：或1，对任意i，j，都存在s，t，使得，且两两不相等，对①，，不满足，故①不符合；对②，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；(2)证明：当时，设数列中1，2，3出现的频次为，由题意知，，假设时，，（对任意），与已知矛盾，故，同理可证，假设，数列可表示为：，显然，故，经验证时，显然符合，所以，，，数列的最短数列可表示为：，故；(3)由（2）知，数列首尾应该满足，假设中间各出现一次，此时，显然满足或1，对或时显然满足（）；对，或时显然满足（）；对，时，则可选取，满足；同理若，，则可选取，满足；如果，则可取，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，故的最小值为10088．(1)(2)【分析】（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，运用通项公式可得，，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和.(1)解：（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，由，，可得，；即有，，则，则；(2)解：，则数列的前n项和为.9．（1），，，；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据题意代入可得答案；

（2）必要性：有，，将两式作差，得；充分性：若对任意，有，则，可得证；（3）不妨假设中，有项，项，项，建立方程组，解之可得项中组，且满足，从而求得答案.【详解】解：（1）因为，，，，，根据题意可得，，，.

（2）必要性：对，有，因此.

对任意且，有，，两式作差，得，即，因此.

综上，对任意，有.充分性：若对任意，有，则，所以.综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”.

（3）已知，即中，不妨假设中，有项，项，项，则，且，所以项中组，且满足，，所以可知与固定，且项中有一项为，所以共有个；10．（1）4，5，6，2，3，1；（2）{,}；（3）证明见解析.【解析】（1）由，利用递推关系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前面项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；（2）设出数列中的一项为，若是3的倍数，则有；若是被3除余1，由递推关系得到，若被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到符合的形式，再保证满足≤2020即能求出答案；（3）分被3除余1，被3除余2，被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项≤3，然后分别由，，进行推证，最终证得1∈A.【详解】（1）因为，，，，，，，集合的所有元素为：4，5，6，2，3，1.（2）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.所以，该7项的等比数列的公比为.又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得因为，所以或.由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2020的各项只有：或,或,所以首项的所有可能取值的集合为{,}.

（3）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2，则由已知可得,,；若被3除余0，则由已知可得,；所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.因为，所以.

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）若,结论得证.若,则；若,则,所以.【点睛】本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题.11．（1）；；（2）.【解析】（1）首项求出，然后求出，然后可得；（2）分别算出数列、的前项和即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得，解得．

所以．

设等差数列的公差为，由题意得．所以．从而．

（2）由（1）知．数列的前项和为；数列的前项和为．

所以，数列的前项和为．12．(1)；(2)5.【分析】（1）设出等比