导数在研究函数中的应用教案

--函数与导数第１2课导用书～32页,即导

理解,能利用导数研究函数掌握法.会.(选编)函xx32-33x＋的单调28为＿_____＿＿_＿.:(-1析:2303－11)(x1)x+1)<0-１，11可--

--(选修3)f(ｘ)＝aｘ在x=１处取34ａe，０,为f′(x)＝e

（选修22Ｐ习题８)数y=ｘ+sｉｎ，x∈[0,２34为________．]:由y0所y=ｘnx在[π]上是［0)数＝－ｘ_______.

＋ｌnx2,+∞)上是-ｆ′(x-x＋＼ｆ0在[2∞)上恒成立x2［2+∞(选修２例）用长０ｃ为35,9０°成_______cm时,容大:１xcｍ,即xcｍ,该(90-2ｘ８－2ｘ３２+10８０x)，０<x<--

１2，12(x2

---46x＋３2(x-１)(x3６)0<x<V′＞当1０＜2时,V′<０所(０，]上［1０，12）上是减函数，故当ｘ时,V最大．函(ｂ,函果f′(x)>0＝f(x)数;果f′(x)<０，那么函数y＝f(x)函()

(x）ｘ=ａ处的函数f(a)比它在点要小，数（x)在点ｘ＝b处的值f(ｂ)比它在点x＝b要，值极小(求程f）=0,当f′(ｘ）时，0如附侧单调递增侧单调递减,那f(x)是极大0０值在附近左侧单调递减侧单调递增那么ｆ(x)是0函--

--(1)

I内x使得对任意０

x∈If(x)≤f(ｘ)，f(ｘ)ｆ００域I内得对的x∈I,总f(x)x)称f(ｘ0０0

)数值(2)y＝f(ｘ)在［a,b]上的最大值与最小值求数y=ｆ(x)在（的极值．将数y=f(x)的各ｆ)f(ｂ）比中值最大的一，值最小的一个是最小是:

错

错!

错!错误导例已知函数

－1.(1)时求f(x)的单调区间；(2)若f(x)集R上单()是a，使f（x)在－出a围由.:（a=3(ｘ3

-３ｆｘ

３2－,解1ｘ1，--

--f(ｘ为(1，+∞,求f(x)的单为1）.f′(x

.ｆ集R上单f′(x)≥恒成立即３x

≥02

)min3x2的０∴ａ≤0(3）假数使f(x)在1)上f′(x)≤在(-１,即a≥3x2

又3x[0，,∴a≥存在实数a使f(ｘ）1)减且错!(1）已知函数f(x错误!xmlｎx1ｍ时，(ｘ）的单调性(2)x)＝-误!错!误!＋blｎx在(1,+∞数,求实数ｂ的取值范围．:错!,ｆ′(x)x误!+(m－)错!＝错!<ｍ≤0时,′(ｘ)>０,得0<x＜-mx>1′(ｘ)<0,得-m<x＜函数f误误!，单是误!；≤-1,同,函数f（x)的单调递增区间是错误!和--

--错!是错误(2)由f（ｘ)=－误!错!误!+ｂlnx，得（)=-(ｘ-2)f(b,x),知f′(x)≤即误!误!0错误!上恒成≤错误!错误,当∈错误!时错!∈误!,∴ｂ导数例2设数f(ｘ＝

ｅx∈Ｒ）1)若ｂ=－２求数f(x)值(2）若x=1ｆ(x)的一点用a表示,函数x)＝２＋1４)ｅ＋4［12得f（)g(|<1成12∵＋ｘ，

f′(x)=(２+ａｘ＋(x

)exxｘ＋a=2f（ｘ）=（2+2ｘ-2)efｘ2＋ｅx,′(x)＝得(x２＋４x)ｅx＝0，e∴得x=－或x=０,f′()

(,-4)+

-4

(-，）-

(0，＋∞+--

--

f(x)

当x=－4时数f(ｘ）取极大值，f(x)极大值

e(2)由(知f′(x)＝[x２＋（2+a)x+(ａ+b)]e

ｘ=１f(x）的一个极值点ｆ(1)=０,+(２＋a)+（)]＝得3－2ａ由①知f′(x)=e

x[x

2

+(2+)x+(－=e

x－ａ)]时f(ｘ间1)上的单调递减(14)上单调增,函间,为f（(a＋2)e.f(0)=b＝－3－,f(４4

>０,ｘ［4］上的值域是［f(1)]，[－(a＋2)e，(2a＋

4

]．

+14)e

间[04]上是增函数，且它在区[04］是[（+14)e(２＋14)e8],(a(2a＋13）

2－2ａ1)e4

a-1)

0存、０,4］使得f(ξ）-ｇξ须11

４

-（３

４

(ａ1)2

e

４

(ａ-１)

２

f(1，e

4

)1－错!＜＋错误!错!数f(xx

３

+ｂx

2

－ｘR)在=－处取得--

--(1)数f(ｘ式(

间[2，x，都1２有f（xf(xｃ数c12(1)

′(x)=３ax+2b3．,得误!即误!解误!以f(ｘ)=x－2)f′(x）＝即3x

2

-3＝0x＝±1．2,－x

(１)1

1２)f′(x）

+

+

f(x)

-

为f(-１)＝2f(1)=-当x∈[－２2］时x)（x）=-２．min

2，ｍａx[－２,2]上任意两个自变量的值x，f(x)11f）|f(ｘ2

ｍ

f=4≥4．ax以c4．导例

图所示cm,起使、B、D四--

--,E、F在AB上是被切去的等腰直角三点设cm.()某（ｍ2

大x应取何(2)３)最,试(12

4x2

２

4０ｘ

2

(0<x<3０)，所以＝15cm时侧(2)Ｖ=(误!x)2错误2ｘ错!30-ｘ,V＝错!－x)＝0得x,当0<x<20时,V;当２x<3０时V递２0时V最大，,包装盒的高与底面边长的比值为错误!错!错!此.经预２,相邻两个桥墩之间的距离均为x(ｘ万元，假设所有桥墩都视为素记为y(1）于--

--(2)当＝１2８0米使y小:根建误!个桥墩误!段桥面工程．(1)y=256误!＋误!（1+错!错!＋m＋２5６错!2)1=1误+15３6，y′8０误!,令y＝０,,当0＜x<６<０当x>６4y′＞当x＝，有,此建:需个桥墩才能使y最小．（本题模准满1４)数f(x)=ｌ-aｘaR(1）求函数f（x)间(2)当a>0数f(x）[１.①知函数解,实质是求f′()>0，f(x)＜０间域;先f(ｘ[12]上性再确值;数a，要对参数论:解:1)f′-a(x>0).(1分当′(x)＝误!-a≥(是(０∞．)--

aa--aa当令f＼f(１，ｘ)-a=０，得f(1)，当0<x＜误!时ｆ（错!>０,当x>错误f′(x)＝错!＜以函数ｆ(ｘ是误!调减区间误!.(6分(2）当≤1,即a≥时f(ｘ）在区间[１,2]上是减函数以f(ｘ是f(2)＝ｌn2－2a.（当≥即0<ａ≤,函fｘ)在区间[，2]上数以f（x)的最小值是ｆ）=－<错误!即误!<1数f（x)在区间误!上数间误!上又－f（＝ln<a<ln2时最是当l≤a<1ｆ(2）＝ln2－2a.（当时，最小值是－ａ；当ln2ｌn2－２a(2０１３新课)数x使2ｘ(xa)<1则是__＿:(－1，∞)因为ｘ(ｘ-a)<1以--

令x-＼f(１２x）

xx（x）

--－xｌf（ｘ)在(０，∞,以f(0)=0－１＝１,a（-1+∞).(2０)若函数f(x）＝x2

＼在误!上数则是__＿____．:f′(x)=2x＋a-＼f(1,x)≥错!上恒成立，即错!－2x在错误!上恒成立.令)＝误!-2x，求导可)在错!上３所以a≥201３末)已知函数f(x(R)间[４,则＝________．:：（ｘ)=＼(1，错!=错!，令)=０,则x=-ｍ，当x<-m时′,单调递当x>－时f′（ｘ)＞０，f(x)单调递增．若－≤即m≥－(ｘ)=f(1)＝－1，mi<－ｍ≤,m<-1x)=ｆ(-m)min＝lｎ（－ｍ)+1，令ln（,得－3

－,-1);若-,即,f（）＼f(m,e),令１误!=4得3eｉ意.综上所述，ｍe.(2０）设函ｌnx.()()

数f（x间f(ｘ)有两个足的若方程f(x)＝x、,求证：′1--

--错!＞０(1)解:′(x)x－(a－2)－误错!＝错误!（x＞时,f′(x）,函数f(x)在（0)数f(x)的单（0,∞a>0时f0x＞误!x)＜00<x＜误!数f(ｘ）的单调增区间错,单调减区间误!．(2)解:由1）得,若函数f(ｘ（x)值f错误－

alｎ误0．－4>0.h(a)＝４ln－4()上为,０,＝4ln误!-1=ln错误(23h(a)=０.00a>a,h（当0<a<ah(a)<0.0ａ=３时,f3)=3(2-ln3）,f(1）0，所以,f（x）点.数a的为3．():因为x程f(ｘ）＝c的两根(1）１设0＜<xx错误!－(a-２-ａlnx＝x误!ａ－１２2x-ａｌnｘ２误!－－2)x－错!(ａ-２)·11--

１1--１1＝0，２x＼o,+误!-２ｘ＝ax+ａln-aｘ－1112alnx2２以a=误!错!,当x∈误!时(ｘ０,当x∈误!时f′(x)＞f(ｘ+x错!即可12明+x>错!,１２x２(x+x)(l-lｎ错误!2x错－1２2x,22x－2ｘｆ(x,x)<２x12

2f(ｘ,x）（ｔ<1)．1令g(t2，+1)g＼f(1，－错误=＼f((t－

t＋2

).为t＞以g′(t)≥ｔ=,(t)=０以(+∞又g(１当∈（1)，总成.所以原题得证．如果于x程ax+错误!=3(，)解数a的为___＿___.:a≤0a=2--

--ａx+错误３,a=误!－误!令t＝f(ｔ)＝t∈()．f(t)的图象f(2当x1)时递增mxｘ∈(1，＋∞,f(t)递减,所≤０或

数f(x)=lｎｘ－＼（＋f(x）(0,数则的是_＿＿____.:a≤2）=错!≥在（,+∞立易得≤y2

=x和ｙ＝

x

M、Ｎ，则当段MN时的为＿:＼(

M(a2ａ2-lｎ

,a)，Ｎ（Ml=|a

ln|由l′=2－误!=误!＝误!，令l′>0得l=ａ在错误增令l′<0l＝

2在错!上单调递减以=错!时,段MN的长值.已知函数fx）(aｘ2+x）ｘ，中是数R.(1）＜时,解不等fｘ)＞０;若f(ｘ[－１,]上是单调函数围;--

--3)当时数k程f（)x+２在[kk]上有解(1)

x＞0，式f（x)＞0x2＋a＜x错误!<0，所）为误!．2)f′(x）＝（＋x＋（2＋x)e[a２＋(2a+1)x＋1］

ｘ当=0时，x)＝(x+１)e

xf′（x)≥在[－，＝时取,故当时，g(x）aｘ2

+(２,因

2４4ａ0以x)＝0根x、x12设x>x,因f(x)有极大值又有极小值ａ为-1)·ｇ)1２-,所f(ｘ(－1点[11,可x>0>x，因g(ｘ下要使f(x）在11]上因为ｇ必须满误!即误!所以－误!≤ａ≤0.综上可知，是错误()0,为x=x+2，由于ｅx以