新教材高中数学集合与常用逻辑用语.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学案（含解析）新人教A版必修

04/505/5/1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定[目标]1.能正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定；2.知道全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[重点]能够正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．[难点]全称量词命题和存在量词命题的否定在形式上的变化．知识点一全称量词命题的否定[填一填][答一答]1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题吗？提示：是，因为全称量词的否定一定是存在量词，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题．2．用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．知识点二存在量词命题的否定[填一填][答一答]3．为什么存在量词命题的否定一定是全称量词命题？提示：因为对“有的”，“存在一个”，“至少一个”等词语的否定是“都没有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题．4．“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”有什么区别与联系？提示：(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2)与一般命题的否定相同，全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对全称量词命题和存在量词命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词．全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反；存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．类型一全称量词命题的否定【例1】(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0(2)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”[解析](1)全称量词命题的否定是存在量词命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0”，故选D.(2)全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”．[答案](1)D(2)?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0全称量词命题的否定形式与判断真假的方法：?1?求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p?x?否定为绨p?x?.?2?若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.[变式训练1](1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则(C)A．绨p：?x∈A,2x∈B B．绨p：?x?A,2x∈BC．绨p：?x∈A,2x?B D．绨p：?x?A,2x?B(2)命题“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是(B)A．?x0>0，eq\f(x0,x0－1)≤0 B．?x0>0,0≤x0≤1C．?x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．?x<0,0≤x≤1解析：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，将“?”改为“?”，“2x∈B”否定为“2x?B”，即绨p：?x∈A,2x?B.(2)∵eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴命题“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”，故选B.类型二存在量词命题的否定及真假判定【例2】写出下列存在量词命题p的否定绨p，并判断绨p的真假．(1)p：?x0<0，x0＋eq\f(1,x0)＋2<0.(2)p：有一个质数含有三个正因数．(3)p：存在实数m0，x2＋x＋m0＝0的两根都是正数．[解](1)绨p：?x<0，x＋eq\f(1,x)＋2≥0.当x＝－2，x＋eq\f(1,x)＋2<0，所以绨p是假命题．(2)绨p：每一个质数都不含有三个正因数，绨p是真命题．(3)绨p：对任意实数m，x2＋x＋m＝0的两根不都是正数．假设x2＋x＋m＝0的两根x1，x2都是正数，则必须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2>0，,x1x2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0，,－1>0，,m>0，))此不等式组无解，所以不存在实数m0，使x2＋x＋m0＝0的两根都是正数，命题p为假命题，所以绨p为真命题．存在量词命题的否定形式与判断真假的方法：?1?求存在量词命题的否定命题，先将存在量词调整为全称量词，再对性质p?x?否定为绨p?x?.?2?由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.[变式训练2]写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)?x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.解：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“?x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决.[变式训练3]若命题“?1≤x≤2，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围．解：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为y＝x＋m图象在x轴上方，所以m＋1>0，即m>－1.类型四素养提升对全称量词命题和存在量词命题的否定不完全【例4】已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，写出绨p.【错解一】绨p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2≥0.【错解二】绨p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.【错因分析】该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，但错解一得到的绨p仍是存在量词命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定．错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．【正解】绨p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.【解后反思】对含有量词的命题进行否定时，(1)牢记全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定；也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定．(2)牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确．[变式训练4]已知命题p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则绨p是(C)A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0解析：利用全称量词命题的否定是存在量词命题求解．命题p的否定为“?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0”1．命题：“?x∈R，都有x2－x＋1>0”A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0B．?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1>0C．?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1≤0D．以上均不正确解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故选C.解析：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题．3．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是?x∈R,3x2－2x＋1≤04．命题p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋5<0是存在量词命题(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是假命题(填“真”或“假”)，它的否定为绨p：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.解析：命题p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋5<0是存在量词命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.5．写出下列命题p的否定绨p，并判断命题绨p的真假．(1)p：?x∈R，x2＋x＋1>0.(2)p：?x0，y0∈R,eq\r(?x0－1?2)＋(y0＋1)2＝0.解：(1)绨p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0.由于x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以绨p为假命题．(2)绨p：?x，y∈R，eq\r(?x－1?2)＋(y＋1)2≠0.当x＝－y＝1时，eq\r(?x－1?2)＋(y＋1)2＝0，所以绨p为假命题．——本课须掌握的两大问题1．对全称量词命题的否定以及特点的理解：(1)全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的