2021-2022学年江苏省宿迁市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省宿迁市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.某工厂生产/,B,C三种不同型号的产品，某月生产力,B,C这三种型号的产品

的数量之比为现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，己知8种型号

的产品被抽取30件，则“的值为()

A.1B.2C.3D.4

C

［分析］根据分层抽样抽取的比例一定计算即可

30_a

【详解】由题意，60-1+a+2,解得。=3

故选：C

2.已知数据4与，…，*。的极差为6,方差为2,则数据2为+1，2》2+1,…,2占0+1的极差

和方差分别为()

A.12,8B.12,4C.6,8D.6,4

A

【分析】极差为最大数与最小数的差值，建立新旧数据极差之间的关系即可；利用方

差计算公式，可以计算新数据方差，为旧数据方差4倍.

［详解］不妨看则与一芭=6,

且2玉+1W2工2+1工…(2玉0+1(2%0④1-2xj+1=12

所以数据2占+1，24+1，-,，2%+1极差为12.

数据2演+1,2*2+1,…,2%+1的方差为:

521(24+1)-(21+1)『+--+［(2.%+1)-(21+1)『

10

4［(力］亍2+…+(X［0亍)］

=8.

故选：A.

3.已知平面向量£3满足历上1,01^+26),则向量£2的夹角为()

乃乃2乃3兀

A.3B.4c.3D.4

D

利用“.9+2"=°求出再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.

［详解］***a（°+2』）,「.a•（a+21）=0,gpa+2a-b=0,.\ab=-1

/-或a-h—1V2—__34

•-8却向=丽=因=一下但距［0,句,：《,6〉=T.

故选：D.

4.我们通常所说的4B,。血型系统是由4B,。三个等位基因决定的，每个人的

基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于

父亲和母亲，其中//,为/型血，BB,8。为8型血，Z8为型血，。。为

。型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为I。，AB,则孩子的基因型等可能的出现

/4"民"。,8°四种结果，已知小明的父亲和母亲的血型均为型，不考虑基因突变,

则小明是8型血的概率为（）

1111

A.2B.4c.8D.16

B

【分析】根据给定条件写出小明所有可能血型，从而得到答案.

【详解】因小明的父亲和母亲的血型均为N8型，则小明的血型可能是AB,BB,

其中型包括两种情况，因为BB,8°为8型血，则小明是B型血的概率为7,

故选：B

5.已知加，〃是不重合的直线，％民7是不重合的平面，则下列说法正确的是

（）

A.若a，则a〃夕B.mua,nua,m〃（J,n/，贝产〃夕

C.若a_L/?,m_L力，贝ij机〃aD.m//a,mczj3,aC\/3=n?则加〃〃

D

【分析】A选项可以举反例，B选项考查面面平行判定定理，C选项漏了条件，D选

项即为线面平行性质定理.

【详解】对于选项A,垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；

对于选项B,根据面面平行判定定理，直线“，"应为相交直线；

对于选项C,直线机可能在平面。内；

对于选项D,恰好为线面平行的性质定理.

故选：D.

6.已知圆锥的侧面积为3万，它的侧面展开图是圆心角为丁的扇形，则此圆锥的底面

半径为（）

A.拒兀B.1C.冗D.2

B

【分析】设圆锥的底面半径为,，母线长为人再根据题意列式求解即可

Inr_2n=3

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为乙则万〃=3万，—"T,即1/=3'解

得厂=1

故选：B

.（5*1<7）

sina+——=—cos2a----

7.若I12J3,贝|jI6J的值为（）

4724y/27_7

A.9B.9C.9D.9

D

0=a+-2a--=20-^

【分析】设12,再表达出6,从而根据诱导公式与二倍角公式求

解即可

0-a+—a=0--2a一匹=2。一包一工=2。一%sin0=-

【详解】设12,则12,故666，故3,

、cos（2a-?J=cos（20-^）=-cos20=2sin28-1=

故选：D

8.在A/8C中，BO=2OC,过点。的直线分别交直线于M,N两个不同的

点，若在=在奇，就=〃丽，其中“，〃为实数，则评+4/的最小值为（）

9

-

4C25

B.D.

c

【分析】利用加、前表示出而，再利用M，°，N三点共线得到机=3-2〃，再把

/+4/转化为关于〃的式子，即可求出最小值.

【详解】•••丽=2反

..AO=LAB+-AC=-AM+—AN

3333

三点共线

/,—m।--2-n=1«

33即〃7=3-2〃

3丫9

.-.W2+4/J2=（3-2«）2+4M2=8〃2-12"+9=8

"~4）+2

9

故/+4］的最小值为2

故选：c.

二、多选题

9.下列各式中值为万的是（）

3tan15°

A.2sin75°cos75°B.1-tan215°

C.cos20°cos400+sin200°sin140°D.tan200+tan250+tan20°tan25°

AC

【分析】选项A逆用二倍角的正弦求值；选项B逆用二倍角的正切求值；选项C逆用

两角和的余弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.

2sin75°cos75°=sin（2x75°）=—

【详解】解：因为2,故选项A正确;

—3tan1L5°=-3x―2tan―15°=43。。=正1

w—

因为1-tan215°21-tan2150222,故选项B错误;

cos20°cos40°-sin20°sin40°=cos600=—

因为2,故选项C正确;

因为…（2。。+25。）=黑嘉高，整理得，tan20/an250+tan2（nan25一,故

选项D错误;

故选：AC.

10.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式

ek=cosx+isinx（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重

要的地位，被誉为“数学中的天桥“，已知复数4=e'”,Z2=e",Z3=e'"在复平面内

对应的点分别为乙，Z3,且e*的共朝复数为e&=e士，则下列说法正确的是

（）

eix+e*

cosx=--------

A.2

B.》表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限

c.e*，+e%+e%=匹+霹+1

D.若乙,Z?为两个不同的定点，4为线段Z|Z2的垂直平分线上的动点，则

ACD

【分析】根据共物复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.

［详解］解：对于A选项,•••e"=cosx+isinx,e*=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx

/.ew+e.“=2cosx,

e_ix+.e-ix

cosx=----------

则2,选项A正确;

对于B选项，e2i=cos2+isin2,

71

2<<),cos2<0,sin2>0,

•-e2'表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误;

eLr,+elV2+eu?=(cos玉+cosx+cosx)-(sin+sinx+sinx)i

对于C选项,2323

eLt|+elt2+e"3=(cos再+cosx+cosx)-(sinx+sinx+sinx)i

则23}23

u,u,-1X2U3

..e+e%+e%=e~+e+e-=(cos玉+cosx2+cosx3)-(sin+sinx2+sinx3)i

Je访+e”+已出=e»|+e%+e%,选项C正确；

对于D选项，％-zJ可转化为Z|与Z：两点间距离，"-ZJI可转化为Z?与4两点间距

离，

由于Z，为线段ZZz的垂直平分线上的动点,

根据垂直平分线的性质可知Z'与Z3两点间距离等于Z2与4两点间距离,

则|z「Z31Tz2-Z31，选项D正确.

故选：ACD.

11.下列说法中错误的是()

A,若c,则】〃I

B.若=且则b=c

____4

C.已知1。1=6,|司=3,“4=12,则Z在刃上的投影向量是5

D.三个不共线的向量04°民℃满足

可备品卜丽儡+篇M,隔+篙h则。是18c的外

心

ABD

【分析】对A,举反例3=6判断即可;

对B,根据数量积的运算分析即可；

对C,根据条件可得c°s但力，进而根据投影向量的公式求解即可；

利至+0]=0

对D,根据口'用\CA\）,结合数量积的公式可得N0/8=N04C,再同理判

断即可

【详解】对A,若加=°,则“泌乙但£〃工不一定成立，故A错误;

对B,若1人%.且70,贝涧眄〈词叩附8s触即

限”词第c°s（词，并不能推出的，故B错误；

对C,因为内=6店=3,二明明牺s«,%12,故小叫=；所以£在江的投

RH叫

影向量是।,故C正确；

利理+2]=0刀.至_=就.至

对D,r团|CJ|J,则\AB\]叼，故

画阔—啊图cosZOAC

故cos/OZ5=cos/O4C,所以

NOAB=NOAC,即A在NB47的角平分线上，同理A在43C,N8O的角平分线上,

故A为A/BC的内心，故D错误;

故选：ABD

12.已知正三棱柱"8C-44G的棱长均为2,点。是棱上（不含端点）的一个动

点.则下列结论正确的是（）

A.棱4G上总存在点E,使得直线4E〃平面"OG

B.D的周长有最小值，但无最大值

C.三棱锥"一。℃外接球的表面积的取值范围是

D.当点。是棱84的中点时，二面角"一0G-c的正切值为岳

ABC

【分析】对A,在上取一点尸使得“/〃"同,从而可得“与〃。尸判断即可；对

B,展开侧面“8CG。，根据两点之间线段最短可得°的周长有最小值，结合。

是棱8A上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C,取4G中点N/C中点

M,连接网并延长，交正方形4G。的外接圆于P0,分析可得外接球直径即为

△。尸。的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D,分别求得A到平面℃G的距离3

A到线段"G的距离"，再求二面角的正切值即可

【详解】对A,在'G上取一点尸使得防〃,4,则跖〃阳，当跖=与。时，

则有平行四边形瓦刀片，散EB'"DF,则直线AE//平面/£»G,故A正确；

对B,如图展开侧面/8CCQ,易得当。在"G与的交点时/O+OG取得最小值,

因为。是棱8片上（不含端点）的一个动点，故℃无最大值,

故°的周长有最小值，但无最大值，故B正确;

对c,由题意，三棱锥“一”℃外接球即四棱锥O-4G。的外接球，

取4G中点中点“，连接MN并延长，交正方形4G。的外接圆于PQ,

则PQ=4c=2V2,易得平面DPQ1平面A.C.CA

根据外接球的性质有外接球的球心在平面。尸°中，且为AOP。的外接圆圆心.由对称

性,

可得当。在中点时，NPDQ最大,此时外接球直径最小.

*DPJ行+方=5

sinZ.DQP=—j==l===—^=sinZ.DQPy/3-75

此时《旧+应”，故外接球直径垂）

S=4加/?2=（2R）~%="万„

此时外接球表面积3.当。在8或者4点时,

三棱锥”一外接球即正三棱柱ABC~48c的外接球，

此时外接球的一条直径与AA'和"BC的外接圆直径构成直角三角形,

AB28

（2*+M

T

此时外接球直径,此时外接球表面积

S=4TR2=（2火丫万二型乃

3.因为点。是棱84上（不含端点）的一个动点,

25乃28乃

故三棱锥"一。GC外接球的表面积的取值范围是13'3

故C正确;

对D,设A到平面小G的距离为方,则由3%"'一/也,

—x2x2x/；=—x2x2xV3,r-

即22,故"=J3.设A到线段的距离”,

则

hV3715

d-2^^-h2=~l^=~

解得石，故二面角"一0G-C的正切值为“5，故D错

误；

故选：ABC

三、填空题

13.已知向量0=（百，l）》=（O，-l），c=化百），若125与"平行,则实数4=

【分析】根据"一2E与"平行，利用共线向量定理求解.

【详解】解：因为向量£=（G，i）I=（o，-i），"=（%，K）,

所以a-25=(6,3),

又因为£-2%与工平行,

所以女=近百,

解得％=1,

故1

14.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下

（单位：cm）.

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,

170,171,x,176,178,若样本数据的85百分位数是173,则无的值为

175

【分析】根据百分位数的意义求解.

^^=173

【详解】第85百分位数是173,因为20x0.85=17,所以2x=175

故175

15.蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边

形房孔组成.由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的

内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”.2022年五一节假日

前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留

念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练.他们所乘的返回

舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料•，现取其表面中一个正六边形"8COE尸，它的的边长

为2,若点尸是正六边形的边上一点，则万•历的取值范围是.

[-1,0]

【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，求出万•比的表达式，结合表达

式的几何意义即可求得答案.

【详解】如图，以/为坐标原点N8,分别为x2轴建立平面直角坐标系，

则40,0),。(2,2回，设正六边形48CDE厂的中心为此则“。，扬，

设点P(x,N),则沟=(-x,-y),而=(2-x,2百-y),

22

^^-P5-(-x,-y)-(2-x,273-y)=(x-l)+(y-73)-4)

而(x-4+(y-表示点P(x,y)和M(l,G)的距离的平方，

即(x-l)2+(y-G)2=|PM『，而|PM|e[G,2],

当P位于边的中点处取最小值，位于顶点处取值大值，

故(为一杼+⑶-内尸耳尸知隹⑶勺，

所以莎・丽=(x-l)2+(y-Ji)2-4e[-l,0],

故[TO]

16.在“2C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若6(tan/+tan8)=2ctan巴且

G是AZBC的重心，ABAC=2,贝/就I的最小值为.

空法

33

【分析】利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对"tanA+tanB)=2ctan8化简可求

.7T,'=1———■‘一•

A=-----------AG=-(AB^AC)

出3,再由48-/C=2,得6c=4,由G是A/8C的重心，可得3

平方化简后结合基本不等式可求得结果

［详解】因为伙tan4+tan8)=2ctan8,所以btanZ=(2c-b)tan8,

sin4..D、sin5

sinB--------=(2smC-smB)---------

所以cosJcosB,

因为sinBwO,

所以sin4cos8=2sinCcosA-sin5cosA

所以sin/cos8+sin8cos4=2sinCeos/,

所以sin(4+3)=2sinCcos4,即sinC=2sinCcos力，

.「八cosA=-

因为smCw°,所以2,

A=%

因为“e(0"),所以3,

因为"就=2,

becosA=becos—=2

所以3,所以历=4,

因为G是A/8C的重心，

AG=-(AB+AC)

所以3,

AG=-(AB+AC)2=-(AB+2ABAC+AC)

所以919、

ii12

=-(c2+4+b2)>-(2bc+4)=—

999,当且仅当b=c时取等号,

所M考

,当且仅当6时取等号,

।_।26

所以h可的最小值为亍,

2名

故3

四、解答题

17.已知复数4满足2Z1=l+3i+4

(1)求㈤;

Z2

(2)若复数Z2的虚部为2,且马在复平面内对应的点位于第四象限，求复数Z2实部〃的

取值范围.

(1)区|=a

⑵。＞2

【分析】(1)设Z|=x+M(xwRje/?),代入24=l+3i+4,利用复数相等求解;

至

(2)设Z2="+2i,先化简4,再利用复数的几何意义求解.

【详解】⑴解:设Z|=x+W(xe\"R),

则2(x+W)=l+3i+(x-yi),

即2x+2yi=(l+x)+(3-y)i,

J2x=l+x卜=1

所以诲=3-匕解得5=1,

则4=l+i,

从而㈤=拉；

⑵设Z2=°+2i,

z?a+2i。+22-a.

——=-----=-----1-----1

则41+i22

z2

因为马在复平面内对应的点位于第四象限，

所以12,

解得。＞2.

m-(4sin2—-l,cos|--x||,n=(1,2)

18.己知向量［2U})

⑴求函数的最小正周期；

/C13.,小12

/ccH—=—,sin(a-/7)=---

(2)已知风尸均为锐角，(6J513,求sin(2a-£)的值.

⑴2万

_j6

⑵65

【分析】(1)利用余弦的二倍角公式和两角差的余弦公式以及辅助角公式化筒解析式,

由周期公式可得答案；

(2)利用同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式求解即可.

【详解】(1)由/(乃=切.〃知

/(x)=4sin2-^--l4-2cos=2(1-cosx)-l+2(cosxcosy+sinysinx

^sinx-lcosx

=1+22sinf+1

=1-cosx+Visinx22

T=—=2TT

1

函数的最小正周期为2万；

•二134

f[a+l=2sina+l=—sina=一

⑵5A5

cosa=Vl-sin2a=-

因为,所以5

7171

a-P-

因为,所以

"夕=昌,0

因为sin(a-6)<0,所以

cos(a一6)=yjl-sin2(a-J3)=得

所以

所以sin(2a—4)=sin[(a-J3)+a]=sin(a-f3)cosa+cos(a-/3)sina

1235416

=------x——|------x—=-------

13513565

19.在中，角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,在

tzsinC=ccosA--

①I6；②(〃+6+c)3+c-q)=3bc两个条件中任选一个，补充在下

面问题中(将选的序号填在横线处),

3寂

a=-----

已知2,

(1)若4,求6

(2)求△48C面积s的最大值.

⑴选①或②，都有°=3

27力

⑵8

A=­

【分析】（1）若选①，根据两角差余弦公式得到3,若选②，根据余弦定理得到

A=-

3,再利用正弦定理求解即可.

（2）利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可.

【详解】（1）若选①

cosZ+'sin/

asinC=ccosA--asinC=c

(62

,贝IJZ

sin4sinC=sinC—cos71+-sinJ

(22—sin^sinC=—sinCeos

所以）,即22

由Cw(O㈤,Ze(O,7t),得sinC>0,cos力w0

,汽

A=—

可得tan/=G,所以3

若选②

(。+b+c)(b+c-〃)=3bc,22

则从+c-a=bc

h2+c2-a.兀

cos/=/e(O,w),得“一§

所以2bc2,由

-2-_--=--b--

.71.71

sin—sm—,

△ABC中,由正弦定理34,可得b=3.

222

(2)^ABC中，a=b+c-2hccosAf

浮b»2=bc+^2bc

所以I)，即4

-27,3瓜

be<—b-c------

解得2,当且仅当2取等号.

01,.V3,“276

S=—besinA=——be<-------

所以面积248,

,3a2773

所以当一一2时，面积S取得最大值8.

20.庚子新春,“新冠”病毒肆虐，他强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控

的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教'’的通

知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上

环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所

示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

频率

a

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于

50分的人数：

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

2

(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为3,

3

乙复赛获优秀等级的概率为“，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学

复赛获优秀等级的概率.

(1)2人

220

(2)平均数为71,中位数为亍

11

⑶12

【分析】(1)先根据各矩形的面积之和为1,求得再根据各层的人数比例抽取；

(2)利用平均数和中位数公式求解：

(3)法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解；法二：利用

对立事件的概率求解.

［详解］（1）解,由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+Q）x10=1

得”0.03,

因为0.01x10x200=20（人）,0.015x10x200=30（人）.

5x———=2

所以不高于50分的抽20+30(人)；

因为在［40,70］内共有go人，则中位数位于DO,80］内,

”20⑺220

70+—x10=---

则中位数为603.

(3)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件出

21132311

P（止—X—+—X—+—X—

则343434Y2

11

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为五.

法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件/

-1111

PQ)=1—尸(1)=1——x-=—

3412

11

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为12.

.B+C2

10sin----I-=7-cos2^

21.在A/8C中，角aB,C的对边分别为a,b,c,且2

(1)求角A的大小；

(2)若6=2,c=l,

①N5/C的角平分线交8c于加，求线段/朋的长；

②若。是线段8c上的点，E是线段山上的点，满足丽=义无，屉=%或，求

亚,近的取值范围.

A=-

⑴3

2G

AM=---r_

⑵①3.②

【分析】(1)根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；

(2)①法一：在A/MC与中根据正弦定理可得两=2砺，再根据

AM=-AB+-AC

33结合数量积运算求解即可；

法二：根据联3+S.c=S旃:，结合面积公式列式求解即可；

②法一：根据平面向量基本定理可得/DCE=U/8+(l-/l)/C].Kl-；l)/8_/C],进

而求得范围;

法二：以48所在直线为x轴，过点力垂直于力8的直线为了轴，建立平面直角坐标系,

根据坐标运算求解即可

2

lofsin^।="侬2",则5(l-cos(8+C))=7-cos2Z,故

I2

【详解】(1)

5(1+cosA)=8-2cos2A,所以2cos?A-^-5cosA-3=0,因为cos4<1,

可得8S"1,由人(0,万)，所以/

(2)①法一：在""C与中，

CM4cBM4B

由正弦定理得sinNC/"sinZ.AMC'sinZ.BAMsinZ.AMB,

_C_M_—_A__C_2「______

即8例AB,故函=2也，

222

AM=^AB+^-AC,AM=-AB+^AC+-AB.AC=-

所以33'9993

;2A/3

AM=---

法二：在AZBC中，由Z"是/历1C的角平分线

兀

ZBAM=ZMAC=-

所以6

--ABAM-sinZBAM+-AM-AC-smZMAC^--AB-AC-smZBAC

—AM•sin—+—•2•AMsin—=—1-2-sin—

即262623,解得

②法一：由丽=2a，^AD=AAB+(i-A)AC,(Ae[0,1])

^CE=AE-AC=(\-A)AB-JC

所以前.无=[彳万+(1_㈤抚]♦[(1_㈤万_就]=22—3e[-3,T]

而在的取值范围为[-3，T]；

法二：以所在直线为x轴，过点N垂直于48的直线为y轴，建立平面直角坐标系,

3,则40,0),5(l,0),C(l,73),JB=(1,0),%=(1,扬

因为CD=ACB,BE=ABA,

所以而=充+京=Q,舁&)于=配_反=(_儿-5

所以诟.赤=

由力e[0,l],得而•怎的取值范围为-3,-1]

y

22.在斜三棱柱"8C-4用G中，底面是边长为4的正三角形，A'B=25，

ZAtAB=ZAtAC=60°

(1)证明：'£〃平面"C；

⑵证明：BC1AA'；

(3)求直线8c与平面所成角的正弦值.

(1)证明见解析

(2)证明见解析

逅

⑶3

【分析】(1)由线线平行证明线面平行；(2)作出辅助线，得到AaB丝AtACf

即有4c=48,证明出8c再有证明出8c_L平面和眼，从而得

到8C_L"4；(3)法一：由余弦定理得到"4=6,得到求出

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