2021-2022学年江苏省徐州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省徐州市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.已知复数满足i-z=4-3i,其中i为虚数单位，则z；=（）

A.1B.5C.7D.25

D

【分析】根据共规复数的概念，结合复数的乘法运算求解即可

4-3i、八

z=------=—3-41

【详解】因为i-z=4-3i,故i，故

z-z=（-3-4i）x（-3+4i）=9+16=25

故选：D

2.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件”="点数之和为7”，事件8="点数

之和为3的倍数”，则（）

A.N+8为不可能事件B.A与5为互斥事件

C.为必然事件D.A与8为对立事件

B

【分析】先分析事件4、8的构成，对四个选项一一验证即可.

【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件/=“点数之和为7"，包括：&6）,

（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）

事件8=“点数之和为3的倍数”，包括。，2）,（2J）,0,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,

（3,3）

所以/+8为，，点数之和为7或3的倍数“，不是不可能事件.故A错误；

A与8为互斥事件，故B正确；

AB为不可能事件.故C错误；

事件4B不能包含全部基本事件，故A与8不是对立事件.故D错误.

故选：B

cosa=——

3.已知3,则cos2a等于（）

1正V5

A.9B.9C.3D.3

A

、cosa----

【分析】直接利用二倍角的余弦公式cos2a=2cos-a-l,代入3,即可求出

结果.

生

cosa=——

【详解】解：由题可知3,

故选：A.

4.已知数据“I,*2，…，/的平均数为3,方差为1,那么数据3占+1,

3々+1,3%+1的平均数和方差分别为()

A.3,1B.9,3C.10,9D.10,10

C

【分析】根据平均数和方差公式直接求解即可

【详解】因为数据x1，*2,…，再。的平均数为3,方差为1,

222

所以《(演+W+…+Xo)=3-3)+(x2-3)+---+(X10-3)]=1

所以数据M+l,3/+1,…，3%+1的平均数为

历[(3玉+1)+(3/+1)+-,•+(3x10+1)]

=m[3区+%+…+/0)+1。]

=3X\(M+X2+…+Mo)+1

=3x3+1=10,

222

—[(3xl+l-10)+(3x2+l-10)+--+(3xl0+l-10)]

方差为10

22

='[(3x,-9f+(3X2-9)+-+(3X10-9)]

222

='[9(X,-3)+9(X2-3)+-+9(X10-3)]

222

=9xl[(x,-3)+(x2-3)+-+(x10-3)]=9

故选：C

5.设加，〃是两条不同的直线，a,B,7是三个不同的平面，下列命题中正确的是

()

A.若a/，B,tnua,〃u尸，则加〃〃

B.若。/，mua,〃u/，则加_L〃

C.若加_La,打△0,尸，则加_L〃

D.若a'/,八，，则a/R

C

【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明

【详解】A选项，若a〃夕，mua,〃u£,则加〃〃或也〃异面，A错误；

满足mua,nu/3,而机〃〃，故B错误;

C选项，因为设ac£=a,bua,b1a,

所以％，分,因为所以b〃〃，

因为加la,bua,所以5_L6,则加•!•"，

C正确；

D选项，如图，

满足a，？，2,而a，4，D错误.

故选：C

!2

6.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是3,5,

j_

假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概

率为（）

_7_222_

A.20B.5C.3D.10

D

【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事

件的概率公式求解即可.

【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为

2333

—X—X—=一

35410

137

1---=—

所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为.1010

故选：D.

2

7.在18C中，JD=2DA,若C8=/lCZ+〃a>,则〃的值为（）

_2_323

A."3B."2

C.3D.2

A

【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将C8用C4,。表示出来，从而可求

出〃的值

【详解】因为丽=2而，所以。为月8上靠近点A的三等份点，

所以CB=而+而

=CD+2AD

=CD+2（CD-CA）

-3CD-2C4

因为CB=ACA+//CD,

所以a=_2,〃=3,

2__2

所以〃33,

故选：A

8.已知正四棱锥的侧棱长为3,其顶点均在同一个球面上，若球的体积为36»,则该

正四棱锥的体积为（）

9272781

A.2B.4C.2D.4

B

【分析】设正四棱锥的底面边长为“，高为〃.由题意列方程组求出a和小即可求出正

四棱锥的体积.

【详解】设正四棱锥的底面边长为a,高为人

4

—兀2=36万

因为球的体积为36万，所以3,解得.尺=3

如图示：在正四棱锥P-/8CO中，侧棱尸/=3.4Cn8Z）=E,则PE_L面/8CD

因为R=3,侧棱2<=3,所以外接球的球心。在依的延长线上.

2

h+□—aJ=32fg3

产+由=金（3与+停1=3。\^6

由题意可得：1°k+从=°才，即〔I?J,解得：12

所以该正四棱锥的体积为.

故选：B

二、多选题

9,设向量心石满足网相"N=l,则（）

A.3与坂的夹角为60。B.N+W=1

C.1+25）侬+}2口.a±b

BCD

【分析】对AD,将卜+4=1"-4两边平方可得£*=。判断即可;

对B,根据+4=1两边平方求解即可;

对C,根据W雨=1和£*=0计算021)侬+%可

【详解】对AD,因为*T*,故的*GE,即7+2力+片

=J-2a*+了，故a$=0,故。与坂的夹角为90°,故A错误，D正确；

对B,因为卜叫一I故/+271+片=1,因为。，=。故何+W=1故B正确;

(a+2b)(2a+b)=2a+5a-b+2h-2la+b)=2

对C,'八/V7,故C正确；

故选：BCD

10.下图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100

表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是

A.该市14天空气质量指数的平均值大于100

B.该市14天空气质量指数的中位数为78.5

C.该市14天空气质量指数的30百分位数为55

D.计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

BC

【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案.

【详解】对于A,

-122+102+116+81+163+158+76+33+102+65+53+38+55+52所

x=------------------------------------------------------------------------------------------------x87

14,

该市14天空气质量指数的平均值小于100,故A错；

对于B,将14天的空气质量指数由小到大排列为：

33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158163,所以该市区天空气质量指数的中位数

为：2,故B正确.

对于C,因为14X30%=4.2,所以该市14天空气质量指数的30百分位数为55,故C

正确.

对于D,因为163-87>[33-87],所以5日到7日的方差大于6日到8日的方差，故D

不正确.

故选：BC.

11.已知A/BC内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,以下结论中正确的是

（）

A.若A>B,则sin4>sin5

B.若。=2,'=45,3,则该三角形有两解

C.若“cos4=bcos8,则A/8C一定为等腰三角形

D.若si/CAsirZ+sin",贝ij"8c一定为钝角三角形

AD

【分析】对A,根据正弦定理判断即可；

对B,根据正弦定理求解sin/判断即可；

对C,根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；

对D,根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可

ab

------=------->0

【详解】对A,由三角形的性质，当”>5时，a>h,又由正弦定理sin"sin5,

故sin/>sin8,故A正确；

275

absinA73.,V15,n

对B,由正弦定理sin』sinS,故2,故5,因为故3,

故该三角形只有1解，故B错误；

对C,由正弦定理，sinAcos/=sin8cos8,故sin2/=sin28,所以4=8或

A+B=-

24+28=万，即2,所以为等腰或者直角三角形，故C错误；

,,2cosCl'--LoCef"

对D,由正弦定理，c>a-+b-,又余弦定理2ab，故。人

故A/8C一定为钝角三角形，故D正确；

故选：AD

12.在棱长为2的正方体/88-44GA中，点£为棱OR的中点，点尸是正方形

内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.直线8G与直线/C夹角为60。

B.平面BCE截正方体所得截面为等腰梯形

C.若EF=后，则动点尸的轨迹长度为2万

D.若4F"平面BQE,则动点尸的轨迹长度为逐

ABD

【分析】对A,根据40的平行线确定直线8G与直线/C夹角即可：

对B,根据面面平行的性质，作出平面8G“截正方体所得截面分析即可；

对C,由题意“尸=2,动点尸的轨迹为以"为圆心的四分之一圆弧4G上，再根据

弧长公式求解即可；

对D,先判断过A且平行于平面8CE的平面截正方体的面，再分析尸的轨迹即可

【详解】对A,连接4G，4S3G，/c,可得正△48G,根据正方体的性质，

4GII"C,故直线8G与直线ZC夹角为直线与直线4cl的夹角为60。，故A正确;

对B,根据面面平行的性质可得平面8G“截的交线£P〃CG,故平面

8GE截ZO的交点p为/£＞的中点，故PB='"2+"尸=师；+*2=EC\,故截

面为等腰梯形EPBG,故B正确；

对C,若EF=下,则RF=/E尸-DE=2,故动点尸的轨迹为以2为圆心的四分

71c

Ar—x2=乃

之一圆弧4J上，其长度为2故c错误;

对D,取4G中点°,连接如图.由B,截面为等腰梯形后尸2£,易得4D//BC；

AQ//P8,故平面20///平面8EG,故尸的轨迹为线段2°,其长度为

W+r=后,故D正确；

故选：ABD

三、填空题

a-b—c_

13.在中，若/=30。，a=6则2(sin/_sinB_sinC)

百

2R=---=2-\/3

【分析】由正弦定理可得：sin/，代入即可得出答案

2R=q=±='=申=2百

sin4sin5sinC

【详解】由正弦定理可得：2

a=2^3sinA,b=2sinB,c=2GsinC

a-b-c_2GsinA-273sinB-26sinC百

则2(sin-sin5-sinC)2(sin-sin5-sinC)

故答案为.石

14.已知复数z=-l-2i,其中i为虚数单位，若z,z2在复平面上对应的点分别为

N,°为坐标原点，则线段长度为.

2>/10

【分析】根据复数的几何意义与乘法运算分别求得“，7再求长度即可

【详解】由题意，z2=(-l-2i)-=l+4i-4=-3+4i,故z,z?在复平面上对应的点分

别为M(T-2),N(-3,4),故MN心(-1+3)2+(-2-4)2=2丽

故2厢

15.在“8C中，若N历1C=120。，点。为边8c的中点，AD=\,则方，就的最小

值为.

【分析】根据数量积的运算化简可得方,就=1-丽：再设1°8卜|℃|=\结合三

角形中的余弦定理，根据基本不等式求解即可

--»---f--».\f------，-------»\-------►2-------*f--►--»\--►--►

【详解】ABAC=\AD^DBj[AD+DCyAD+AD•8+DB>DB•DC因为

.-------»»2故求的最大值.设囱=卜x

。为边8c的中点，4D=1,故4BSC=1-DB

/n-X2+12-c2x2+12-b2

彳厂，ncosZ-BDA=----------cosZCDA=---------

AC=a,AB=c,则由余弦定理，2尤，2x,因

x2+l2-c2x2+l2-b2

c---------------1---------------=0n、

为ZBZX4+NCQ4=18(r,故2x2x,up2x2+2=A2+c2,又

4

2222

(2xy=b+c+bc>3bct^2x+2=4x-be,即4=2+反<2+J，此时一0

故方就=1-x22-2,当且仅当6=c时取等号.即AB-AC的最小值为-2

故-2

四、双空题

16.已知正方形为88边长为2,点E为边/。的中点，将四边形8C0E绕直线8旋

转一周，所得几何体的体积为;将四边形88E绕直线旋转一周，所得几

何体的表面积为

14万

05+石）

【分析】将四边形88E绕直线8旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上、下底

面半径分别为1和2,高为2,由圆台的体积公式代入即可得出答案；将四边形

8CDE绕直线旋转一周，所得几何体为一个底面半径和高均为2的圆柱，中间挖

去一个底面半径为1,高为2的圆锥后所形成的组合体，由圆锥和圆柱的表面积公式

代入即可得出答案.

【详解】由题意，将四边形绕直线8旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的

上、下底面半径分别为1和2,高为2,故其体积为.3、73

将四边形88E绕直线旋转一周，所得儿何体为一个底面半径和高均为2的圆柱,

中间挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥后所形成的组合体.

圆柱的表面积为：2x22万+2x4%=16%，

圆锥的底面积为万，

圆锥的侧面积为：1氧12+2?兀=也兀，

所以该几何体的表面积为「6*"+&=(”+后A

故殍;(5+砂,

五、解答题

17.如图，已知在三棱锥P-18C中，PA=PC,点M,N分别为棱BC,4c的中

点，且平面&CJ•平面/8C.

⑴求证：“8〃平面PAW；

(2)求证

(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)先利用三角形的中位线定理证明出再用线面平行的判定定理

证明即可;

(2)先得到PN，平面4SC,再用线面垂直的性质定理证明出PNJ.8C.

【详解】(1)因为点M,N分别为棱8C,ZC的中点，所以4B//MN.

又48a平面PA/N,MNU平面PMN,

所以“5〃平面PAW.

(2)因为P/=PC,点N为棱ZC的中点，所以PNL4C.

因为平面PZC，平面/8C,所以平面48C.

又BCu平面为8C,所以PN,8c.

sin(a+£)=(

Q<0<—<a<7T

18.已知1*3其中

⑴求sina的值;

cos1夕+(

⑵求的值.

4+6

(1)6

8夜-3

⑵15

71加3)乃c37r

—<a—v——<a+B<—

【分析】(1)由已知函数值以及角的范围得444,22,且

,乃、71

CC=\CC)H

44,结合两角和差公式即可求值.

S+-^(S+a)-(a--)

(2)根据44结合两角和差公式即可求值

71

—<a<Ti—<a--<—cosa~~3,则

【详解】(1)2知：444,因为

..f7t71

sina=sina——+—

故I44

.(冗\71(7l\.71\[22A/2+14+V2

=sina-cos—+cosa—sin—=——x---------=---------

(4j44；4236

cos,+(J=cos[(y?+a)一(a-

Q)由

(乃)7T1

cos/?+—=cos(3+a)cos®——)+sin(/?+a)sin(a

I4J4

G</3<—<a<TV-<a-\-/3<—

由2知：22,

sm(a/)=逑

•••由题意,结合(1)有43

+3142728夜-3

cosfP~------X—H——X-----------=

535315

19.已知“8C内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量机=0+c，sin'),

n=(a+sinC-sin目m//n

⑴求角C；

⑵若，=4,"BC的面积为4g,求A/8C的周长.

。=生

⑴3

⑵8+46

【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；

A=B=-

(2)根据面积公式可得〃=4,进而得到6,从而利用正弦定理求出。=4r6，

进而得到周长即可

【详解】⑴由向量平行的坐标公式可得("c)(sinC-sin8)-(a+6)sin"=0,由正弦

々2+/_c2_I

定理可得(b+c)(c-b)-(a+b)a=o,即_"=/+从”2,故2ab2,

因为Ce(Oz),故J5

4月_1乂4.〉＜“

(2)由三角形面积公式，F"X2,故。=4,故△NBC为等腰三角形，故

X

_asinC_2A77

21316,又sinZsinC,故2,所以"8C的

周长为4+4+46=8+4右

20.2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月22—28日确定为“中国水周”

,并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境''作为相关宣传活动的主体.某地

区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均

用水量(单位：吨)，并将数据以组距2分成9组：[°Z,口，4),[4,6),[6,8),

[8,10),口0,12),[12,14),[14,16),[16,18],制成了频率分布直方图如图所示

频率

⑴求。的值；

(2)设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说

明理由；

(3)为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为仪1°)和112,14)的两组中,

用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求

抽取的这2户居民来自不同组的概率.

(l)a=0.060

(2)39000

8

⑶15

【分析】(1)根据直方图面积为1的规则即可算出a；

(2)将频率作为概率，用部分估计总体即可；

(3)先算出基本事件的样本空间，再计算所求事件的样本空间即可;

(0.015+0.030+a+0.080+0.120+0.160+0.030+0.005)x2=1

【详解】(1)由图可知:

解得：(7=0.060；

(2)不低于12吨的用户的频率为：2X(°」60+0.030+0.005)=0.39=39%,

将此频率作为概率，则估计10万用户中不低于12吨的用户数

=100000x0.39-39000♦.

⑶[8,10)的频率为0.080x2=0.16,有100x0.16=16(人)，

[12」4)的频率为0.16x2=0.32,有100x0.32=32(人)，

共48人，根据分层抽样的原则，在区1°）组抽取融“6-2（人）,

32

在MM组抽取而x6-4（人），

设［8/0）组的人为（4，见），［2,14）组的人为（4也也也）,

则从中抽取2人的样本空间为：

（4，%），（4，4）,（4也）,（4也）,（4也）,（。2,4），（。2也），（。2也），（生也）

（4也）,色也）,0］也）@也）,（&也）,03也）,共有15种，满足条件的有8种，

8

・•.抽取的2人来自不同的组的概率为15.

综上，“=0.060,估计10万用户中不低于12吨的用户数为39000（户），抽取的2人来

8

自不同的组的概率为15.

21.如图，经过城市A有两条夹角为60。的公路AC,实行垃圾分类政策后，政

府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站G,并分别在两条公路边上建造

两个垃圾中转站"，N（异于城市A）,为方便运输，要求GM=GN=MN=2（单位:

⑴当8=30。时，求垃圾处理站G与城市A之间的距离/G；

（2）当e为何值时，能使得垃圾处理站G与城市A之间的距离最远？

⑴丁

（2）设计6=60。时，能使得垃圾处理站G与城市A之间的距离最远.

【分析】（1）根据=30°得到N/MG=90。，进而可求出结果；

（2）设NAMN=O,由正、余弦定理，得到33、>,ZGz取最大值

时能使得垃圾处理站G与城市A之间的距离最远，即可得出结果.

［详解］（1）因为N4WN=30。，NBAC=60。且GM=GN=MN=2,故NG肱V=60。，故

ZGMA=ZMNA=90°,

...MN4i----------------/7A2VH

AM=------=~f=AG=^JAM2+GM2=J—+4=

故cos30J3,V3

设/AMN=。,由题意4MG=0+60'，

MNAM45/3

^M=-y-sin（1200-6»）

由正弦定理，sin60sin(120-6),所以

由余弦定理可得：

AG'=AM1+MG1-2AMMGcosAAMG=ysin2（120。-6»）+4-iy^sin（l20°-办os（0+60）

=^sin2（0+60"）+4-I'，sin（0+60）cos（0+60"）=g[1-cos（20+120）J+4-sin（26+120）

=-1[73