二次函数与幂函数

考点16二次函数与函数【题读二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点式解法等，考查数学式子变形的能力运算求解能力、等价转化思想和数形结合思.其函数与方程考查频率较.涉及函数性质的考查；【础识顾1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝数称为幂函数，其中x是变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在0，＋∞)上都有定；②当α时，函数的图象都过，1)(，0)且在0，＋∞)上调递增；③当α时，函数的图象都过，1)且在，＋上单调递减2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：(x)＝＋＋(≠0).顶点式：(x)＝(－)＋(≠0)顶点坐标为，).零点式：(x)＝(－x－x)(≠0)x，x为x)的零点(2)二次函数的图象和性质函数

y＝ax＋bxc(>0)

y＝ax＋＋<0)

，＋∞442a－，－∞，－在2，＋∞442a－，－∞，－在2－，∞在上是增函数2a－∞，－在2－，∞在上是减函数2ΔΔ2图象(抛物线定义域

值域

4－－∞，对称轴顶点坐标

bx＝－b4－24奇偶性

当＝0时是偶函数，当≠0时非奇非偶函数单调性

b上是减函数；b

b上是增函数；b[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有.2.若(x＝ax＋＋(≠0)，则当时有()>0当时，恒有fx)<0.3.(1)幂数的图象一定会出现第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原.1、幂函y＝(x的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(的大致图象是()】(1)设函数的解析式为y＝，因为幂函数＝()的图象过点4，1所以2，得＝.所以y＝x，其定义域[0＋∞)，且是增函数，当0<x时其图象在直线＝上方，对照选项C正确.

27333－3＝x】y＝＋27333－3＝x】y＝＋的义域为0，]，显然，＝0，＝4，又值域为，422、已知，，∈，数f(x＝2＋＋.

若f＝(4)>(1)则)A．＋＝Caa＋＝

B．a＋＝D．a＋＝】Ab由(0)＝(4)(x＝＋bxc图的对称为x＝2＝a＋＝(0)>(1)(4)>f(1)，∴(x先减后增，于是>0，故选3、若二次函数y＝－＋在间[，上单调递增函数，则实数k的值范围为A．＋∞C(－∞，】A

B．，＋∞D．－∞，2】二次函数y＝kx－4＋2的称轴为＝，当>0时要使函数y＝kx2是增函数，只需，解得≥2.

－4＋2区间，2]2当<0时，k，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝x＋2在区间1上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的值范围[2，＋．4、若函数＝x

－x＋的定义域为，m，值域的取值范围()A．4]C.

B.73二次函数图象的对称性知≤≤3，故选C.

，根据5x2

+a|x0xaA+

B4

C[44]D】x2+|x|+4a0xfx2

+ax+4f040a00x2

+ax+4a20

1234αα1234ααa+.6、徐、连云港、宿迁检）已知对于任意的

(

)

，都有

2(a2)xa

，则实数的值范围是▲．当4(2)

2

0，a2，a

时，满足题意；当2)

2

，a，或时2(则a

7，解之得，所以a

，又因为a或a，以a

，

a0

a综上所述，实数a的值范围为

(1,5]

。考向一

幂函数的图像与性质1．幂函数＝f(x的图像过(4,2)，幂函数＝(x的析式为__________2．图中曲线是幂函数y＝α

1在第一象限的图像．已知α取2，2

四个值，则相应于

曲线C，C，，的值依次为．3．已知函数f(x＝m

－－x5m3m为值时，()是幂函数，且在，＋∞)上

是增函数？f11（22，，－2

，－2（）＝1．1f(x＝，则＝2，α＝，∴

x

x

．11（，

，－

，－2（）函数f(x＝m

－－x5m3

是幂函数，∴2－－＝，得m＝或m＝1．

n2－nn－3nn－3<0111221变式、若＝n2－nn－3nn－3<0111221变式、若＝＝＝3331122231112<＝当＝时，－3＝－，数y＝

在0上减函数；当＝1时－－＝，数y＝2在，＋上是增函数．∴＝．变式1、已知幂函数(x＝n＋n－xn∈)的象关于y轴对称，且(0＋∞上是减函数，则的值为)A．－C2

B．D．或2B∵函数(＝(＋2nx在0，＋∞)上是减数，，∴∴＝1＝

又＝1，()＝的图象关于轴称，故n＝1.故选B.25则，，大小关系()A．<cB．<<bC<c<aD．<<D因＝在第象内是增函数，所以a＝>＝，所以ba<c故选

，因为y＝是函数，所以方法总结幂数的形式是＝∈R)只有一个参此只需一个条件即可确定其析式．(2)在区间0,1)上幂函数中指越大数图象越靠近轴简“大图低在区间(＋上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考向二

一元二次函数的解析例2）abc＞，次函数f(x)＝2bxc的象可能________(填序号．

则有（2解得－＜＜．则有（2解得－＜＜．解得111（函(x＝2－于意x∈1]()<0成数m的值范围是．（知次函数(x满足＝1，f(－＝－，且()最大值是，确定此二次函数的解析式．①④知，(0)＝＜．b∵＞，∴ab＜，对称轴＝－a＞，知①，③错误，④符合要求．b由②知(0)＝＞，∴ab＞，＝－＜，错误．（）出二次函数x)的草图，对于任意∈m，＋，有x＜，，即

，＋）＋（＋）1＜，（）一利一般)：设fx＝2

＋＋≠0)4a＋b＋＝1，a－＋＝－，由题意得4ac－b24a＝，，，∴所求二次函数为x)＝42

＋x＋．法二(利用顶点：设fx＝(x－)2

＋．∵＝f(－1)，2＋－1∴抛物线的对称轴为＝1

2

＝．∴＝

．又根据题意函数有最大值，n．∴＝(x＝

2＋．∵＝－，∴

2

＋＝－1，解得a＝－，∴(x＝

2

＋＝－＋x＋．法三(利用零点：

12max2212max22由已知f(x)＋＝两根为x＝2，＝，故可设f(x)＋＝(x2)(＋，即fx＝2

－－a－．4

－－－2又函数有最大值＝，解得＝－或＝舍．

4

＝．∴所求函数的解析式为(x＝4x＋4＋．变式1变式、已知二次函数f(x的图象经过点(43)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有(2－x)f(2＋x)，则(x)＝________.－4＋3因f(2－＝f(2＋)对x∈R恒立，所以y＝()的图象关于x＝2对称又y＝()图象在x轴上得的线段长为2，22所以f(x＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.所以二次函数f(与轴两交点坐标(1，0)和(3，0).因此设f()＝(－1)(－3).又点(4，3)在＝)的图象上，所以3＝3，则＝1.故f()x－1)(－3)＝

－4＋3方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考向三

根的分布问题例3、苏期末知数f()2axa)

．（）

fx

的两个零点均小于2，求实数a的值范围；（）程

f()

在

(1,2)

上有且只有一个实根，求实数的值范围．

解析（1）由题，等价于f(2)≥0

，解得2≤．（）当

ff(2)

时，此时

f()

在

(1,2)

上有且只有一个实根，得

；②当

f(1)

时，即时此时

f(x)

有，去；③当

f

时，即a

184时，此时f()有x2或，去，7综上：a

．变式(2017苏常镇调研）已函数fx

2

ax

若

f(x)

有一个小于1与个大于2的两个零点，求实数的取值范围．a(1)解析由题，等价于，得a．(2)7变2知函数f)xax

，方程

f()在上实根，求实数a的值范围．解析

①当

ff(2)

时，此时

f)在上有且只有一个实根，得

；②当

f(1)

时，即时此时

f(x)

有，去；③当

f

时，即a时此时f()有x2或，舍去，a122④当时，此时

f()在有两个实根，无解；f(1)f综上：a

．解析方即为a(4，因为2时4x，是a

44

，令

t4x

，设y

4x2t2t4x4

19，即y(，y(1)，tt所以

1818(t在t上调递增，y)，以2a．t77变式、常州期末）若方程x，解析记fx)

x

至少有一个正根，则实数a的值范围是．①当a0时②当时

f)2，(x)

解得x，符合条件；

（ⅰ）当

f)

只有一个正根，且不是它的根，则有

a(0)

或a

，解得a0（ⅱ）当

f)

有两个不等正根，则

，此时a无，综上：实数a的值范围是a0．解析因x显然不适合方程ax

，于是问题等价于a

2

至少有一个正根，记(x)

(x0)，(0)，以

g(x)在(0,上递增，且

g(x)(0,

，所以实数的值围是a0方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。考向四

一元二次函数的最值题例4、已知函数＝x2

－x＋．当∈R时，域_；∈，时值域为；当∈－，时，值域为．2．若函数＝x

－x＋在区间，m上有最大值，最小2求实数m的值范围．3．求函数x)＝x2－ax在间，上最小值．【解析】：．为y＝x2－＋＝当x∈R时值域[－，∞)3

32x－6，所以当x∈时[2根据函数图象知函数在区[上单调递增故＝时y取最值，当x＝时，取最大值，值域为[－，．3当x∈－5]2∈－5]则x2时取最小值－当x＝时得最大值故值域－6，2．作出函数＝2－＋3的象如图．由图象可知，要使函数在m上得最小值，则1∈，m]，而m，当x＝时，＝；x＝时，＝，所以要使函数取得最大值为3，m，故所求m的取值范围为，．3．(x)＝2－ax＝－)－

2

，对称轴为＝．

,22,22(1)当a0，(x在0，上增函数，∴()＝(0)＝．(2)当0≤≤1时fx＝f)＝－a．(3)当a1，(x在0，上减函数，∴()＝(1)＝－，＜，0a≤1，综上所述，(x＝，＞变式年州中学期末试题次函数f()ax2ax0)在区间

3

上的最大值．【解析】

2afxx对称轴为24

aa①当a时（ⅰ）当

≤时即≥时f()(2)

；（ⅱ）当

33时，即时，()f()5242

；②当a0时

aa

（ⅰ）当

3≤时即a时fxf()24

；（ⅱ）当

时，即a

时，f(xf(max

2)，综上所述，

fx

4a32a且a4258a,a≥5变式、函数f(x)＝－2＋－在间t，＋∈)上的最大值为gt．(1)求g)的析式；(2)求g)的大值．【解】(1)(x)x＋4－1＝－2)

＋3.当＋1<2即<1时，()区间，t＋1]上为增函数，t)＝(＋1)＋2t＋2；当≤2≤＋1即1≤≤2，(＝f(2)＝3；当>2时，(在区间，t＋1]为减函数，∴(t)＝)＝－＋4－1.

≤≤224112244≤≤22411224422244242244224t＋2，<1综上所述，(＝t－1，>2.(2)当t<1时g(t)＝－＋2＋2＝－(－1)＋3<3当1≤≤2时(＝(2)＝3；当>2，g(t)＝－＋4－1－(＋3<3.∴(的最大值为3.方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的包括端点、部和右(包括端点)三情况分类讨论即可获解．考向五一元二次函的恒成立问题例函数(x＝x2－＋间－式()>2x＋恒立数m的值范围________．【答案】－∞，1)【解析】(x)>2x＋等于2－＋1>2x＋，即2x－，令gx＝－＋－，要使(x＝2

－x＋－[－，恒成立，只需使函数gx)＝2－＋－在－1]上最小值大于即．∵(x)＝－3x＋－在－，1]上调减，∴(x＝＝m－由－－，m<1.因此满足条件的实数m的值范围是－∞，－．1变式、若t

－－≤在t∈－，上成立，求实数k的值范围．1【解析】求二次函数f(t)＝t－kt－1在定区间上的最大值M，二次函数f(t)的图像的对称轴直线t＝2k.①当2k∈[，1]，即k∈－，时＝f(－1)f(1)由M≤0，得f(且f(1)≤0，解得331111－≤k≤，k∈－，，－≤k≤；11②当2k<，k<－时函数f(t)[2k上单调递增，故M＝－k－1，M≤0，3131－，k<－，－≤k<－；113③当即k>时函数f(t)[－1上单调递减M＝f(－1)＝＋k－1由M≤0得k113又k>，故<k≤.

4433综上知，实数k的值范围为－.变式北市、苏中三市三调）已知函数f(x

xa，

x

．若对任意

在

，使得

f(x)(x)

成立，则实数a的为▲．【答案

【解析】因为

g(

2

在上调递减，所以(x)

，解1由意得，

f)

，即x

在即a2

，在

≤xx，≤x所以即在x，

所以3a，

a

13

.解2

f(x

.因

x)

Max

(3)

，所以

≤，即，，

解得a

13

.方法总结：(1)意任”这类问题的表现形式为：D,，等式成.D,,f()x),xD，(x)1221221(2)意存”型

x)2

.这类问题的表现形式有二：DD，式成.

D,D，等式成.这种“任意存”型问题的常见题型及具体转化策略为：1、

D,D,f(x)=g(x)f(x)在上域)在上值域11221122

；,Df()x)f(x)在D上最值g()在D上最值11212

；2、

,Df(x)<g(x)f()在D上大值x)在D上大值11212122

；3在存”型这类问题的表现形式有二：D,D

，等式成立

D,D

，不等式成.总结：这种双主元的“存-存”型问题的转化策略为：xDf(x)=g(x)f(x)在上值域与g()在D上域的交集非空1121122

，则，，，，，则，，，，D,D,f(x)f()D上的最大值与)在上的最大值12221、（江7）知

yf(x)

是奇函数，当

时，

f(x)

，则

f(

的值是．【答案】【解析】

y(x)

是奇函数，当

时，

f(x)

2f((8)

．2、全III)已知

423b

13

，则A．

a

B．

．

．

c【答案】A【解析为

a2

4113b55253

且函数

x

在

R

上单调递增数数y16

在上调递增，所以

b

，故选A．、（2020浙）已知

aR且，

在上成立，则（）A．

a

B．

a

C．

b

．

b【答案】【解析】当

a

时，在

上，

恒成立，∴只需满足

恒成立，此时2

，由二次函数的图象可知，只有

b

时，满足

，

b

不满条件；当

b

时在

上，

恒成立∴需满足

恒成立此当两根分别为和

，（）

a时此时