河南省新乡市辉县第四职业高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

河南省新乡市辉县第四职业高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为第二象限角，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于(

) A．3 B．﹣3 C． D．参考答案：B考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．解答： 解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以2015届高考中应引起足够的重视．本题是把向量同三角函数结合的问题．3.若函数的表达式是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.正六棱锥中，为的中点，则三棱锥与三棱锥体积之比为(

)A.1：1

B.1：2

C.2：1

D.3：2参考答案：C略下列所给5.4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为

(

）(1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A．（1）（2）（4）B．（4）（2）（3）C．（4）（1）（3）

D．（4）（1）（2）参考答案：D6.某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51参考答案：B设在甲地销售辆车，则在乙地销售15-辆车.获得的利润为当时，最大，但，所以当时，故选B.7.

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知函数f（x）=sinx﹣1（x＜0），g（x）=logax（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（0，）参考答案：A【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用数形结合的思想，做出函数f（x）=sinx﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象，利用g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sinx﹣1（x＞0有至少有3对，可得答案．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象如下．g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sinx﹣1（x＞0）有至少有3对，那么：loga5＞﹣2，（0＜a＜1）．可得：a，∵0＜a＜1，∴a∈（0，）．故选A．9.若向量，则A.

B.

C.

D.参考答案：D设，则，所以，解得，即，选D.10.在数列中，，，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.P是三角形ABC所在平面上的一点，满足,若三角形ABC的面积为1，则三角形ABP的面积为____________参考答案：12.直线y=x+3的倾斜角为

▲

参考答案：13.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【答案解析】解析：解：每个个体被抽到的概率等于，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为21×=3，

14×=2，7×=1．（2）所有的抽法共有种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有种，故抽取的2所学校均为小学的概率等于．故答案为.【思路点拨】先求出每个个体被抽到的概率，再用各个层的个体数乘以此概率，即得应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．根据所有的抽法共有15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有3种，由此求得抽取的2所学校均为小学的概率．14.已知，则的展开式中，常数项为

参考答案：，所以，所以，由得，因此常数项为.15.的展开式中，的系数为

．（用数字填写答案）参考答案：中的系数为：＝－40。16.中，是的中点，若，则

．参考答案：延长到,使,因为是的中点，所以是平行四边形,因为,所以,,则,解得,所以.17.一个空间几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积为

.．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于函数，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．(Ⅰ)试求b、c满足的关系式；(Ⅱ)若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·f()＝1，求证：＜＜；(Ⅲ)设bn＝－，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009－1＜ln2009＜T2008．参考答案：解析：(Ⅰ)设∴

………………2分(Ⅱ)∵c＝2

∴b＝2

∴，由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．当n≥2时，2Sn-1＝an－1－an－12……②，①－②得(an＋an－1)(an－an－1＋1)＝0，∴an＝－an－1

或

an＝－an－1＝－1，当n＝1时，2a1＝a1－a12a1＝－1，若an＝－an－1，则a2＝1与an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1，∴an＝－n．………………4分∴要证待证不等式，只要证，即证，只要证，即证．考虑证不等式(x＞0)**．…………………6分令g(x)＝x－ln(1＋x)，h(x)＝ln(x＋1)－

(x＞0)．∴g'(x)＝，h'(x)＝，∵x＞0，

∴g'(x)＞0，

h'(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0,＋∞)上都是增函数，∴g(x)＞g(0)＝0，h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．令则**式成立，∴＜＜，……9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn＝，则Tn＝．在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，得，即T2009－1＜ln2009＜T2008．…………………12分

19.已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数上为增函数，得g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．（2）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函数上为增函数，∴g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，≥0，∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故要使xsinθ﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，只需1×sinθ﹣1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，∵θ∈（0，π），∴θ=．（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．当m=0时，f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜2e﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，①当m≤0时，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）max=F（e）=me﹣﹣4，只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．故m的取值范围是（，+∞）【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20.已知复数z1满足z1?i=1+i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2．（1）求z1；（2）若z1?z2是纯虚数，求z2．参考答案：解（1）因为z1?i=1+i，所以z1===1﹣i．

（2）因为z2的虚部为2，故设z2=m+2i（m∈R）．因为z1?z2=（1﹣i）（m+2i）=（m+2）+（2﹣m）i为纯虚数，所以m+2=0，且2﹣m≠0，解得m=﹣2．所以z2=﹣2+2i．略21.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：月薪（百元）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)人数203644504010

将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?

非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业

B专业

20110合计

（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）．若X落在区间的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导.①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞及对应的概率分别为：赠送话费z（单位：元）60120180概率

则李阳预期获得的话费为多少元?附：，其中，．参考答案：（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【分析】(1)首先写出列联表，然后计算的值给出结论即可；(2)由题意求得的值然后判定学生就业是否理想即可；由题意首先确定Z可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可得其预期获得的话费.【详解】（1）列出列联表如下：

非高薪收入群体高薪收入群体合计专业603090专业9020110合计15050200

，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关.（2）①月薪频率分布表如下：月薪（百元）人数203644504010频率0.10.180.220.250.20.05

将样本的频率视为总体的概率，该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为：，∵月薪，∴，，∴，2018届大学本科毕业生李某的月薪为3500元百元百元，故李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知百元元，故李阳的工资为3500元，低于，可获赠两次随机话费，所获得的话费的取值分别为120，180，240，300，360，，，，，.故的分布列为：120180240300360

则李阳预期获得的话费为（元）.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.（12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an+an+1﹣2，证明++…+＜．参考答案：考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）证明{（an﹣1）2}