材料力学考试整理

轴向拉压／拉压杆的应力与圣维南原理等截面拉压杆横截面上正应力计算公式注意：正应力的正负号规定：对于变截面杆当截面变化缓慢时，公式仍可用；拉应力为正；压应力为负集中外力作用点附近区域，应力情况复杂，公式不适用。轴向拉压／拉压杆的应力与圣维南原理pasataa讨论1)=0时(横截面):2)=45(斜截面):3)=90(纵向截面):

结论max

发生在横截面上,max发生在=45斜截面上,轴向拉压／失效、安全因素和强度计算4、强度条件工作应力轴力横截面积材料的许用应力轴向拉压／失效、安全因素和强度计算5、强度条件的工程应用1、校核强度2、设计构件的截面A（几何形状）3、确定许可载荷三个方面的应用轴向拉压／轴向拉压时的变形1、轴向变形FF下面建立变形与力之间的关系应变应力应力―应变关系胡克定律的另一种形式轴向拉压／剪切和挤压的实用计算假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的,得实用切应力计算公式：切应力强度条件：许用切应力，常由实验方法确定塑性材料：脆性材料：二、剪切的实用计算转速：n(转/分)输入功率：P(kW)Me1分钟输入功：1分钟Me作功：3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1、外力偶矩的计算扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致为正，相反为负。指向截面离开截面扭矩的符号规定----右手螺旋法则圆截面上任意一点切应力Tr圆截面上最大切应力记：称之为抗扭截面系数tMe二、圆截面的几何量极惯性矩

IpDrdρdAO#实心圆截面抗扭截面系数

Wp令OdD#空心圆截面单位长度扭转角AB'gmaxMeMeBB截面相对于A截面的扭转角三、扭转变形扭转变形——

扭转角两个横截面绕轴线的相对转角整体的扭转角#如果在AB区间内AB'gmaxMeMeBB截面相对于A截面的扭转角整体的扭转角#如果AB区间内注意：Ti

应是代数值，有+-号四、强度和刚度条件强度条件刚度条件其中＃强度（或刚度）校核＃设计截面＃计算许可载荷(rad/m)(o/m)AB'gmaxMeMeBAB'gmaxMeMeB剪力和弯矩的符号规定#剪力mmmmFSFSFSFS使梁段顺时针转动的剪力为正(+)使梁段逆时针转动的剪力为负(-)#弯矩使梁段凸向下的弯矩为正(+)使梁段凸向上的弯矩为负(-)mmMmmM任一截面的剪力FS=S[截面一侧外力的代数值]计算指定截面的剪力和弯矩法则：左上右下为正，反之为负任一截面的弯矩M=S[截面一侧外力对截面形心之矩的代数值]左顺右逆为正，反之为负总结FS、M图的基本画法：1、用静力学平衡方程求解出支座反力2、研究FS、M

的分段情况

分段端点通常为：#集中力或集中力偶的作用处#分布载荷的起始和终点处3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧的外力）4、按写出的FS、M

方程，画FS、M

图5、检查FS、M

图的正确性6、注意图形的极值点（有、位置、极值）总结FS、M图的基本画法：(a)剪力图:一条平行于X轴的直线1、q(x)=0(b)弯矩图:一条斜直线(c)弯矩图:一条平行于X轴的直线(a)剪力图:一条斜直线(b)弯矩图:一条抛物线q(x)>0,下凸曲线q(x)<0,上凸曲线q(x)向上为正2、q(x)=const0.961.683.181.48(kN·m)2.4kN3.4kN800300300200弯矩存在极值（极大或极小）3、剪力图:有突变

集中力作用位置:弯矩图:有转折点

集中力偶作用位置:弯矩图:有突变剪力图:保持不变4、集中力作用位置集中力偶作用位置

Fs(x0)=0弯矩极值0.961.683.181.48(kN·m)2.4kN3.4kN800300300200快速绘制Fs、M图的方法1、计算支反力（清楚全梁的受力情况）步骤：2、研究FS、M图的分段情况3、根据微分关系研究FS

、M图形态直线曲线；增减性；凸凹性4、计算FS

、M图的控制面上的剪力、弯矩值根据突变关系，积分关系5、根据曲线形态和控制面上内力值画FS

、M图6、检查FS、M

图的正确性7、注意图形的极值点（有、位置、极值）记忆启示：拉伸扭转弯曲将用于研究梁的变形问题称之为抗弯刚度二、弯曲问题的几何量称之为抗弯截面系数由式中Cyzbh

矩形截面同理DCyz

圆形截面

空心圆截面CyzdD挠曲线的近似微分方程选用纯弯曲的曲率公式选用了曲率的线性表达式，略去了其中近似的两条理由：当简支梁承受若干个集中力作用时，只要挠曲线朝一个方向弯曲，可用中点(x=l/2

)

的挠度去计算最大挠度挠曲轴的近似微分方程yxOyxOorM>0M<06-3用积分法求弯曲变形1、边界条件固定端铰支BAyxlABxyl分段积分问题FbalABCx2x1边界条件：连续条件：AC段：

CB段：

挠度转角ABxylFbABxylFa2、连续条件w1w2w3会有6个积分常数A处：B处：C处：(注意：只连续，不光滑)D处：可以定出6个积分常数AB

CDqqxw（注意）快速画挠曲线的近似形状#

支座处挠度为零M<0,

“︵”2FABFl/2#

M>0,

“ ”，︵#

M=0,

“”“︵”过度点，曲率为零︵Fl/4Fl/2MCsa

拉为正，压为负ta

使楔形体顺时针转动为正

a

从

x轴到斜截面外法线

n的转角逆时针为正说明：

sx、sy、txy原始单元体应力分量sx、sy拉为正，压为负txy

使单元体顺时针转动为正

sa、ta

斜截面应力(b)

相互垂直斜截面的应力a

斜截面上的正应力a+90°斜截面上的正应力

正应力之和为常数切应力满足切应力互等定理有两个解a0和a0+90°称为主方向，相应的截面称为主平面，或者说切应力为零的截面称为主平面，主平面上的极值正应力称为主应力极值正应力可以证明，对于弹性体一点处，总可以找到相互垂直的三个方向，以此三方向为法线的截面称为主平面(切应力等于零)，相应的正应力称为主应力，记作s1、s2、s3，按代数值s1

s2s3(d)

极值切应力有两个解注意到可知，2a0和2a1相差90°，a0和a1相差45°极值切应力上式是关于sa、ta

的圆的方程圆心半径选取坐标s

(横轴)、t

(纵轴)就可以画出上述圆形应力圆(莫尔应力圆)yxsxtxysytyx

莫尔应力圆的画法：ansatastOsxsytyxtxyD'CD这是莫尔应力圆BAFstOsxsytyxtxyDD'C2ayxsxtxysytyxansata二、关于莫尔应力圆的分析与结论莫尔应力圆上的任一点的坐标，代表一个斜截面上的应力，如图中的E点BAE2a01、公式的记忆功能(a)斜截面应力公式(b)极值应力(主应力)(应力圆圆心坐标)±(应力圆的半径)四、图解法对解析法的辅助功能(c)极值切应力±(应力圆的半径)广义胡克定律：实验研究表明，对于各向同性材料，在弹性范围内，应力和应变有下述关系：如果将单元体取为主单元体,各微面上切应力等于零由上述式子可解出由应变表示应力的广义胡克定律s3s3s1s2s1s2写出广义胡克定律：二、体积胡克定律研究主单元体，s3s3s1s2s1s2变形前各边长是dx、dy、dz（x、y、z

和主方向1、2、3一致）dxdydz变形后各边长分别应是变形前的体积变形后的体积（略去ei

的高阶项）s3s3s1s2s1s2dxdydz变形前的体积变形后的体积单元体的体应变（定义）代入广义胡克定律，有式中体积胡克定律二、四个基本的强度理论1.第一强度理论——

最大拉应力理论材料发生脆性断裂的原因是最大拉应力。无论什么应力状态，当最大拉应力s1达到该材料单向拉伸强度极限sb时，材料就发生脆性断裂破坏。

破坏条件：强度条件：2.第二强度理论——

最大伸长线应变理论材料发生脆性断裂的原因是最大伸长线应变。无论什么应力状态，当最大伸长线应变e1达到该材料单向拉伸应变极限值eu时，材料就发生脆性断裂破坏。

破坏条件：强度条件：或3.第三强度理论——

最大切应力理论材料发生塑性屈服的原因是最大切应力。无论什么应力状态，当最大切应力tmax

达到该材料单向拉伸屈服时的最大切应力极限值ts时，材料就发生塑性屈服破坏。

破坏条件：强度条件：或4.第四强度理论——

畸变能密度理论材料发生塑性屈服的原因是畸变能密度。无论什么应力状态，当畸变能密度ud

达到该材料单向拉伸屈服时的畸变能密度极限值uds

时，材料就发生塑性屈服破坏。

破坏条件：单向拉伸试验，材料屈服时，或强度条件：三、强度理论的应用相当应力和适用范围四个强度理论的强度条件的统一形式：相当应力第一强度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论破坏的形式和以下两个因素有关：材料的性质；应力状态对于组合变形下的构件，在线弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本变形下的内力、应力或位移进行叠加。方法：先分解后综合步骤：1.将作用在构件上的载荷分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使得每组载荷只产生一种基本变形；

2.分别计算每种基本变形下应力；

3.将各基本变形下的应力进行叠加，再强度计算。叠加时，当危险点处于单向应力状态时，代数叠加；处于复杂应力状态时，进行应力状态分析，求出主应力，应用强度理论进行强度计算。§8.2拉伸或压缩与弯曲的组合轴向载荷产生的正应力弯曲产生的正应力F一、同时承受轴向和横向载荷的梁qFRAxFRAyFRBFRAxFRAyxqFNM(x)最大正应力及强度条件讨论：应力分布图：FRAxFRAyxqFNM(x)sssle§8.3扭转与弯曲的组合(限于研究圆轴)内力分析，画弯矩和扭矩图处理方法：平移载荷，得到一个过形心的力F和力偶矩Me画构件的受力图FMe=Fe弯矩xMFl扭矩TFe确定危险截面ABA处FD2危险截面上的应力分析危险点1D1D2D1stssttleF强度条件按第三强度理论按第四强度理论式中，W，T危险截面的弯矩和扭矩两端球形铰支，I=Iy讨论：#

I为截面的最小惯性矩wxFFlx#bhyz细长压杆的临界载荷的欧拉公式(两端铰支)l/2l/4l/4FcrFcrFcr#

两端固定

挠曲轴

这两点处弯矩为零

两个拐点

lFcrl2ll0.7lFcrFcrFcrl/2l/4l/4l#一端固定，另一端自由#

一端固定，另一端铰支FcrFcr欧拉公式的普遍形式§7.3中、小柔度杆的临界应力

一、临界应力和柔度令令欧拉临界应力公式②

i#

圆截面讨论：①#空心圆截面#

矩形截面

柔度或长细比综合反映压杆：自然长度l；杆端的约束情况（表达为长度因数m）；截面形状（材料相对于屈曲中性轴分布情况）等因素对临界应力的影响。

惯性半径bhyz适用范围讨论：●Q235