专题14三角函数的最值求解策略-备战2016高考技巧之高中数学黄金解题模板解析版

属中档题方法一 第二 第三 例1已知函数f(x)cos(x)sin2(x)，xR，则f(x)的最大值为 2 2

D．【答案】令tsinx，将其转化为关于t的二次函数求最值问题.1ycos2xasinxa22a5有最大值2，求实数a【答案】a4或3 ysin2xasinxa22a6，令sinxt,tyt2ata22a6，对称轴为ta2三角函数的最值．a2y74sinxcosx4cos2x4cos4x【答案】10法，令sin2x，根据二次函数的性质求最值.y74sinxcosx4cos2x4cos4x72sin2x4cos2x1cos272sin2x4cos2xsin2x72sin2xsin22x1sin2x2sin2x 1126最小值为 1126故当sin2x1y取得最大值10，当sin2x1y取得最小值6方法二f(xasin2xbcos2xcsinxcosxd 运用倍角、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如yasinxbcosxc第二

asinxbcosx

sin(xa2第三 a22f(x)

3sin2xsinxcosx，x

[,π]2f

=0f

（1）f(x)0xπx5π.（2）f(x6

3，最小值 32试题解析：（1）f(x0，得

sinx(3sinxcosx)0，所以sinx0，或tanx 3[,3[,由sinx0xππxπ；由

tanx

3x x5πf(x25π或π.sin2xsin2xsin(2x) 因为x[,π]，所以2x ,].

33

2π

当2x

x

f(x2

3；当2x

x

时，f(x 32【点评】化一法由“化一次“化一名“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂“化一名”使用到推导“化一角”使用到倍角及三角函数的和差等，因此需要大家熟练掌握相关公【变式演练3】设f(x2cos2x23sinxcosx1(xf(x若0x，求yf(x的值域3（2）,（2）0x

531sin(2x) 12sin(2x)6

yf(x的取值范围为[14f(x)4cosxsin(x1(0的最小正周期是6f(xf(x

6 【答案】

(2)x3时，2x

,7

fx2sin2x6

2,所以fx2 82

6 1212

6 ,3上的最大值和最小值分别为2、6 2

8 考点：1、三角函数的恒等变换；2yAsinx5f(x)

3(cos2xsin2x2cos2x10 f(x3232

a6B大小及ABC3【答案】(1)函数f(x)的最小值 3

ABCS

1)【变式演练6】已知f(x) 3(cos2xsin2x)2cos2(x)1的定义域为[0, f(x22

a的长为函数3

3f(xB大小及ABC3【答案】(1)函数f(x)的最小值 3

ABCS

1)337yf(x23sinxcosx2cos2xaxR，其中ay

如果y 的最小值为0，求a的值，并求此时f(x)的最大值及图像的对称轴方程（2）

xk

kZ（1）角降 及配角得

y1cos2x

3sin2xa2sin(2x)a6

T2

y

的最小值为2a1a1，得a1，因此最大值2x

kkZ

x

kZ2a1a34.对称轴方程满足

,即 方法三 第二 第三 例 求函数y2sinx的最值2cosy2sinx4

4 2cos 【解析】设A(22P(cosxsinx),

2sinx，即 为过点A,P两点的斜率.所以要求函 2cos y2sinx的最大值，只要求直线PA的斜率 2cos 因为cos2xsin2x1，所以P(cosx,sinx)在单位圆上.因为直线PA的方程为：y (x2)2，所1k21k2

1，解得

43

7y2sinx2cos44 3

，最小值 448y

1sin21sin

在区间 )上的最小值2y2sinx4

4 2cos yat1（其中t，t为含有三角函数的式子 b

201536时到18y3sin(xk6 【答案】ymin2ymin3k，所以3k2k5，所以这段时间水深ymax3k358C．sinx1y取得最小值，进而求出k的值，当sinx1y 【2015高 ，理10】已知函数fxsinx（，，均为正的常数）的最小正周期，当x 时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是 3（A）f2f2f（C）f2f0f

（B）f0f2f（D）f2f0f【答案】【2015高考浙江，文11】函数

fxsin2xsinxcosx1的最小正周期 ，最小值 3 【答案3 2fxsin2xsinxcosx11sin2x1cos2x11sin2x1cos2x sin(2x ，所以T

2；f(x)min22【20159f(x)sin2x的图像向右平移(0g(x2图像，若对满足f(xg(x)2xxx

，则（ A.

2 6【答案】f(xAsinx为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三

2015高 理13已知函数fxsinx若存在x1，x2，，xm满足0x1x2xm6且fxfxfxfx

f f

12（m2m，则m

【答案】【解析】因为fxsinx，所以

fxmfxnf(x)maxf(x)min2，因此要使得满足条件fx1fx2

fx2fx3

fxn1fxn12的mx0,

,

3,

5,

7,

9,

6即m 【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.位置的考虑方法是解决非常规题的【2015高 ，理15（本小题满分13分）已知函数fxsin2xsin2x，xR 6 (I)f(x (II)f(x在区间[-p 3

【答案】I)

f(

max

3,f(4

12【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦、二倍角的正余弦、三角函数的图象与性质.综合【201518fxsinxsinx

3cos2 求fx的最小正周期和最大值fx在2上的单调性 32

3（2）f(x在[5f(x在[52 6 单调递减【名师点晴】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换把函数解析式化为一个角的一个三角函【2015高考17】某同学用“五点法”f(xAsin(x)(0,||π2x0πxAsin(x050请将上表数据补充完整，．f(x的解yf(x图象上所有点向左平行移动(0yg(x象.yg(x图象的一个对称中心为(5π,0)，求的最小值（Ⅰ）f(x5sin(2xπ（Ⅱ）π 【考点定位】“五点法”f(x)Asin(x)(0,||π2ysinx的图象在[0,2π]

(,1)，(π，0)，(3,1) ycosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)2

,0)，(π，－1)，2

,0)【2015高考，理15】已知函数f(x)

2sin 2 f(xf(x在区间[π，0

2（2）22考点定位：本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂与辅助角降幂和辅助角进行变形，化为标准的

A

)已知函数f(x)2sinx的定义域为[a,b]，值域为[1,2]，则ba的值不可能是 2

B． 【答案】试题分析：f(x)2sinx1，可取x值为,7，f(x)2sinx2x，所以当a 3 b7ba48，所以ba的值不可能是

3131 定义运算 a

aafx

（0）的图象向左平 个单位

1 2

所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是

【答案】已知函数fx13tanxcosx,x0,，则fx的最大值 22【答案】

fx1

3tanxcosxcosx

3sinx2sinx，当x0时， 6 2

2p

x ? ÷，而当x ，即x 时，f(x)取最大值，最大值为 已知f(x)

3sinxcosx(0)xR，在曲线y

f(xy=1若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期 3【答案】f(x)

3sinxcosx2sinx 6 f(x)2sinx1x02时x

或x 6

即x0或x ．由题意可

0 ，解得23所以f(x)的最小正周期T 2考点：三角函数的化简，求值．已知函数f(x)sin(2x )(0),直线xx,xx是yf(x)图像的任意两条对称轴， x1

的最小值为．2f(xf(x

3x2f(

1,[

f(6

6 【答案 k],kZ（2）

（3）

6． （2）由（1）可得f(x)sin(2x) 3 因此不等式等价于2k2x22k，解得k k ∴x的取值范围 k k(kZ

（3）f()sin(2

) , ]， ],cos(2 ) 2 3 2 2 ∴f(

)

3cos(2)1sin(2 22 311261

（12

2 f(x)asin2x3

f() 32f(xxf(x【答案】（1）

2

x

k(kZ)}；（2）；[

k,

k](kz)（2）f(x的最小正周期T22

ysin

在区间[2

2k,2

2k](kz故2k2x

2k(kz)得kx

k(kf(x的单调递增区间为[

k,

k](kf(x)2asinxcosx求实数a

x1，f6

)4f(xx[4

,]

（1）a

（2）[2

3,已知向量a3sinxcosx,bcosxcosx，函数fx2abfxx0时,求fx的最大值及对x值 2 【答案（1）x

kz（2