高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教案

abab§6.3

等比数列及其n

项和考情考向分析

以考查等比数列的通项、前n项及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点节容在高考中既可以填空题的形式进行考查可以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．1．等比数列的有关概念(1)定义地一数列从第二项起项它的前一项的比都等于同一个常(不为零)那这个数列就叫做等比数列个常数叫做等比数列的公比通用字母q表示a定义的表达式为＝(∈N，q为非常)．a(2)等比中项：如果，G，成比数列，那么G叫与b的等比中项．即G是a与b的等比中项aG，成比数列＝.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a＝(2)前项公式：

.S－＝1q1－

.3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a＝·q(，∈N)．m(2)若＋n＝＋＝2(，，，，∈N)，则·＝·.qk(3)若数列}，{b}(项数相同)等比数列，{}}，{a·b}，≠0)nnn仍然是等比数列．(4)在等比数列a}中等距离取出若干项也构成个等比数列aaa…kk为等比数列，公比为q.概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项？

1－1－提示不是．只有同号的两个非实数才有等比中项．3．“＝”是“，b，”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b＝时一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0＝0＝1.但，，成比数列一定有b＝.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在号中打“√”或“×”)(1)满足a＝∈N，为常数的数{}等比数列．(×)n(2)如果数列{a为等比数列，＋，则数列{}是等比数列(×)nnn(3)如果数列{a为等比数列，则数列{lna}是差数列(×)n(4)数列a}的通项公式是aa，则其前项为＝n

a.(×)(5)数列a}为等比数列，则S，－，－成比数列(×)题组二教材改编12．[P54T3]已知{a}是等比数列，a＝2，a＝，则比＝______.4答案

12a11解析由题意知q＝＝，q＝.a823公不1的比数{}满足a＋＝18aa＝9m的值为________．答案10解析由题意得2＝18，∴a＝9又aa＝9∴a＝a∴＝10.m题组三易错自纠a4．若，，4成差数列1，b，4成比数列，则的为_______1答案－2解析∵1，，，4等差数列，∴3(－)＝4－1－＝1.又∵1，，，4等比数列，设其公比为q，则b＝1×4，＝1×>0，∴＝2，

bb2∴＝·11－4bb2∴＝·11－442a－1∴＝＝.S5．设S为比数列a的项，8a＋＝0则＝________.n答案－11解析设等比数列a}的公比为，∵8a＋＝0，∴8a＋q＝0.∴＋8＝0，∴＝－2S1－qS1－qa1－1－＝＝＝－11.－6．一种专门占据内存的计算机毒开机时占据内存1MB然后每3秒身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍那么开________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝2MB)答案39解析由题意可知，病毒每复制次所占内存的大小构成一等比数a}，a＝2，q＝2，∴＝2，则2＝8×2＝2，∴＝13.即病毒共复制了13次∴所需时间为13×3＝39(秒．题型一等比数列基本量的运算11．已知等比数{满足a＝＝4(－1)则a＝________.答案

12解析设等比数列a}的公比为，由题意知aa＝4(－1)a，则a－4a＋4＝0，解得a＝21又a，所＝＝841即＝2，所以a＝q＝.2．(2018·全国Ⅲ等数{a中，＝1＝4

nn(1)求a}通项公式；(2)记为的前项，若S＝63，求mnm解(1)设}的公比为，由题设得＝qn

.由已知得q＝4，解得q＝0(舍去)，＝或＝2.故a＝(

或＝2

(∈N

)．(2)若＝(

1－，S＝.3由S＝63得－2)＝－188，方程没有正整数．若a＝2，则＝2－1.由S＝63得＝64，解得m＝6.综上，＝6.思维升华(1)等比数列的通项公与前项公共涉及五个量a，，，，S，已其n中三个就能求另外两(简称“知三求二”．(2)运用等比数列的前n和公式时，注意对q和≠1的分类讨论．题型二等比数列的判定与证明例1已数{满足对任意的正整数，均有a＝5－2·3，且a＝8.n(1)证明：数列a－3}为等比数列，并求数{}的通项公式；a(2)记＝，求数列}的前n项3解(1)因为a＝5，n所以a－3＝5－3＝5(－3，nn又a＝8所以a－3＝5≠0所以数列a}是首项为5、比为5的等比数列．所以a－3＝5，所以a＝3＋5(．na3(2)由1)知，＝＝＝133

，535则数列b}的前n和＝1＋＋＋＝＋－521－3(n∈N)．思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法：

n2n2a(1)定义法：若＝(是零)，则数{是等比数列；an(2)等比中项法：若＝(∈N，≠0)，数{}是等比数列；nn(3)通项公式法：若a＝(，为零常，则数列}是等数列．n跟踪训练设数{的项为，已知＝1S＝4a＋2.nn(1)设＝a－2，明：数{是等比数列；n(2)求数列}的通项公式．(1)证明由＝1及＝4＋2n有a＋＝＝4＋2.∴＝5，∴＝－2，①又②①－②，得＝4－4a(≥2)，n∴－2a＝2(－2a)(n≥2)．n∵＝－2a∴＝2b(n≥2)，n故}是首项b，比为2的比数列．(2)解由1)知＝＝3·2，na3∴－＝，22413故项，差为的等差数列．24a133－1∴＝＋(－1)·＝，2244故a＝(3－1)·2n∈N)．题型三等比数列的综合应用例2(2018·扬州模拟已知各项都是正数的数{a}的前n项和为S，且2＝＋，数列nnnn1{}满足＝，2＝b＋.2na(1)求数列}}的通项公式b(2)设数列}满足c＝，c＋＋＋的和nn解(1)由题意知2＝a＋，n2＝a＋，

①②

nnn8nnn8②－①得2＝－＋－，nn即＋)(a－－1)＝0.n因为{是正数数列，所以a－＝0即a－＝1，nn所以{是公差为1的等数列．在2＝＋中，令＝1，得a＝1nn所以a＝n.b1b由2＝＋，得＝，211所以数比列其中首项为公比为，22b所以＝

n，＝.2n＋(2)由1)知S＝，22b＋211所以c＝＝＝－，Sn·211所以c＋＋＋＝－.2思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1跟踪训练2(1)已数列a}是比数列，若＝1，a＝，则aaa＋＋(∈N)的最小值为_______．答案2a1解析由已知得数列{a}的公比足＝＝，a811解得q＝，∴a，＝，22

1()S1＋qa－q1aa1()S1＋qa－q1aa14aa1故数列a}以为首，公比为＝的等比数列，42∴＋＋＋＝n

11－488＝33

.S8(2)已知等比数列{a}的前n项为S，＝，则＝________.(≥2，且∈N)S9－n1答案－2解析很明显等比数列的公比q，a1)S1－8则由题意可得＝＝＝，a1－91－q1解得q＝，21aa则＝＝＝

2

41＝－2－1等差数列与等比数列关于等差比数的基本运算在高考试题中频繁出现实质就是解方程或方程组要真计算，灵活处理已知条件．a＋例1)已知等差数列{a}的首项和公差均不为0且足aaa成比数列则a＋＋的值为_______．答案

1314解析已知等差数列{a}的首项公差均不为0且满足，，成等数列，∴＝aa，a＋4d)＝(a＋d)(a＋6d)，d＝－ad，∵≠0∴－10d＝a，a＋a＋17＋1713∴＝＝＝.＋＋3＋16＋16(2)已知a}为等比数列，数{}足b＝2，b＝5且a(b－)＝，则数列{的nn前n项和________．

2a2a答案

3＋(∈N)2解析∵，＝5且(－)＝，n∴(－)＝a，＝3a，又数列}为等数列，∴数{的公比q＝3，a∴－＝＝3n∴数列}是首为2，差为3的等差数列，3＋∴数列}的前n项和为S＝2＋×3(．223(3)(2018·苏州调研)若列{a}的前n项和S满足S＝(1＋)(∈N，则a的值2．答案－813解析∵＝(1n∈N)，2∴当n＝1时，a＝－3，3∴当n≥2时，a＝－＝－，nna即＝3，∴{a是首项为－，比为3的比数列．∴＝.∴＝－81.(4)(2018·江苏省南京市秦淮中学模已知数列}，＝1，a＝3若＋2＋an＝0对意n∈N

都立，则数列{a}的前n和＝________.n答案

奇，解析a＝1a＝3，＋2＋＝0对任∈N都立，n可得a＋＝－(＋)＋＝4.n则数列＋}是等比数列，项为4，公比为1.n∴＋＝4×(－1)n

.a＋a＝4×(－1)，当＝1时，a＝1

＝13，133＝13，133当＝2＋1(∈N)时，＋＝－4，kS＝S＝＋＋…＋＋k＝＋(－4k)＝3n，当＝2(∈N

)时，＋＝4，kS＝S＝4＝2.k奇，∴＝.1．已知等比数{满足a＝1＝16则该数列的公比________．答案±2解析根据等比数列的性质可得a·＝＝·＝＝16＝2，所以，q＝±2.2．(2018·苏州调)设各项均正数的等比数{}的项为，已知a＝6a－3＝12则S＝________.答案242＝6，解析由题意－3＝12，

∴，＝3.2所以S＝＝242.13．(2018·江苏省南京金陵中学)设各项均为正数的等比数{的前n项为S，若na－a＝78＝13则数列a的通项公式为a＝________.n答案3(∈N)解析因为数{为等比数列，－，＝13，－q＝78所以1q

解得

，或－2

(舍去，所以a＝3(∈N)．4．等比数列{a}的前项为S1答案－3解析当＝1时，＝S＝3r

＋，r的值________．

S[1－S[1－当≥2时，a＝－＝3

－3＝3

(3－1)

＝8·3·3

8＝·9，38即等比数列}首项为，公比为，381所以3＋＝，r＝－.33S5．已知等比数{的公比为－2，且其前项和，则＝________.n答案5解析由题意可得，a－S1－＝＝1＋(]1－6．古代数学著作《九章算术》如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是“一女子善织布每天织的布都是前一天的2倍已知她5天共布5尺女每天分别织布多？”根据问题的已知条件使布的总尺数不少于，该女子所需的天数至少为________答案8解析由题意知其每天织布尺数成公比为的等数列，可设该女子第一天织布尺x5则＝5，解得x＝，1315所以前n天织的尺数为(2－1)，315由(2－1)，得2≥187，31又因为n为正数，所以n的小值为8.7．若正项等比数{a}足＝2(∈N)则－a的值________．答案162解析设正项等比数列}的比为q>0，∵＝2(∈N)，

21－1q1－21－1q1－a2∴＝＝4q，得q＝2，aa2n∴×2＝2，>0，解得＝nn则a－＝－22＝162.

2n2

，8．已知等比数{的前n项和S，＝2018a＋＝－2a，＝________.答案2018解析∵＋－2，∴＋＋2a＝0＋2aq＋aq＝0∴

＋2＋1＝0，解得q＝－1.∵＝2018，a2018×[1－]∴＝＝1－q2＝2018.19．已知各项均为正数的等比数{a}满足a＝，且a＝2＋3，则a＝________.答案18解析∵a＝2＋3，∴＝2，解得a＝3(舍负)，即aq＝3，则＝6，a＝

1＝×36＝18.210．等比数列{a的前n项和为，＝2，＋＝，则λ＝________.n答案

83解析∵a，∴＝2，∴＝2，∵＋，aaλa∴＋＝，1－＋1λ(1－)，8将＝2代入算可得＝.3a11．(2018·全Ⅰ已数{满足＝1，na＝2(na.＝.n(1)求，b，；

nn22nn22(2)判断数列{b是否为等比数列，并说明理由；(3)求a}通项公式．2解(1)由条件可得a＝，nn将＝1代入得a＝4a，a＝1，所以＝4.将＝2代入得a＝3a，以a＝12.从而b＝1，b＝2＝4.(2){}是首项为1，公比为2的比数列．a2由条件可得＝，b＝2，n＋1又b＝1所以b是首项为1公比为2的等数列．na(3)由2)可得＝2，所以a＝n·2∈N．a12．知数列a}满足a＝1a＝2，a＝，∈N.(1)令＝a－a，证：b}是等比数列；(2)求数列}的通项公式．(1)证明＝－a＋当≥2时，b＝－＝－nn11＝－(aa)＝－，221∴{b是以首项，－为比的等比数列．21(2)解由1)知＝－a＝

，当≥2时，a＝a＋(a－)a－＋…＋(－)n11＝1＋1＋11－21＝1＋＝1＋321－

aaaaaa52＝－33

.52当＝1时，－×，33252∴＝－*)3331113．比数列{a}的首项为，公比为－，n项和，当∈N时S－的大值与22最小值的比值为________．10答案－731解析∵等比数列a}的首项为公比为－，223∴＝×22

，3221∴＝＝1－11－2

.35①当n为奇数时，＝1着n的大而减小，则1<＝，故0<－≤；261②当n为偶数时，＝1

371随着的大而增大，则＝≤S<1故－≤－<0.4n1251610∴－的大值与最小值的比值为＝.S77－1214已知数{的前n和为S－2＝log(·nn则满足T>1024最小n的为_______答案9解析由数列的前n项为S＝2－2n则当n≥2时，a＝－＝2－2－2＋2＝2，na＝S＝2满足上式，

)数{}的