股票价格的期权定价模型分析

股票价格的权定价模型析1.2早期模型期权的含义期权，简单地说就是一个订货，我们用一个例子来说明。甲希望在一年以后购得某品牌新上市的手机A甲认为该手机新上市时会以8000元出售，超过了甲的承受范围，同时，有乙认为，该手机新上市时会以元出售，那么这时甲乙同意签署一份合即期权向乙支付期权费用合同规定，当手机上市时，甲有权利以7000元的价格从乙处购买手机A，但是甲不具备买入的义务。这是最简单的期权模型，我们也可以规定将“买改“卖出”，不变的只是支付期权费用的人是有权利而无义务的。期权定价模型的发展股市有风险投资需谨慎正是这种风险显示了期权的价格长久以来人们一直致力于研究如何用各种不确定因素估计标的资产的风险。早在世纪初，法国数学家路易斯在他的《投机理论》中就提出了对绝对的布朗运动的股票价股价的变动也是一个随机过程，其变化过程可以用布朗运动来模拟）的估值模型，站在买方的角度上进行统计，其期权价值主要是：因为理论并未关注到正值货币的1964年，波内斯提出了在固定对数分布下的股票收益，给

出了以下定价公式：此处，示股票预期收益率。二十世纪中期，萨缪尔森寻找到欧式买方期权的定价方式，思考到需要具备较高预期收益率β，此主要公式为：通过观（可知波内斯模型就是萨缪尔森模型在α=时的特殊情况[3-7,11]。这些理论定价理论的发展寻找到正确方向还对日后的各项定价理论的发展起到了决定性的作用。第二章现代期权定价模型2.1模型二十世纪七十年代等专家指出Black-Scholes模型此后叫做S模型外，Merton在很多方面做出了重要推广。上述学者在股价服从对数正态分布的假设基础上使用相关观点推测得到不需要红利的欧式期权定价模型：其中：我们已经知道，在清算日，买入期权的支付为，我们只要求出的期望们就可以通过利率贴现现在的期权价格：因此突破口在于计算出。取是的概率，那么，即(2-3)该问题最终归结为求解和。接下来我们来求解这两个量。（1求。因为有和故有(2-4)在风险中性基础上于上述假定我们就可以知道，服从正态分布，此外其期望与方差主要是：

及其中。所以，随机变量服从标准正态分布。如果记,。由于服从对数正态分布。分布密度函数。其中，故作变量换：有：，且当时而当时，可以得到：故：主要观点是人们对风险持有的态度并不能影响期权的有效价是估值方式和股价期望收益率没有关系仅依赖于一些可观测变量如:股票现价)、r(无风险利率)与σ(股票价格波动率)波动率σ依照众多历史信息统计得出)具体执行价格)、τ(到期2.2价法二项期权定价法(树法)由Rubinstein等人提出的一种数值计算法。单期二项式期权模型假定票期初和期末时刻价格为记起初时刻的期权价值为。那么与在期末时有如下表示：PCS现在我们可以构建一个如下组合：对任意S1，由于是套期保值组合，故存在等：解出：

又有：(2-10)此处，r为无风险利率，整个由(与(可得解出：又因为：则:即可得得出单期看涨期权的具体定价公式期看涨期权的二项式期权定价公式将上述得出的定价公式当做重要前提，此时把二项式期权定价公式使用到多期此处常用条件是。下图是两期股票价格二叉树图Sud=SS且有：直接利用单期看涨期权的二项式期权定价公式得(2-14)(2-15)其中，是每一期的再对，运用单期看涨期权的二项式期权定价公式，可得：(2-16)主要是两期看涨期权的定价公式。通过两期模型可直接推测出期，研究购买期到期看涨期权，股票价格是，而多个周期内涨价或降价概率，1-p与值都相似，此时每期价格主要被划分成两部分，如此，在期末，价格的所有可能数值是,，，…，，此外=概率是：按照推导两期模型的思路从第n开始向前递推可以得到期看涨期权的二项式定价公式:二项式期权定价重点是u和明确际使用中时刻是期权到期日是T，就将有效T-t分类n个周期周期长度是Δt(年是单位)，

无风险利率是，具体波动率是σ,那么可以让因为二项式期权定价模型主要使用离散化形式来处置价格此在具体合约期内，其也需要思考股利发放现状。此外，在树状结构结束之后，了解到期的全部价值，可以推测出以前结点的全部数据，且统计出价格树上所有结点具备的意义在上述结点可对比始终持有与马上执行的价值进而挑选最佳数值不只能得到所有点的正当价格，此外还能了解最佳期权执行为了让此定价模型统计的数据更加精准须让n取相对高的数值。但是在高时，所要统计的任务也会随之增多一直变大最终趋向到无穷大的时候分析模型和Black-Scholes期权定价模型全部相同后者遭受约束或者和现实情况有明显不同时使用本文分析模型就能得到较好效果。2.3Monte-Carlo模拟方法拟方式还是重要的数值统计方式能对欧式衍生证券开展估值其可以处理相对复杂的问题此外计算效率高其主要由初始时刻的期权值推测出此后时刻期权值，主要使用在欧式期权中。Monte-Carlo模拟方式的主要理论假定了解标的资产价格的分布函数之后将有效期限划分成众多较小间隔通过电脑具备的功能要从上述样本内随意选择来模拟不同间隔股票价格变化和价格也许表现出的具体路径此就可以计算出期权真实价值上述结论可被当做所有可能终值集合内的随机样本使用上述变量其他路径可得到其他的相关样本过较多路径就能

得到较多的样本如此持续反复无限次就能得到T时刻价格总集合众多随机样本开展大致计算以得到相应的预期收益。依照相关定价知识，把此后时刻的预期收益使用无风险利率折现，随之得出当前价格此处，代表期权价格r代表无风险利率，目前时刻是0，是T时刻预期效益。此方式主要使用在对标的股票标准差是随机变量的期权进行分析具体价格进而标准差的路径均被模拟任意时刻标准差之值，影响本研究股票价格的概率情况。此方式主要优点是使用在标的资产的预期收益率和波动率函数形式相对繁琐时，此外模拟运算Monte-Carlo模拟可以和二叉树图方法结合起来为期权定价。在树图构造全部完成之后，能够从其中随机选择样本。但是此时并非从后往前倒推，主要是依照图形往后推。主要方式是:在首个结点我们选择0到范围内的随机数，假如上述数低于P此时需要增加分支则就要减少分支入下个结点之后，继续重复以上过程一直进入树图底端之后可统计选定路径期权盈亏值，如此就可以顺利完结。反复以上所有环节，开展数次模拟时把全部盈亏值按照无风险利率开展贴现之后得到平均值，也就是期权价格计值。第三章股票期权的定价方法在之前的长久最初股票定价模型是John在二十世纪末期设计的，主要内容是:此处，S是目前股票价格，是第i期末

现金股息是期望收益率等于无风险利率以及风险补偿率。二十世纪中期关专家在上述研究前提下计具体模型。假定股息以预期稳定增长率δ发展此时式则是:2)在的基础上公式被简化成可以看出传统模型的构造是完全符合逻辑的，但是也存在如下弊端：①α值与无风险利率、补偿率有一定关系，后者和众多不明确的隐藏投资者的风险偏好有关，故α难以准确估算。②准确的预计未来很长而对于股息折现模型，其在时是没有意义的。切对的估计很难精确。因此，除了在简化模型中用于检测，传统方法很难进行实用。3.1股票的期权定价方法权益资本的期权特征假定：示公司价值，表示公司负债，那么在到期日，会有如下情况：股东无剩余价值。公司不仅能覆盖债权人的债务，其超过部分还归股东所有。这种情形如图所示类比可知，公司的资产好比一个看涨期权，在经营周期期末，若有股东将行权，其盈利为若有X或V=X，股东将放弃行权，股东会亏损买入股权的费用。公司价值股东损益0-CX3.1.2期权定价模型根据之前

的叙述即便企业股票属于看涨期权显然可以通过看涨期权的定价模型来统计股票综合价值只需要了解总股数每股价格就可以顺利了解到。接下来深入分析怎样使用期权定价模型确定股票价格。根据期权定价模型，主要公式是:）其中，，是标准正态分布函数，把上面模型中的变量重新定义:我们可以直接代入（）式进行计算，得到的是公司股票的总价值。模型参数的估计在采用Black-Scholes模型时可知，SrT都是可以直接得到或者精确估计的那么问题的关键就是如何准确预估行业价值的波动率σ。确定公司此后市场价值年波动率。本文分析模型假设股票价格对数符合正态分布时波动率就是年收益率的标准差，且假设前者在有效期内不会出现改变。一般来说波动率统计是在大量信息前提下开展估计此处明显可通过企业价值的之前评估值来明确年波动率。确定下述定义符号n+1代表观察次数，代表在第i个因为标准差是此时变量s其估计值因此σ自身就是被预估成，此处，因此估计标准误差类似于。3.2股票的期权定价应用实例下表确定某企业在年

月到2002年月底二十个季度的企业价值评估值。季度公司价值评估表（千万元）公司评估价值比率（）每季收益每季收益平方20120.1251.006250.0000420.*****0.00015631.006290.006270.00004420.50.024690.0006150.*****0.00015620.8751.030860.030400.00092420.8751.000000.000000.00000820.8751.000000.000000.00000920.75-0.006011.000000.00000211.012050.0119821.1251.005950.00003520.8750.00014141.000000.000001521.251.017960.017800.000321621.3751.005880.005870.0000341721.3751.000000.000000.00000-0.005870.00003421.751.023530.023260.00054201.011490.00013合计0.09531根据(）式，可以计算出公司价值季度收益率标准差的估计值是：由于年，则波动率的估计值是：所以该公司价值波动率的估计值是每年2.46%，这个估计值的标准误差是：或每年公司资产负债表2002年月30日）单位：千万元资产负债及所有者权益

流动资产流动负债固定资产

12.24公司债券12.00其他资产股东权益6.38资产合计22.00负债及权益合计22.00上述是此企业在2002年第二季度底的大致资产负债表，企业下发的债券到期己知该公司在2002年6月日的评估价值是22千万元，去除其余短期负债后企业价值是

S=18.38千万元18.38)定无风险年利率r=10%,那么依照定价公式可统计得到负债率/22.00=71%假如企业准备下发的综合股数是100万，那么每股价格是61.1元。根据上述案例可知企业总负债率企业价值变化不大，运作业绩平稳，企业在债券到期时执行看涨期权的可能性是98.5%，也就是企业有很高的概率支付债务，破产概率很低。3.3与蒙特卡洛模拟的对比为了说明B-S模型的准确性，我们采用一种传统方法来与模型所得到的结果来进行比较。从前面的介绍我们可以知道二叉树是最容易理解的方法但是为了使二叉树模型得到精确的结果们不得不使取一个很大的数，然而当n增加时，所需要计算的步骤将呈几何级数增加，很难操作并且n越来越大时会越来越趋近于B-S模型这种验证是没有意义的蒙特卡洛模拟法和B-S模型是完全不同的两种思路，同时可以借助matlab进行快速的计算，且不会因为维数而影响误差，相比之下，我们选择蒙特卡洛模拟法来模型比较。

我们还是采用上表的数据，选择第四季度为起始接下来，我们用来估计股价：首先，我们把股票的有效期限分为若干个很小的确定无风险利率这和用B-S模型时市场的无风险利率是一致的。第三步，计算市场的波动率这里用到的方法和B-S模型中第一步用到的方法是相同的需要带入第四季度的数据计算即可过程也非常简单易波动率同时确定从起始日到到期日的现在我们要构造蒙特卡洛模拟，确定三个循环：首先是由起始日到到期日中的每一天我们都要进行模拟是第一个循环：FornDays=其次，每一天中要选择若干个运行路径并且利用这些路径产生符合正态分布的随机矩阵本例中我们确定路径数是条。这是第二个循环：j=1:nTrails=randn(1,nDays)最后要确定每一天的股价，从而依次确定其后的股价，直至到期日。这是第三个循环：i=1:nDaysds=s（n(i))确定三个循环之后也就是我们通过反复无数次测试以后得出到期日时刻股票价格的汇总上述随机样本开展大致的算术平均就能得出到期日的具体股票价格。完整的蒙特卡洛模拟模型如下图：

经过模拟我们得到了如下所示的到期日当天的股价集合：利用上述计算得到的平均值，此时就可以得到下面的股价：易看出，蒙特卡模拟得到的最终股价在[59.2,59.7]波动，由期权定价法得到的股价是61.1，两个结果较为吻合从上面的构造过程可以看出蒙特卡洛模拟最后是简单的取得集合的算术平均值，这对最后结果的准确性是有影响的，因为任一时刻投资者对股价影响的大小是不同的有这些影响都会使得股价的变动趋向于某个方向股价趋向于某个方向后，投资者的行为对股价的影响又会改变种影响我们可以看作是一种较为定向的影响而不再是随机的影响因此蒙特卡洛模拟在处理股价问题上时虽然过程简单结果仍然不是非