初中奥林匹克数学解题思想方法和技巧2010927

初中奥林匹克数学解题思想方法和技巧【英文题名】MethodologyandTechniquesforSolvingonOlympicMathematicsinJuniorMiddleSchool中文重点字】奥林匹克数学;初中奥数;解题的方法和技巧;【英文重点词】Olympicmathematics;OlympicmathematicinJuniorMiddleSchool;methodologyandtechniquesforsolving;【中文大纲】随着数学奥林匹克活动的广泛深入的发展,奥林匹克数学及其教育也惹起了各争议。在这类状况下,本文就初中的奥林匹克数学的解题为研究对象

种各样的问题与,对其所涉及的思想方法与技巧进行研究商议。【英文大纲】WiththeextensiveandthoroughdevelopmentoftheMathematicalOlympicactivities,theOlympicmathematicsandtheeducationonithavealsoinitiatedvariousquestionsanddisputes.Underthissituation,withsolvingonOlympicMathematicsinJuniorMiddleSchoolasitsresearchobjectives,thisarticleattemptstostudyandprobeonthemethodologyandtechniquesinvolvedinit.一．奥林匹克数学教育数学比赛的流行，对数学、教育学和考试学都产生了踊跃的影响，对数学教育的改革也产生了必然的推进作用。这些都致使了比赛数学的出生，从教育的角度看，比赛数学教育围绕着数学竞赛睁开的数学教育活动，以开发智能为根本目的，以解决问题为基本形式，以数学比赛大纲为基本教课内容，实行“多纲多本”的拥有综合性教育功能的数学素质教育。何为比赛数学呢？我所理解的比赛数学应该是一门交错学科，应该是数学与教育学的交错，高等数学与初等数学的交错，高等教育与初等教育的交错，同时也是数学素质与应试艺术的交融。二.初中奥林匹克数学内容以及初中数学比赛的发展趋向奥林匹克数学已经成为中小学生数学课外活动的重要部分，奥林匹克数学的研究也已经成为数学研究的重要课题。而初中奥数是奥数教育的基础，关于数学人材的发现和培育，激发数学学习的兴趣，推进数学教育的改革和发展都拥有特别重要的、不行代替的作用。因此随着数学奥林匹克和数学教育的不停深入和发展，适合地评估初中奥数的奥数教育和基础数学教育中的地位和作用。适合地介绍初中学生学习的奥数内容，正确地指引初中学生学习奥数，不论对奥数活动的健康发展，还是对基础数学教育和奥数的深入研究都是特别有利和必需的。中国数学奥林匹克的培训，基本上已经形成了一个比较合理有效的培训系统。在着这个系统中高中学生是数学奥林匹克的主力军。我们也不能够否认的认识到随着奥数活动不停发展，初中将会成为培育奥数人材的基地。当培训系统渐渐完美的同时，比赛活动和内容也应该规范化与正规化。三.初中奥林匹克数学中解题的思想方法与技巧比赛数学是锻炼思想的体操，其核心是问题。数学比赛就是解决问题的比赛，那么，解题就成为了比赛数学教育的重要组成部分。在学校的数学学习中，同学们几乎每天都要解一些数学题，好多同学关于书籍上基础知识、定理可说是能够倒背如流，但是他们一碰到那些构思奇妙、灵便运用知识、不名一格的比赛数学题目的时候，就束手无策，连解题的着手点都找不到。当老师也许同学将解答过程高质的时候，刹时茅塞顿开，大发感想本来这样。所以，好多同学都希望能够提升自己的解题能力，特别是一些希望参加比赛，并想在比赛中获得好成绩的同学。那么，怎样才能提高我们的解题能力呢！第一，要求同学们对课本所涉及的数学观点以及与这些观点亲密相关的定义、定理、数学公式与法规等都要熟习；其次，要能够灵便运用这些指示，在运用中可以结合一些基本的数学思想方法与解题技巧，打好这两个方面的基础此后，还要配合必然量的联系来累积解题经验，养成优异的解题习惯。解题经验的累积关于我们提升解题能力很重要，我们若能够在解题中注意累积每一点发现与认识，从量变到质变，慢慢就可以培育出一种擅长思虑和解决问题的能力。下边向大家介绍一些基础的解题思想方法与技巧：第一，要养成优异的解题习惯，好多同学都忽略认识题步骤这一环节，一拿到题目就开始动笔进行解题，实质上这样做是不好的。正确的解题步骤对我们解决问题有很大的帮助。那么，正确的解题步骤是怎样的呢？其实每一位同学都知道，美国出名的数学家、教育学家波利亚在他的惊世之作《怎样解题》中也明确地指出解题的步骤是：1.审题；2.解析；3.解题；4.检查。第一，审题是解题的出发点。有好多数学题在审清题意此后，同时就发现了解题的方法和路子，所以，审题是解题中最重要的环节。自然也有一些数学题固然我们审情出了题目，但是我们却不能够立刻找出解题的方法甚至是连题目的意思都还没有考虑透，这时，就需要我们依据过去累积的解题经验，利用自己掌握的解题方法与技巧，将原问题转变，寻找到解题的着手点，尔后将它解决。在这个过程中数学的思想方法和解题技巧起到了特别重要而重点也是特别灵便的作用。这个过程也是最能够展现数学美的地方，不知多少量学爱好者们陶醉于这个过程中，乐而忘返。最后解题一定注意总结解题经验也就是检查。若是说认真审题一个好的开头，那么认真总结经验就是一个好的结尾。总结是为了今后解题的需要。有了优异的解题习惯，无疑关于提升我们的解题能力确立了一个牢固的基础。其次，要确立好牢固的解题功底一掌握好解题工具：数学的思想方法和技巧。下边将这些方法与技巧分成：1.探究思路的钥匙--—关于审题的思想；2.解决问题的重点----关于解题的思想。探究思路的钥匙一一关于审题的思想①整体办理的思想一道数学题能够说是一个系统，有条件和文体组成，条件平时分成几个部分独立开来。有时条件多了，问题应该会比较简单解决，但是前提是合理地利用条件。若是条件之间互相独立而毫无联系，那么关于我们审题来说是一种麻烦，所以我们在审题的时候就应该注意对题目整体结构的解析办理，从整体的性质出发去掌握各个部分，这样办理思想我们称之为整体办理的思想。也就是说能够经过政体的性质类确立部分的性质。

在比赛数学里，整体办理的思想应用也特其他广泛，比方：［例1］在厶ABC的内部有n个点，以这n-5个点为极点，将三角形切割成互补重叠的三角形，共可得几个三角形？解析：因为对△

ABC

的切割未必是唯一的，所以，直接计算比较困难。当我们取

能够猜想一共获得小三角形

2n1

个。这里若是我们能够用整体办理的方法来解决的话，

就能够找到解题的方法。解:

设三角形切割获得

X

个小三角形，因为三角形的内角和是

180度，所以

x

个三角形的内角和

s

等于：

s=^x；其他我们注意到从整体来看这

x

个三角形的内角和

s

是由两部分角组

成的，一是在等极点

A、B、C

处，二是极点在三角形内部的个

n

点并且互补重叠，每一个点

都对应一个

360度的周角，所以内角和

s=2「：n

?二综上所述能够获得：

二x=2二

n-

■:所以

s=2n1

.从上边的例子我们能够看出：整体办理的思想方法能够帮助我们挖掘问题的内在特点，结合各个条件，使得每一个条件的作使劲都朝着解决问题的方向使，进而使得所研究的问题得以顺利解决。②等量代换的思想等量代换顾名思义就是用相等的量来代换本来的量，使原问题得以解决的思想方法。过改变原命题的报告也许改变察看角度，使之更为我们所熟习，进而达到解题的目的。数学元素的等量代换来解题的方法叫做换元法。换元法就是用一个新的字母也许新的数学式

运用

通代替换原字母也许数学式。利用恒等变形，将原问题由难化易，由繁化简，一种等量代换的解题方法。在比赛数学里，等量代换的思想应用也特其他广泛，

由隐蔽化显然的看下边的例题：xyz^abc,222yz=1,_+—+_=o,求证：x［例2］已知一+丄+—2+2+2=「bcabcxyz'axyz

d证明：设丨，m,n,则：abc,,111c丨mn=1,0lmn由上式得：Immnnl=0x2y2z22222进而：二2=Imn=(Imn)—2(|mmnn1)=1abc说明：因为已知条件和问题表达式比较复杂，所以我们能够利用换元法将其化简，再利用(Imn)2=l2m2n22(lmmnnl)关系式获得结果。2.解决问题的重点----关于解题的思想①带余除法初等数论中有好多问题都是在研究整数之间的除法。任意两个整数的和、差也许积都是整数，但是两个整数相除时所获得的结果却不必然是整数。那么就可以将除法分为整除和带余除法。下边。先介绍一下带余除法的观点与性质：带余除法：设a、b是两个整数，b=0,则存在唯一的一对整数q和r，知足a=bqr,0辽r乞b，此中q称为a除以b所得的商，r称为a除以b所得的余数。定义：若是a除以b所得的余数等于零，那么称a能被b整除，或称b整除a。记作ba。不然，若是余数不等于零，那么称b不能够整除a。性质1：若是ab,bc,那么ac。这时整除的传达性；行至2：若ab,ac,则对任意整数x,y,都有abx?y.有了上边的定义和性质，我们能够很方便地将整数划分为若干类。奇数和偶数实质上就是将全部整数按被2除时的余数为1仍是为0这个标准分成两类。余数为1就是奇数，用2k-1或2k1(这里k为整数)表示；余数为0就是偶数，用2k表示。这类分类的方法很简单实行到一般情形，比方：全部整数按辈3除时的余数可分成三类：第一类是能够被3整除的数，能够用3k表示；第二类是被3除余数为1的数，能够用3k1表示；第三类是被3除余数为2的数，能够用3k2或3k-1表示。一般德,整数a按被b(b.0)除时的余数能够分成b类，这b类数能够分别用bk,bk1,bk2-bk(b_1)表示，此中k为整数。依据这个规律，我们完整能够依据问题的需要将整数划分成若干类，进而使问题条理化，这就是利用余数的思想方法。［例3］4个数2613，2243，1503,985被同一自然数除时所得的余数同样(但不为零)，求除数和余数。解：设除数为b，余数为r，依题意有：2613=bq1r;........(1)2243=bq2r;.........(2)1503二bq3r;.........(3)985二bq4r;.....⑷-⑵得:370二b(q-q2)；(3)-(4)得:518二b(q3-q4).以上可370和518都能够被b整除，也就是说b时370和518的合约数。因为370知，和518的大于1的合约数有2，37,74,所以b=2,37,74,相应地r=1,23,23.所以除数为2时余数是1，除数是37时余数是23，除数是74时余数是23。②待定系数法“待定系数法“是一种很重要的解决多项式问题的数学方法，它的思想方法是：先假设一个恒等式，此中含有待定的系数，尔后依据多项式衡等观点也许是相关的定理导出方程或方程组，解方程或方程组进而求出待定的稀罕，也许从方程或方程组中消去待定系数，找到本来那些已知系数间所存在的关系，进而解决问题。在这类方法的使用过程中有个地方需要注意：在假设恒等式的时候，平时需要知道问题的预约结构，中间的待定系数主若是整式中的系数。换句话说就是：只要能与之多项式问题的结构都能够考虑使用待定系数法。下边我们用例子来看对待定系数法的应用：［例4］请问：当m,n为何数时，多项式x4-4X2?mx-n能够被x2，2x-1整除？解析：依据题目的意思和整除的要求，能够预知商式应该是一个二次三项式，所以我们能够运用待定系数法假设所求商式为ax2bxc，再依据题目已知的两个多项式进行解析能够知道a=1,c=n,这样就减少了两个待定系数，再依据多项式衡等观点能够求解出其余三个待定系数。解：假设商式为x2bxn，则依题意可得:x4—4x2mx—n=(x22x—1)(x2bxn)=x4(2b)x3(2bn—1)x2(2n—b)x—n比较等式左右两边多项式的系数可得：‘2+b=02bn-仁-42n「b二m解方程组得：b--2,n=1,^=4.所以当m=4,n=1时，多项式x4-4x2?mx-n能够被x2?2x_1整除。四、小结数学比赛的流行，对数学、教育学和考试学都产