用三角代换解代数问题

(陕西省洋县城关中学对某些代数问题,若能抓住题目中的 系或特征,恰当运用三角代换常可使问题 >0.求y=x+1-x的最小值松获解 分析:因为0<x<1且x+(1-x)=1故可用三角代换

2解:设x=inθθ∈0 ,2 例 求函数y x-4 15-3x y=x+1-x=iθ+oθ值域分析:一般的思路是:平方,移项,孤立根式,,化为有理式求解4≤x≤5,x-4≥0

=a2(1+ot2)+b2(1+tan2)=a2+b2+(acot)2+(btan)≥a2+b2+2ab=(a+b)2a当且仅acotθ=btan,sinθa:

15-3

≥0

4≤x

a+

,等号成立x4iθ0θ≤π,π3π3y=sin+3cos=2sin ,因为∈0π,,

ymin=a+b)例 1-b2+ 1-a2=求证a2+b2.θ+. ,当θ=π

=1

分析:由已知可得|a|≤1|b|≤1故可-ππ-ππ当=6ymax故函数的值域是12π3点评:三角代换后的函数简洁明快,但须特别注意,转换后的函数y=2sin π3, ,sinα)1且α+β[-π,].

α+β=2.0, 上不是单调函数,故最大值不能在 左端点取得例 已知0<x<1,ab为常数,且

a2+b2sin2αoα=例 实数xy满收稿日期:2007-03-

(x+2)

(y-2) = 若x+y-k<0恒成立,求k的范围 故ymin=-

,ymax=1(x+2) (y-2) 分析: =1, -1≤x+2≤1,-1≤y-2 故可用三角代换

,,而且技巧性强用三角代换求解,非常简洁.例 数列{an}满n-解:设x+2=cos,y-2=sin,其中θ 1n- a0=3,an (n=1,2,⋯)x=3cos-2,y=4sin+x+y-k0,

求证:{an}是单调数列(第15届全俄中学生数学1+an-23cos+4sin-k<0 分析:1+an-2即k3cos+4sin=5sinθ+φ)φ,tan=3φ4

与余弦函数的半角结构完全一致0,0,1因为θR,5sinθ+φ)∈[-5,5θ+

证明:设a0=cos θ∈ 11+an-2k5k∈(5,+∞

an

n∈N点评:234均属已知条件符合三角函数的基本关系式oθ+iθ=1一类.另外,还有基本关系式:θ-aθ=1,cθ-otθ=1等

a 1+cosθ=cosθ1 1a2=cosθ4 例5 求函数y= x的最值

a=cosθ 2

x 且0<2n2n-1<⋯<4<2<2分析:注意到其结构与万 2tanθ 故cos2n>cos2n-1>⋯>cos4>cos2>cos,sin= 1tan2 即a0<a1<⋯<an-1<an2

例 7个实数,证明:其中至少有解:注意到x∈R,可 2个实 ≤x-y≤ π2x= ,∈ ,2y=1sin.2

1+ 3.(第16届数学分析:欲证式子x-y的结构与两角差1+π2,因为π2,-π<θ<.

:xtanαytanβ,,ππ θ

∈

)

sin 1 π2,αx-y=tan(π2,α由于αβ∈

,而-ππ

:若|x|>1,y=4x3-3x=x(4x2-3)得|y|>|x|

同理,|z|>|y|,|x|>|z|,互 ,72个在同一个区间内

,|x|,|y|≤1,|z|α

xcosθθ[0

例 y=4x3-3xz=4y3-3y

6成

y=cosθ,z=cosθ,x=cos2.由cos2θ=cosθ,1six=4z3-3的实数对xyz)

1θ=1θ=θ= θ 分析:方程组中的每一个方程的结构都与三倍角cosθ=4oθ-3cosθ相同

k=0,1,故可用三角代换,但需|x||y||z|均不能大于1.

θ,osθ,os9)27组解v=c,1u1+5综上,在任意△ABC中,存在两条边u 5 1 ,ABC,u5 v

1+≤< ≤<a≥1,b≥1.c5 15

3,5a≥1+ ,b≥1+551+ b-1+2若b ,则结论已成立1+ b-1+2v=b)

a≥1 ,则a-1 b≥0,

0≤bab-1551+ 551+-1 b

-1b- =a