第十章二重积分(DoubleIntegral)

第十章 二重积分(DoubleIntegral)第二节二重积分的计算(ComputationofDoubleIntegral)教学目的：熟练掌握二重积分在直角坐标系下以及极坐标系下的计算方法教学内容：1.直角坐标系下的二重积分的计算方法2.极坐标系下的二重积分在的计算方法教学重点：1.二重积分在直角坐标系下的计算2.二重积分在极坐标系下的计算教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教 具：多媒体课件教学方法：讲授法教学过程：

精讲：重点讲清二重积分的积分次序选择以及定限问题一、直角坐标系下二重积分的计算方法设二重积分 f(x,y)d的被积函数f(x,y)在积分区域D上连续，且f(x,y)0，D积分区域（9-4。由不等式：来表示。y

y1yy2D

(x)yy2(x)

,axby

yy2D

(x)y y1(x)o a b x(a)

yy(x)2o b x(b)a图9-4用平行截面法求曲顶柱体的体积。先求平行截面的面积（9-5）所示在区间[a,bx,作平行于1

yy(x)1yoz面的平面xx1

,去截曲顶柱，得到一个

yy2x

(x)曲边梯形曲边方程为： 1图9-5zf(x,y) x x1zf(x1

，把这一曲边梯形投影到yoz坐标平面上，得一以区间[y1,y)为曲边的曲边梯形，它的面积为：

(x),y1

(x)]为底，1S(x)1

y(x)212y(x)

f(x,y)dy111一般地,过区间[a,bxyoz的平面，截曲顶柱体所得截面的面积为S(x)y2(x)y(x)1

f(x,y)dy利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为：VbS(x)dxb[2(x)

f(x,y)dy]dxa a根据二重积分的几何意义V f(x,y)dD

y(x)1从而有f(x,y)db[y2(x

f(x,y)dydxbdxy2(x

f(x,y)dya y(x)D 1

a y(x)1yxy2x)y(x)1

f(x,y)dy中把x看作常数。类似地，如果积分区域D（如图9-6所示）由不等式x(y)xx1 2

),cyd来表示，则二重积分有下列计算公式★f(x,y)dd[2(y

f(x,y)dxdyddy2(y

f(x,y)dxc x(y)D 1

c x(y)1这是先对x，后对y的二次积分。dxdxx(y)1Dxco(a)xdx(y)1Dxx2co(b)xx(y) x2图9-6

(y)Dx轴（y轴）DD分成几个满足上面两种类型的区域。1I

1xy

，其中D：1x1，2y2（如图9-7所示。

3 4D解：先对x，后对y积分y21o1x29-7I2dy1(y21o1x29-72 1 3 42

(x

x2

xy)1 dy2 6 4 12

(2

y)dy2 282xyd，式中Dy2D

x及直线：yx2所围成的区域（如图9-8所示。解：先画出积分区域D D:1y2,y2xy21xyd2dyy2xydx2[1x2y]1

y2dy

y(y2)2y5dy451 y2D

12 y2

12 8y yB2 2B1K xy2 xy21o x1图9-8o 1 2 x图9-9例3确定积分区域，并更换积分的次序I2dx

f(x,y)dy。1 1x解：找边界曲线，画出积分区域D，更换积分次序：先对x，后对y积分，做辅助线BK区DD:

y1, x2

:1y2,yx2。1 1 2 y 1 因此I1dy2f(x,y)dx2y

f(x,y)dx1 1 1 y2 y二、极坐标下二重积分的计算方法坐标变量r,来表示比较简单，这时，我们就考虑用极坐标来计算它。假定从极点oDD的（如图9-10所示）xrcos,yrsin下，用以极点为中心的一族同心圆：r常数，及从极点出发的一族射线常数，把 图9-10D分成n个小区域。此时，小区域的面积为：k

r r，所以面积元素drdrd，f(x,y)f(rcosrsin)，于是将直角坐标系下的二重积分计算问题转换为极坐标系下的二重积分计算公式：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdD D极坐标下二重积分化为二次积分的方法：D之外Drr

)f(rcos,rsin)rdrd

1 r( r(

2f(rcos,rsin)rdr r()D 1D之内D02,0rr()f(rcos,rsin)rdrd2dr)

f(rcos,rsin)rdr0 0DD的边界上D:,0rr()f(rcos,rsin)rdrddr)

f(rcos,rsin)rdr 0D一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以x2y2,x2y2,xy,

x等形式出现时，y来计算往往会更加简便。4I

a2x2y2dDx2y2ax(a0)D解化为极坐标，以xrcos,yrsin，drdrd，r代入得D的边界方程racos0racos。

。因此表示为：2

, 2 a2Ia2r2rdr2

aco0

a2r2rdrD 1

23acos 2 2 (a2r2)2 d 2(a3a3sin3)d2 3 302101 a395I

x2y2d

Da2

x2y2

b2D解在极坐标下区域可表示为：0yD:arbDoIr3dr2dbr3dr0 a

a b xD0

bdrr44

(b4a4)2(1)交换积分顺序1dxx0 x2

f(x,y)dy；(2)计算(x2y2d，其中D:x,y1；D(3)计算(x2y2d，其中D:x2y21。D小结：b★二重积分在直角坐标下的计算公式f(x,y)ddx小结：b

(x)f(x,y(x)a (x)D 1（注意积分顺序的选择