2022届安徽省桐城高三第二次调研数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若awR,贝！l“a=3”是“x（l+or）’的展开式中/项的系数为90”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知函数/（x）=lnx+ox+/j的图象在点（1,4+匕）处的切线方程是y=3x—2,贝！|。一力=（）

A.2B.3C.-2D.-3

3.已知集合4={小+1<0},B={x|x>o},若AU3=R,则实数。的值可以为（）

A.2B.1C.0D.-2

4.已知塞函数/（x）=/的图象过点（3,5）,且口=上，。=而，c=loga—,则。，。，c的大小关系为（）

\e）4

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

5.已知曲线了=。1+1（。〉0且。"）过定点（左/）,若加+〃=。且,〃>0,〃>0,则刍+，的最小值为（）.

mn

95

xlnx—2x,x>0

6.已知函数/（x）=,3n的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-i的对称点在y=履-1的图像

XH—X,XW0

上，则实数人的取值范围是（）

7.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={X|X2-X+2>0},则408=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

8.过抛物线丁=2〃彳（〃>0）的焦点?作直线与抛物线在第一象限交于点4,与准线在第三象限交于点8,过点A作

AF\

准线的垂线，垂足为”.若tan/AfH=2,则焉=（）

Br\

9.已知三棱锥P-A3C中，。为AB的中点，P。，平面ABC,NA尸B=90°,PA=PB=2,则有下列四个结

论：①若。为△A3C的外心，则PC=2；②AABC若为等边三角形，则APLBC；③当NAC6=90°时，PC与

平面Q45所成的角的范围为0，：；④当PC=4时，M为平面P8C内一动点，若。M〃平面PAC,则M在

内轨迹的长度为1.其中正确的个数是（）.

A.1B.1C.3D.4

10.已知向量£=（〃?,1）,S=（-l,2）,若（£—2历，讥则£与石夹角的余弦值为（）

.2岳H2历「6而n6屈

A.-------B.-----C.-------D.-----

13136565

11.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述镇误的是（）

C=BDB-iace----jsnsia一道口厚遨

A.这五年，出口百趣之和比进口总辨年和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

12.函数/（x）=21-+i在（o,+8）内有且只有一个零点，贝ija的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若加=氏/2-%/苞2+1+5<0为假，则实数。的取值范围为.

14.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球,

丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有种不同的放法.

15.已知集合A={-1,0,2},5={HX=2〃-L〃eZ},则4口3=.

16.公比为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S,，若出=2,S4-552=0,则S6-S?的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥mBCD中，R1_L平面48C。，ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为

PC的中点.

（1）求异面直线AP,所成角的余弦值；

4

（2）点N在线段AO上，且AN=2,若直线MN与平面P3C所成角的正弦值为彳，求2的值.

18.（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐

f。品

x=-2+—t

标方程为夕sin2e=2acos6（a>0）,过点网―2,—4）的直线/的参数方程为t_（为参数），直线/与曲

y=-4+—t

I2

线C交于A/、N两点。

（1）写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：

（2）若『知|,|加代|,|「代|成等比数列，求a的值。

〃丫2-LV-L1

19.（12分）已知函数〃%）=:二L

（1）证明：当X〉0时，>J；

（2）若函数/（X）只有一个零点，求正实数。的值.

20.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

x-2cos6

己知曲线G的参数方程是｛.八（。为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C,

y=sin〃

的极坐标方程是夕=2sin9.

（1）写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程;

（2）已知点的极坐标分别为1,'和（2,0）,直线m1知2与曲线C?相交于p,Q两点，射线OP与曲线

G相交于点A,射线OQ与曲线C相交于点8,求=T+TT%的值.

21.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用

于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形ABC绕底边8c上的高所在直线

A0旋转180。而成，如图2.已知圆。的半径为10c机，^ZBAO=0,O<0<-,圆锥的侧面积为ScM.

(1)求S关于。的函数关系式；

(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABCZ)中，BCLCD,AD=CD,PA=3叵，AABC和AP3C均为边长为2G

的等边三角形.

(1)求证：平面平面A3CD；

(2)求二面角C—P8—。的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

求得x(l+办)5的二项展开式的通项为cX,令左=2时河得/项的系数为90,BPC；X/=90，求得“，即可得出

结果.

【详解】

若a=3则x(1+6)5=x(1+3村二项展开式的通项为《*3«♦,令人+1=3,即左=2,则V项的系数为

C；x3?=90，充分性成立;当x(l+以的展开式中V项的系数为90,则有C；x/=90，从而a=±3，必要性不成立.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.

2.B

【解析】

根据/'⑴=3求出。=2,再根据(l,a+份也在直线y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【详解】

因为/'(x)=‘+a，所以/'(1)=3

x

所以l+a=3,a=2,

又(1,。+力)也在直线y=3x-2上，

所以a+Z?=l,

解得a=2,Z?=-l,

所以a-6=3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.D

【解析】

由题意可得A={x|x4一1},根据AU3=R,即可得出aW—l,从而求出结果.

【详解】

vA={x|x<-l},B={x|x>a},且A|J8=R,

•••"的值可以为-2.

故选：D.

【点睛】

考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算.

4.A

【解析】

根据题意求得参数a,根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.

【详解】

依题意，得3a=5,故a=log.35e(1,2),

门、]叫5_____]

故Ova=-<1，/?=^/log35>1,^=logIog^5-<0,

3'4

则CVQ<b.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.

5.A

【解析】

41

根据指数型函数所过的定点，确定k=l/=2,再根据条件“+〃=2,利用基本不等式求一+―的最小值.

mn

【详解】

・・・定点为(1,2),

k=\,b=2,

:.m+n=2

41141z、I.m4〃、9

—I—=—(—I—)(根+九)=­(5H-----1------—

mn2mn2几m2

m4〃

当且仅当一=一时等号成立，

nm

429

即m=—,〃=—时取得最小值一.

332

故选：A

【点睛】

本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

6.A

【解析】

可将问题转化，求直线)，=丘-1关于直线y=-l的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定我的取值范围即可

【详解】

可求得直线y=区—1关于直线y=-1的对称直线为y=—1(机=-k),

当x>0时，f(x)=x\nx-2x,/'(x)=lnx-l,当x=e时，/'(x)=0,则当xw(O,e)时，/'(x)<0,/(x)

单减，当xe(泊+动时,/'(x)>0,/(x)单增；

3a33a

当xWO时，〃》)=炉+/1，/(x)=2x+；,当x="，/(力=0,当时，”X)单减，当-(<x<0时,

/1)单增;

根据题意画出函数大致图像，如图:

3i

当y=/nx—l与/(%)=12+jx(x40)相切时，得△=(),解得加=一耳

y=x\nx-2x

当y=与/(x)=xlnx-2x(x〉0)相切时，满足，y=e-l

m=lnx-1

解得x=i,机=-i,结合图像可知即-"卜，-?,

故选：A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

7.D

【解析】

先求出集合3,再与集合A求交集即可.

【详解】

由已知，x2-x+2=（x-g）2+（＞o,故/=/?,所以4。3={-2,—1,0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

8.C

【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得AAEH为等腰三角形，设准线与x轴的交点为M，过点/作尸C_LA”,再由三角

函数定义和几何关系分别表示转化出\BF\=cos（上2a），

ptana

M=sin（乃-2a）'结合比值与正切二倍角公式化简即可

【详解】

如图，设准线与x轴的交点为M，过点尸作FCLAW.由抛物线定义知|AF|=|AH|,

,.\MF\p

所以Z4"尸=Z4/77=a,NE4"=万一"=NO阳，=—~!~-=-J

1cos（4一2a）cos（4一2a）

I，|CF||CH|tancifplana

1sin（4一2a）sin（万一2a）sin（万一2a）

~.AF]tanatanatan2a-l3

所以-----=------------=--------=---------=—.

BF\tan（万一2a）-tan2a22

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题

9.C

【解析】

由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断①正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转

化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.

【详解】

画出图形:

若。为AASC的外心，则。4=O8=OC=0，

P。J_平面ABC,可得P010C,即PC=yjP02+0C2=2，①正确；

△A3C若为等边三角形，APA.BC,又

可得"，平面P8C,即AP_LPC,由POLOC可得

PC=yJPCf+OC2==2V2=AC»矛盾，②错误；

若NAC8=90°,设PC与平面RW所成角为。

可得0C=0A=08=应，PC=2,

设C到平面Q4B的距离为d

由^C-PAB=^P-ABC可得

-d---2-2=--y/2--ACBC

3232

A「2.RR2

即有ACBC^2伍,，=4,当且仅当AC=BC=2取等号.

2

可得d的最大值为应，sin。=—

22

即。的范围为（0,：,③正确；

取8C中点N,PB的中点K,连接OK,ON,MV

由中位线定理可得平面OKN//平面PAC

可得A/在线段初上，而KN=、PC=2,可得④正确；

2

所以正确的是：①③④

故选：C

【点睛】

此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明,

也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.

10.B

【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量a-2b的坐标，利用©-2b)-b=0求得参数m,再用cos〈£出〉=卫-计算即可.

|4|屹|

【详解】

依题意，a-2b=(m+2,-3),而(〃一2万)%=0,即—〃2—2—6=0,解得加二一8,贝!I

a-h_102V13

cos〈a,B〉=

|a||SrV5-V6513

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

11.D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确;

对B项,由统计图可得,2015年出口额最少，则B正确;

对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份，则C正确;

对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误;

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

12.A

【解析】

求出/(乃=6/-26，对。分类讨论，求出(0,+8)单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

【详解】

f'(x)=6x2—2ax=6x(x-—),

若xe(0,+oo),/'(x)>0,

.f(x)在(0,+8)单调递增，且/(0)=1>0,

.f(x)在(0,+8)不存在零点；

若。>0,xe(0,1),/\%)<0,%€(0,+^),f'(x)>0,

/(x)=2x3-a?+1在(0,+纥)内有且只有一个零点,

a=3.

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(—,4]

【解析】

x2+5

由三%GR,%」-+1+5<0为假,可知VxeR,d-aJf+1+520为真,所以对任意实数X恒

J42+1

炉+5x2+5

成立，求出的最小值，令)min即可•

A/X2+1\lx2+\

【详解】

因为迎ER,%2-a收+1+5<0为假,则其否定为真,

X2+5炉+5

即VxcR,/一〃，^~71+520为真，所以对任意实数X恒成立，所以aW(y=)min.

yjx2+lVx+1

+5/4/〉4

又l—=4+1+/,",当且仅当=-/,即》=±6时，等号成立，所以a«4.

V7+1V7+1Vx2+1

故答案为：(-8,4].

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.

14.20

【解析】

讨论装球盒子的个数，计算得到答案.

【详解】

当四个盒子有球时：C：=6种；

当三个盒子有球时：2C；+2C；C；=12种；

当两个盒子有球时：&=2种.

故共有20种，

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.

15.{-1}

【解析】

由B={x|x=2〃-1,〃ez}可得集合B是奇数集，由此可以得出结果.

【详解】

解：因为5={x|x=2〃-l,”ez}

所以集合3中的元素为奇数，

所以An8={—1}.

【点睛】

本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.

16.56

【解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】

a2=2,S4-5S2=0,

a、q—2,

ca.=1,

…（1-才）=

-~；，[q一/，

Ii-qi-q

—S3-%+%+—2+24+2，=56.

故答案为：56.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)逅.(2)1

3

【解析】

(1)先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量的和向量丽的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2,由AN=2,设N(0,九0)(0<z<4),则丽=(-1,2—1,-2),再求得平面尸8c的一个法向量，利用直线MN

4____\MN-m\_1-2-214

与平面尸5c所成角的正弦值为不，由|cos(MN，m〉\=\MN\\m\一，5+(『-1)?•逐-本辉.

【详解】

(1)因为AlJ_平面ABC。，且A8,AOu平面ABC。，所以出J_A8,PAI.AD.

又因为N3AO=90。，所以B4,AB,AO两两互相垂直.

分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则由AO=2AB=28C=4,Bl=4可得

A(0,0,0),B[2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4).

又因为M为尸C的中点，所以A/(l,1,2).

所以^7=(—1，1，2),A户=(0，0，4),

_.、APBM

所以cos〈A户,BM)=——•——

|APIIBM|

0x(-l)+0xl+4x2加

4x763

所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为逅.

3

(2)因为AN=2,所以N(0,九0)(0<2<4),

则丽=(一1，％—1，-2),BC=(0,2,0),PB=(2,0,-4).

设平面PBC的法向量为〃;=(x,j⑶,

m-BC-02y=0

则《即々

和而=02x—4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以布=(2,0,1)是平面P8C的一个法向量.

4

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为二,

所以|cos<MN>

m|MN||m|J5+(A-1)-1\/55

解得2=1G[O,4],

所以2的值为L

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,

属于中档题.

18.(1)/的普通方程y=x-2；C的直角坐标方程＞=2ax；(2)a=l.

【解析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线。的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数/即可得到直线

/的直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出从而建立关于。的方程,

求解即可.

【详解】

乌

x——2+2

(1)由直线/的参数方程＜也消去参数，得,

y=-4+2

y=-4+x+2,即y=x-2为/的普通方程

由psin20=2acos0,两边乘以「得炉sin?。=2apeos6

：.y=2at为C的直角坐标方程.

f06

X=-2H------1

⑵将|2代入抛物线y2=2依得产一2夜(a+4)f+32+8a=0

/五,^

y=-4+—t

I2

△=(2后(a+4))2-4(32+8〃)>0

%+=2-^2(6/+4)>0

%=32+8Q>0

.r]>0,r2>0

由已知IPM1,1MN|,|PN|成等比数列,

:]MN\"=\PM\-\PN\

即kl-^|2=闻•/21，&+)2-4月=草2,«+，2)2=5V2，

(2夜(a+4)>=5(32+8。)整理得〃+3a-4=0

a--4(舍去)或a=l.

【点睛】

熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.

19.(1)证明见解析；(2)

【解析】

⑴把转化成x>gnx,令g(x)=x—jinx,由题意得，即证明g()加>0恒成立，通过导数求证即可

(2)直接求导可得，，“、"厂a尸，令f(x)=0,得x=2--或x=0,故根据0与2+—的大小关

J(幻=--------;-------aa

系来进行分类讨论即可

【详解】

<<O<

证明：(1)令g(x)=x-二Inx,则g'(x)=l---=—~

分析知，函数g(x)的增区间为(|,+co｝减区间为

所以当X€(O,4W)时,g(%L=g(|)=|—|ln?=|(l——ln|)>o].

所以x>|lnx,即Qinj，

所以er>

所以当x>0时，

解：(2)因为/•(〃)=加+.+]_],所以一改2+(24_1)X__。卜一一^卜.

")⑶=

讨论：

IX2(X2\

①当。=时，f\x)=----<0,此时函数/(x)在区间(-00,m)上单调递减.

又/(0)=0，

故此时函数/(X)仅有一个零点为0；

②当0<a<3时，令尸(x)>0,得(！<x<0,故函数/(x)的增区间为(号」,o],减区间为18,受土)

(0,+cc).

又极大值/(0)=0,所以极小值/(子」]<0.

当xv—时，有0ve*vl.

a

y^cuc+x+l>ax2+x>0,此时/(x)>0,

故当0<“<；时，函数/(x)还有一个零点，不符合题意；

③当a>；时，令尸(x)>0得0cxe:]，故函数/(X)的增区间为减区间为(一8，°)，(与°，+8)

又极小值/(0)=()，所以极大值号二斗>0.

若x>2,贝!J(a+l)f一(加+》+1)=%2-%-1,得(a+l)f>加+%+1,

所以/(幻=竺二上1一1

<(〃+1)尢?

(a+l)x2-ex

(a+l)x2-x2

ex

x2[(”+1)石]

所以当x>2且x>(a+l)2时，/(x)<0,故此时函数/(x)还有一个零点，不符合题意.

综上，所求实数。的值为!.

【点睛】

本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如

、一)x,进而分类讨论，本题属于难题

f(%)=--------------------

丫2115

20.(1)线G的普通方程为上+>2=1，曲线G的直角坐标方程为无2+(y-1)2=1；(2)--r+—-p=-.

4ICz/iI|\JDI4

【解析】

x=pcosO

试题分析：(D(1)利用cos20+sin2()=l,即可曲线G的参数方程化为普通方程，进而利用<产.八即可化为极坐

y-psinB

标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；

(2)由过炉+(广1)2=1的圆心，得OPJ.OQ得Q4_LQ3,设A(g,。)，《外办鼻，

而1F而1T*1+后1代〃入2一,七,=1中即可得解

试题解析：

(1)曲线G的普通方程为三+丁=1,化成极坐标方程为「cos”+22sin2—=1

44

曲线G的直角坐标方程为x2+(y-l)2=l

⑵在直角坐标系下，陷(0,1),M2(2,0),M32：x+2y-2=0

恰好过d+(y—仔=1的圆心，

2

NPOQ=90。由OPLOQ得。4J_0BA，8是椭圆r工+V=1上的两点,

4-

p^cos23

在极坐标下,设Ag,e),分别代入+P12sin26>=l中,

4

有江誓+「；a2。=1和上

+砾叫呜卜1

4

.1COS?。,2c1sin?。2c

/•-7=-----Fsin0f——=-----Fcos0

P；4p24

1155

即----7----------7

P\Pi4|OA|2|OB|24

21.(1)S=400兀sinOcosP,(0<。<2)(2)侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰45的长度为丝公cm

23

【解析】

试题分析：(D由条件，AB=20cos8,BD=20cos"sine,所以$=4()0公山&。5的，(0<^<-)；(2)

2

S=400〃sin8cos2e=400Hsine-sin3e)^x=sine,所以得=》一/，通过求导分析，得f(x)在》=日

时取得极大值，也是最大值.