2022届甘肃会宁高考数学五模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数在复平面内对应的点在第二象限'则实数"的取值范围是()

A.（一11）B.—C.（l,+oo）D.(0,+oo)

丫+sinX

2.函虬，〜*的部分图象大致为<>

A,吟炒6B.

X

D.----►

'2x-y>0

3.不等式组表示的平面区域为。，贝II（）

x+y—3<0

A.V（x,y）eQ,x+2y>3B.3（x,y）eQ,x+2y>5

C.V（x,y）eQ,）+、〉3D.3（x,y）eQ,2±Z>5

x-1x-1

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

1

3

俯视图

2J45

D.

3336

5.已知复数7满足2。+。=1一，(,・为虚数单位)，则z的虚部为()

A.-iB.iC.1D.-1

6.函数y=sinx(3sinx+4cosx)(xwR)的最大值为A7,最小正周期为T,则有序数对(加,7)为()

A.(5,万)B.(4,1)C.(一1,2乃)D.(4,271)

x-2,(x>10)

7.设fM=<，则”5)=()

/[/(x+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

8.已知直线x+y=，与圆》2+;；2=2/一*。€/?)有公共点，则(4-。的最大值为()

283232

A.4B.——C.—D.—

997

9.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外

的最大突出(图中CO)有15cm,跨接了6个坐位的宽度(A3),每个座位宽度为43cm,估计弯管的长度，下面的结

果中最接近真实值的是()

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

10.若函数〃x)=2sin(x+28>cosx(0<6?<y)的图象过点(0,2),则()

A.函数y=/(x)的值域是[0,2]B.点是y=/(x)的一个对称中心

C.函数y=/(x)的最小正周期是2万D.直线x=?是y=/(x)的一条对称轴

f71

11.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点。(2,-1)在角a的终边上，贝！|sin万-2a

()

433

A.——D.

555

r2v?4

12.已知双曲线C：r—二=15>0,b>0）的右焦点为F,过原点0作斜率为一的直线交C的右支于点A,若|。4|=|0八,

ab~3

则双曲线的离心率为（）

A.百B.75C.2D.6+1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y<2x+1,

13.若变量x,，满足约束条件2x+y«4,则z=x-2y的最大值为.

y+2>0,

14.利用等面积法可以推导出在边长为〃的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值』电，类比上述结论，利用

2

等体积法进行推导，在棱长为“的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是

15.已知向量汗=（旭,4）石=（3,-2）,且日〃5，则山=.

16.已知数列｛“”｝中，S“为其前〃项和，%=1,a“a“+i=2",贝!］。6=，^200=-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（力=卜一1|一2|x+3|.

（1）求不等式〃制<1的解集；

（2）若存在实数工，使得不等式加2-3加—/（x）<0成立，求实数，〃的取值范围.

18.（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安

全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统

计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的

得分Z服从正态分布N（〃,210）,其中〃近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

(1)请利用正态分布的知识求尸(36<ZW79.5)；

(2)该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案:

①得分不低于M的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费:

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

获赠的随机话费(单位：元)1020

2]_

概率

33

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？

附:①师，14.5；②若X~N3b2)；则尸(〃-b<X<〃+cr)=0.6827,P(〃-2，<X<〃+2b)=0.9545,

尸(〃-3<r<X<〃+3cr)=0.9973.

19.(12分)已知函数/“)=1/d-#一"€尺八2.718283是自然对数的底数.

⑴若a=-e,讨论“X)的单调性；

(2)若/(x)有两个极值点小刍，求。的取值范围，并证明：xtx2>xt+x2.

20.(12分)如图，在三棱柱A5C-A'3'C'中，M.N、产分别是AC、BC、AC的中点.

(1)证明：MN〃平面CFB'；

(2)若底面A'8'C'是正三角形，A'C'=1,C在底面的投影为尸，求B'到平面AA'C'C的距离.

4—x

21.(12分)已知函数/(x)=ln——+(2—a)(x—1).

x

(1)当。=1时.

①求函数Ax)在(2"(2))处的切线方程;

②定义s“=/(-)+/(-)+.••+/(如1)其中〃GN*，求邑。2。；

nnn

(2)当a#2时，设f(x)=/(x)—ln(4x-V),g")=此一4为自然对数的底数)，若对任意给定的不@(0,同，在

(0,e］上总存在两个不同的x,(i=l,2),使得"x,)=g(x0)成立，求〃的取值范围.

22.(10分)如图，在直棱柱ABCO—AMGQ中，底面ABCO为菱形，AB=BD=2,=2,BO与AC相

交于点E,4。与AO1相交于点。.

(1)求证：4。，平面842。；

(2)求直线。8与平面。52所成的角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

复数z=N=空-"i,在复平面内对应的点在第二象限，可得关于“的不等式组，解得。的范围.

【详解】

a-ia-\a+1.

z=-----=--------------1,

1+z22

由其在复平面对应的点在第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.B

【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】

/(-%)="X+SllX~~V)=--'+S，n-=-f(x),故奇函数，四个图像均符合。

1+X1+厂

r-I-cinx

当xe(O,万)时，sinx>0,>0,排除C、D

1+x

v--1-cinV

当xe(;r,2%)时，sinx<0,y=:〉0,排除A。

1+厂

故选B。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

3.D

【解析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设Z1=x+2y,Z2=^2,分析的几何意义,

x-l

可得Z1,z2的最小值，据此分析选项即可得答案.

其表示的平面区域如图所示,

其中A(2,l),8(1,2),

设Z=x+2y,则y=4的几何意义为直线y=g+］在)，轴上的截距的2倍，

由图可得：当〉=一5+］过点3(1,2)时，直线z=x+2y在》轴上的截距最大，即x+2y«5,

xz

当>=—石+j过点原点时，直线ZI=x+2y在y轴上的截距最小，即x+2yN0,

故AB错误；

设Z2=匕1,则z2的几何意义为点(x,y)与点(1,-2)连线的斜率，

由图可得Z2最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.

4.A

【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积.

【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示，

12

则该几何体的体积为：—xlxlx2=—.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键.

5.D

【解析】

根据复数z满足z(l+i)=l-i,利用复数的除法求得2,再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数Z满足z(l+i)=l—"

i(i-O2

所以Z=——=,、/_7=-I，

1+z(l+z)(l-z)

所以z的虚部为—1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.B

【解析】

3353

函数），=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x--cos2x+二==sin（2x一夕）+二（0为辅助角）

2222

...函数的最大值为M=4,最小正周期为7=夸="

故选B

7.B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求XN10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

尤-2(x210)

-v(5)=/ir(i)]

=/(9)=/[/-(15)]

=/(13)=1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

8.C

【解析】

根据％2+'2=2”/(七用表示圆和直线》+>=，与圆x2+y2=2-f2«eR)有公共点，得到再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为3+9=〃-/(正用表示圆,

所以2/—/>0,解得0<r<2,

因为直线x+y=/与圆有公共点,

所以圆心到直线的距离dWr,

即<d2t—t">

V2

4

解得OKY；

3

4

此时0</<—，

3

04

因为/(/)=[4一/)=一/+由=一«-2)一+4,在0,-递增,

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9.B

【解析】

A8为弯管，AB为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径为广，从而可得弧所对的圆心角，再利

用弧长公式即可求解.

【详解】

如图所示，为弯管，A3为6个座位的宽度，

D

0

则AB=6x43=258cm

CD=15cm

设弧AB所在圆的半径为广，则

r2=(r-CD)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r«562cm

129

sinNA0。=——"0.23

562

可以近似地认为sinxax,即NAO。。0.23

于是ZAQ6^0.46,AB长=562x0.462258.5

所以26(kro是最接近的，其中选项A的长度比AB还小，不可能，

乃

因此只能选B,260或者由cosx«0.97,sin2x«0.45=>2x<—

6

冗

所以弧长<562x—=294.

6

故选：B

【点睛】

本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

10.A

【解析】

根据函数/(X)的图像过点(0,2),求出凡可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数/(x)=2sin(x+26>cosx(0<^<!)的图象过点(0,2),

可得2sin2^=2,即sin26=l,

ie=-e=-,

2f4

故/(x)=2sin(x+26>cosx=2cos2x=cos2x+l,

对于A,由一14cos2x41,则OW/(X)W2,故A正确；

对于B,当x=?时，，0=1,故B错误；

27r

对于C,T=~=7V,故C错误；

2

对于D,当x=?时，=故D错误；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

11.D

【解析】

由题知cosa=2^5,又sin(g-2a]=cos2a=2cos2a-l,代入计算可得.

5U}

【详解】

由题知COSCZ，又sin|-—2al=cos2a=Zcos?a-1==.

5U)5

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.

12.B

【解析】

“x2+»2=c-2

以。为圆心，以|。目为半径的圆的方程为f+y2=c2,联立/y2_,可求出点A、--------,则

一万=11cC)

整理计算可得离心率.

【详解】

解：以。为圆心，以|。目为半径的圆的方程为1+>2=。2,

22

f2,22a>Jc+b

X+y=cx=----------

联立2,取第一象限的解得/0,

二一々=1b2

.a2b2y=——

b2

22

(aylc+h]nlc=4

即A--------，一,则22

ca^c+b-3>

7

整理得(9c2-5a2)(c2-5a2)=0,

1

则c二~=±5<1(舍去)，c」=5,

a29a2

:.e，=亚.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.7

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.

观察可知，当直线z=x-2y过点C(3,-2)时，z有最大值，zmax=7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.

a

14.——a

3

【解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.

【详解】

作PO_L平面ABC,。为AABC的重心

如图

AD=AB-sinZABD=a•sin60=——a

2

则AO=2AO=^a,

33

所以PO=必产一数=亚〃

3

设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x

则--S^BC•%=』.S^BC.P。nx=——^

故答案为：逅a

3

【点睛】

本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.

15.-6

【解析】

由向量平行的坐标表示得出-2,〃-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】

因为万〃5，所以一2〃2-4X3=0,解得根=—6.

故答案为：-6

【点睛】

本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

16.83x2,ao-3（写为2侬+2⑼一3也得分）

【解析】

由q=l,a,1M=2"得，4=2.当时，2"-',所以”=2,所以｛%｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则必=2x22=8,

以5）+出■-空=23—3=3x23—3.

1-21-2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴(-oo,-6)U(-2,+oo)；(2)(-1,4).

【解析】

⑴将函数y=/(x)的解析式表示为分段函数，然后分xV—3、一3<x<l、尤上1三段求解不等式综合

可得出不等式/(x)<l的解集；

(2)求出函数y=/(x)的最大值/(同心，由题意得出病一3〃2</(可,而，解此不等式即可得出实数团的取值范

围.

【详解】

x+7,x<-3

*.*f(x)~|x_1|_2|x+3|—*—3x_5,_3<尢<1.

—x—7,xN1

(1)当xW-3时，由/(x)=x+7<l,解得x<-6,此时xv-6；

当一3cx<1时，由/(x)=-3x-5<l,解得了>—2,此时一2cx<1；

当xNl时，由=解得%>—8,此时xNl.

综上所述，不等式〃x)<l的解集(F,-6)U(-2,M)；

(2)当xW-3时，函数〃x)=x+7单调递增，则4/(—3)=4；

当一3cx<1时，函数〃元)=-3%-5单调递减,则/⑴3),即—8</(x)<4；

当1时，函数/(%)=-％-7单调递减，则〃x)W〃T)=—8.

综上所述，函数y=/(x)的最大值为/(旦皿=/(—3)=4,

由题知，trr-3m<=4,解得一l<w<4.

因此，实数〃7的取值范围是(-1,4).

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求

解能力，属于中等题.

18.(1)0.8186；(2)估计此次活动可能赠送出100000元话费

【解析】

(1)根据正态分布的性质可求尸(36<ZW79.5)的值.

(2)设某家长参加活动可获赠话费为X元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动

可能赠送出的话费数额.

【详解】

(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

//=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36=65-27^15,79.5»65+V210,

所以P(36<Z«79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.8186；

(2)根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10,20,30,40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费

的概率都为?，

2

121

得10元的情况为低于平均值，概率「=彳'彳=彳，

233

得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率

111227

rn=—x—d--x—x—=——,

2323318

I912

得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为尸MGXGX-X-MK，

2339

得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为尸

23318

所以变量X的分布列为:

X10203040

721

P

318918

1721

某家长获赠话费的期望为E(X)=10X§+20XR+30X3+40X^=20.

所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.

【点睛】

本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象

的对称性来进行，本题属于中档题.

19.(1)减区间是［0,增区间是1%+8)；(2)(°，/)，证明见解析.

【解析】

(1)当。=-6时，求得函数“X)的导函数/‘(X)以及二阶导函数/'(X),由此求得/(X)的单调区间.

(2)令/'。)=0求得4=叱，构造函数g(x)=@/，利用导数求得g(x)的单调区间、极值和最值，结合“X)

In(x^)

有两个极值点，求得。的取值范围.将与2代入/(力=/加一依列方程组，由a=-------^证得

%+%2工2%+x2

x[x2>Xj+x2.

【详解】

(1)f\x)=lnx-ax=bix^rex,

又/"(x)=q+e>0,所以尸(x)在(0，+8)单增,

(n

从而当xe0,-时，/'(x)<O,.f(x)递减，

当XJ-,+00

时，“X)递增.

(2)/(尤)=如-0¥.令/(1)=0=〃=^^

令g(x)=邛，则g<x)1-lnx

x2

故g(x)在(0,e)递增，在(e,+8)递减,

g(e)=).注意到当％>1时g(x)>0,

所以g(x)1a=

e

所以当。<0时，/(X)有一个极值点,

当0<a<,时，/(x)有两个极值点,

e

当“2」时，“X)没有极值点，

e

综上

因为当,三是〃x)的两个极值点,

\nx—ax=0In%=ax

所以《]]x

Inx2-ax2=0Inx2=ax2

不设演<勺，1<%<0<W9

因为g(x)在g+8)递减，且匹+%2>工2,

所以ln(x+w)Jnx2=ln(%+X2)<a

x1+x2x2玉+x2

ln(x/2)

又In%+In9=Q(玉+九2)na=

x}+x2

所以电Sl<31n中2〉％+x,

X[+X2X]+x2

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化

归与转化的数学思想方法，属于难题.

20.(1)证明见解析；(2)立.

2

【解析】

(D连接A3,连接BC'、B'C交于点E,并连接EF,则点E为BC的中点，利用中位线的性质得出即〃AB,

MN//AB,利用空间平行线的传递性可得出瓦7/肱V,然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)推导出夕尸，平面AA'C'C,并计算出8'尸，由此可得出夕到平面A4'CC的距离为8,尸，即可得解.

【详解】

(1)连接A8,连接BC'、B'C交于点E，并连接EE,则点E为3C'的中点，

•.•£、F分别为8C'、AC的中点，则Eb//A8,同理可得MN//A'B,：.EF//MN.

•.•MNZ平面CFB',£bu平面CFB',因此，MN〃平面CFB'；

(2)由于C在底面A'8'C的投影为E,平面A'B'C,

MEu平面A'B'C',二3'尸_LCb,

•.•△AB'C'为正三角形，且尸为4C的中点，.•.BRLA'C,

•.•。/04。'=尸，；.笈尸，平面/14'。'。，且8/=A8'-sin^=且，

32

因此，B'到平面4VCC的距离为且.

2

【点睛】

本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21.(D①)，=1；②8079；(2)I-oo,2一一—.

Ie-l」

【解析】

(1)①。=1时，/(x)=/n—+x-l,1(幻="4：+4,利用导数的几何意义能求出函数/0)在(2,/(2))处的切

XX—4X

线方程.

4-Y128079

②由/(%)=/〃土上+X—1,得/(X)+八4—x)=2,由此能求出&侬=/(焉)+/(-=-)+…+/(歌)的值.

x202020202020

(2)根据若对任意给定的题€(0,e］,在区间(0,e］上总存在两个不同的玉(i=1,2),使得"x,)=g(x0)成立，得到

函数f(x)在区间(0,e］上不单调，从而求得〃的取值范围.

【详解】

4—x

(1)(1)Va=l,f(x)=In——-+x-l

x

:.f(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(O<x<4)

•••r(x)=-4-幻，.•./⑵=o,

4XX

所以切线方程为y=l.

4—xx

②:/(元)=ln-----+x-l,/(4-x)=ln------+4-X-1

x4-x

/(x)+/(4-%)=2,(0<x<4).

令则：/(上)+/(4_±)=2,(i=l,2,♦.、4〃_l).

nnn

1?21

因为S〃=/(—)+/(—)H----H/(4—)+/(4—)①，

nnnn

1921

所以Sn=/(4—)+/(4—)+3+/(—)+/(一)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃-1),所以S〃二4〃一1,(〃£N*).

所以8202。=8079.

(2)g'(x)=ei—wi=(l-x)ei,当x£(0,l)时，g'(©>0,函数g(x)单调递增;

当X«l,e]时,/(x)<0,函数g(x)单调递减・・・g(0)=0,g⑴=1,g(e)=e2-e>0

所以，函数g（x）在（o,4上的值域为（o1].

因为"2,2.2_(2-。)(*-",xe(O,e]

XX

22

故0<------<ea<2——,①

2-a9e

此时，当x变化时/。）、«尤）的变化情况如下:

22

X(0,--)

2-a2-a12-a」

“X)—0+

t(x)单调减最小值单调增

TxfO,Z(X)->+oo

22

=a-21n----,=(2-tz)(^-l)-2

2-a

...对任意给定的X。€(o,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的Xj(z=l,2),

使得《七)=且(%)成立，当且仅当。满足下列条件

2

a-21n<0②

<2-a即《2-a

/(e)>1(2-a)(e-l)-2>l(3)