2022届浙江省高三数学分项解析专题11 立体几何与空间向量（解答题）【解析版】

2022届浙江省高三优质数学试卷分项解析

专履11立休几何与空间向量（僧答居）

38.(2022浙江商三专题练习）如图，已知三棱台ABC-A181C1中，二面角A1-AC-B的大小为600'点4

在平面ABC内的射影D在BC上，心\=AB=4,乙A,AC=30勹乙BAC=90°.

c

B

(l)证明：AC上平面AB1D;

(2)求直线AB与平面ACC1A所成角的正弦值．

【答案】(I)证明见解析

J

(2)一一

2

【解析】

【分析】

(l)过D作DE/!AB交ACfE,连A1E,则四点Al、Bl、D、E共面，通过证明AC上DE、AD上AC可

证AC上平面A1B1D;

(2)以E为原点，ED,EC分别为x,y轴，过E且与DA平行的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，利用直

线与半面所成角的向散公式计算可得结果．

(1)

过D作DEi/AB父AC千E,连AIE,

A

IC

B

因为在三棱台ABC-'4.B1C1中，'4.B1I!AB,所以DEi/A且，

所以四点Ai、B1、D、E共面，

因为LBAC=90°,所以AC..lAB,所以AC...LDE,

因为点A在平面ABC内的射影D在BC上，所以AD..l平面ABC,

因为ACc平面ABC,所以AD..lAC,

因为A1DnDE=D,所以AC..L平面A,BIDE'即AC..L平面ABID

(2)

由（1)可知，AC..L平面A,B1D,又A,E仁平面A,B1D,

所以AIE.lAC,结合DE..lAC可知，LAIED是二面角A,-AC-B的平面角，

所以乙AIED=60勹

在直角三角形AIEA中，AA,=4,乙A1AC=30°,所以A1E=~AA,=2,AE=2石，

2

在直角二角形AIDE中，有DE=~A,E=l,A,D=✓3,

2

以E为原点，ED,EC分别为x,y轴，过E且与DAI平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

A

则E(0,0,0),A(0,-2✓3,0),B(4,-2✓3,0),A,(l,O,J句，

所以瓦＝（3，—2)3,—$），邓＝（—l,—2)3，六压，瓦＝（0,-2石，0),

设平面ACC1A1的一个法向昂为ii=(x,y,z),

则厂环n邧＝＝00，所以『—2x打—2y=凡忑0z=0，得｛—yX=—0芷o'

令z=1，则x=-✓3，所以日＝（－✓3,0,1),

ii.兀

所以自线A心与平面ACC1A所成角的正弦值为Icos<ii,AB>l=I|

国l·I戏I

-3§-＄成5

==

归x~l-2x2森2.

39.(2022·河南高二阶段练习（理））如图在三棱锥P—ABC中，b.PAC是边长为2的正三角形，BA.lAC,

BA=✓3,BP=2,D为BC的中点．

B

(1)证明：AC上PD;

(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值．

【答案】(I)证明见解析

3

(2)—

4

【解析】

【分析】

(I)取AC的中点E,连结PE,DE,进而证明AC上平面PDE,在结合线面乖直得线线乖直；

(2)解法一：过点D作DF上PE,垂足为F,取PC的中点G,连结DC,进而将问题转化为求直线DG

与平面PAC所成角LDGF,再根据几何关系证明PD上DE,进而利用几何法求解；

解法二：根据题意，以E为原点，分别以射线ED,EC为X,y轴的正半轴，建立空间肖角坐标系E—xyz,

再根据几何关系证明PD1-平面ABC,进而利用坐标法求解即可；

(I)

证明：取AC的中点E,连结PE,DE.

囚为!:::,PAC是正三角形，所以PE上AC,

又因为DEiiBA,BA上AC.所以DE上AC,

又PEc平面PDE,DEc甲PDE,PEnDE=E,

所以AC1-平面PDE,

又囚为PD己平面PDE,

所以AC上PD.

B

(2)

解法］：过点D作DF上PE,垂足为F.

由（I)知AC..L平面PDE,所以AC.lDF,

因为ACnPE=E,

所以DF上平伽PAC.

取PC的中点G,连结DG,

因为D为BC的中点，所以DGl!BP.

所以直线BP与平面PAC所成角等于直线DG与平面PAC所成角LDGF.

囚为PB=PC,所以PD.lBC.

又由（l)知AC..LPD,AC门BC=C,

所以PD.l平面ABC,所以PD.lDE.

l$

在直角&DE巾，PE＝凸，DE=-AB=－－.

22

3__PDxDE3

所以PD=~.DF==—,

2PE4

1DF3

又在直角t,.DGF中，DC=—BP=l.sinLDGF==—.

2DG4

3

因此，且线BP与平面PAC所成角的正弦值为－．

4

B

解法2:如图，以E为原点，分别以射线ED,EC为X,y轴的王半轴，建立空间且角坐标系E-xyz,

B

$

则A(0,-1,0),B(✓3,-1,0),C(0,1,0),D[了,0,0)

因为PB=PC,D为BC的中点，所以PD..lBC,

又AC上PD,ACnBC=C,

所以PD..l平面ABC.

所以p[享畛），曰一：勹

设平面PAC的法向兄为n=(x,y,z)'

又瓦＝（0,2,0),吁＝［亨，l，i)，

2y=O

l

气：：：，得{§x+y+1z=01-1」取~=(✓3,0,-1).

22

设直线BP与平面PAC所成角为0.

厮·;,1_3

sin0=lcos＜萨·n斗＝=-

丽fl-4.

3

因此，直线BP与平面PAC所成角的正弦值为－．

4

40.(2022·浙江杭州·二模）在四棱锥P-ABCD中，6PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M为

棱AP的中点，且AB=2AD=2BC=2CD=4,DM=$.

p

^1,}

,`1`-

f,­,`\-

M/\`-,I

,-＼｀心

,,

``,,-

义

-,DC

,-一，｀、

A_B

(1)求证：DMI／平面PBC;

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(I)证明见觥析；

3而

(2)

13.

【解析】

【分析】

(1)取PB中点为N,连结MN,CN,证明DMIICN,再利用线面平行的判断推理作答

(2)取AB中点Q,AQ中点0,证明平面DOM..L十面ABCD，以0为原点建立空间直角坐标系，借助

空制向员计算作答

(1)

在等腰梯形ABCD中，CDI/AB,CD=2，取PB中点N,连结MN,CN,如图，

I

`'`'_

_夕,D`'-----------

尸＿

因M为棱AP的中点，贝UMNIIABIICD,且MN=-=-AB=2=CD,即四边形MNCD为平行四边形，

2

则DM1/CN，而CN仁平面PBC,DM炉平面PBC,

所以DMII半面PBC.

(2)

取AB中点Q,AQ中点0,连结DQ,PQ,OD,OM,有CD/IBQ,且CD=BQ,

四边形BCDQ是平行四边形，则DQ=BC=AD=AQ=2,则有OD=✓3，且OD..lAB,

1

正6.PAB中，PQ..lAB,PQ=2✓3，而OM1/PQ,因此，OM=~PQ=＄，且OM1-AB,

2

而OMnOD=O,OM,ODc平面DOM,则AB上平血DOM,ABi平面ABCD,有平面DOM..L平曲

ABCD,

由DM=✓3，得LDOM=60°,在半面DOM内作Oz.lOD,平面DOM＾平面ABCD=OD,即有Oz.l平

面ABCD,

以0为原点，射线OB,OD,Oz分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

z.

L工

$3

则A(-1,0,0),M(O,—,－），P(I,✓3,3),C(2,✓3,0),B(3,0,0),

22

有吁＝（2,✓3,3)，两＝（2，一五－3)，百＝（1,-✓3,0)，设平面PBC的法向最为妇(x,y,z),

两•n=2x－岛－3z=O

飞n=x－高＝0，令y飞，得ii=（3,F3,1)，设直线AP与平曲PBC所成角为0,

|AP·n3而

则sin0=!cos（万，叫＝

网I叶＝丁厂＇

3扣

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为——·

13

41.(2022·浙江宁波·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，公PAB,~PAD均为等边三角形，BC=CD.

Ac

B

(1)求证：BD..1平面PAC;

(2)若PA=BD＝石BC,M,N分别是PC,BC的中点，Q在边AD上，且DQ=2QA求直线AM与平面

PQN所成角的正弦值

【答案】(1)证明见解析

3而

(2)

22

【解析】

【分析】

(I)取BD中点E,证明BD..lAE,BD.lPE,根据线面垂且的判定定理即可证明结论；

(2)建立宁间平血直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求得平面PQN的法向量，根据向噩的夹角公式，

求得答案

(1)

证明：取BD中点E,因为L:,.PAB,L:,.PAD均为等边＝角形，

A'-：：：二－－－－－－r-广"ii---7c

B

则PB=PD,AB=AD而BC=CD,

所以A,E,C三点共线，且BD.lAE,BD.lPE,

又AEnPE=E,AE,PEc平面PAE,

所以BD..L平面PAE，即BD..L平面PAC.

(2)

山题意可知：三棱锥P-ABD为正四曲体，

故P点在底面卜的投影H为6ABD的中心，

如图以H为坐标原点，过H在面ABC内作AC册线为x轴，HC为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系

H-.xyz.

A

设PA=6,则A(0,-2✓3,0),B(3，JJ,o),v(-3，✓3,0),P(0,0,2句，c(o,2fi,o),

则M(o,✓3，匈，Q(-1，玉，o),`，平），

千是諒＝（O,沁，司W=(l,✓3，匈，峦＝（：，气，0)，

r

设平面PQN的法向世为n=(x,y,z),

55f3

则厂峦h峦＝0,即［二二。，

令y=l'则叶取曰玉，1,0),

设直线AM_与平面PQN所成的线面角大小为0,

则sin0=leas（五可＝1行AM_|=3而

lnl，向22'

3而

因此直线AM_与平面PQN所成的线面角的正弦值一—

22

42.(2022-浙江省义乌中学模拟预测）已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是梯形，ADI/BC,LADC=90°,

侧面PADJ_底面ABCD,E为PB的中点，AB=✓)PA,PA=2AD,乙BAD=l50°'乙PAD=60°.

p

B

A

(])求证：BCJ_平面PCD;

(2)求直线PA与平面ADE所成角的正弦值．

【答案】(I)证明见解析

拆

(2)—

4

【解析】

【分析】

(I)利用余弦定珅结合勾股定理可得出AD_I_PD,利用线面垂肖的判定可证得ADJ_平面PCD,结合

BCIIAD可证得结论成立；

(2)证明出PD..l平面ABCD,设AD=L以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在肖线分别为X、Y、

z轴建立空间直角坐标系，利用空间向星法可求得直线PA与平面ADE所成角的正弦俏．

(1)

证明：不妨设AD=l,则PA=2,AB=2五．

在£::.PAD中，PD2=PA2+AD2-2PA-ADcos60°=4+1-2·2·cos60°=3,

所以，PD2+AD2=PA?，即PD.lAD,

QLADC=90°，则AD..lCD,·:PDnCD=D,:.AD.l平即PCD,

QBCI/AD,:.BC.l平面PCD.

(2)

解：因为平面PAD..l平面ABCD，平面PADn平面ABCD=AD,PD.lAD,

PDc平面PAD,:.PD..l平面ABCD,

又因为LADC=90°,以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在首线分别为X、Y、Z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系，

By

设AD=l,则A(O,1,0)、D(0,0,0)、P(o,o，句、B（五，4，O)、E（享，2，享），

设平面ADE的法向昂为~=(x,y,z),玩＝（0,1,0),沉＝［主引

11·DA=y=O

则｛11庞＝五:+2y＋昙。，取x=l叩庇＝（1,0,-1),

22

✓3拓

cos<n,AP-—>=n·AP

乔＝（0,-l,✓3)，所以，阳丽＝一言＝－丁，

嘉

因此，直线PA与平面ADE所成角的正弦值为—-．

4

43.(2022浙江台州·二模）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABl!CD,AB_l_AD,AB=2,

二面角S-AB-D的平面角的大小为60°,6.SAB和“ABC均为等边三角形，E,F分别为线段SD,BC的中点

·D

B

(1)证明：EFI／平面SAB；

(2)设直线EF与平面SAC所成角为0，求sin0的值

【答案】(I)证明见解析

9而

(2)

91

【解析】

【分析】

(l)构造中位线，利用线面平行的判定定理即可证明(2)利用等胺三角形的三线合一性质构造出二面角

的平面角，此角所在的平面与平面ABCD垂直，利用面面垂直的性质定理可以作平面ABCD的垂线，从而

建立空间直角坐标系，即可求解

(I)

s

D

、I/

x、

I`

/`,,

/

/

/

/

/

/

/

I,I//-­/

/,

/I

I/I

/,

,/I/,/

,/

,/

II/-,.

/­

夕

G

连接DF月延长交AB千点G,连接SG

DFCF

因为ABI/CD，所以=＝I,所以F为DG中点

FGFB

又E为SD中点

所以EFI/SG

又EFr:t:.平血SAB,SG仁平曲SAB

所以EFI／平面SAB

(2)

取AB中点H,SH,CH.

·:~SAB和c,.ABC均为等边三角形

:.SH..lAB,CH..lAB.

：．乙SHC为二面角S-AB-C的平面角

:.乙SHC=60气

因为SH..lAB,CH..lAB,SH仁平血SHC,CHc平面SHC,SHnCH=H

所以AB..l平面SHC,又ABi平面ABCD,所以平面ABCD..l平面SHC

如图建寸空间直角坐标系，AB=2,

则A(—1,0,0),B(l,0,0),c(0点，o),v(-1，五o)，S(0,生），

E（今竿订F(:春o)亢－（］✓3,0)邧＝［亭今）

r

设平面SAC的法向址为n=(x,y,z)'

.丘岛__30

得$

山｛亢·ii=0v.

x+尸-z_。

瓦·n=O'2_2_

✓3

取x=J，则y=-1,z=-—.

3

：．平面SAC的一个法向忙为ii=［石，—l,—亨）

．．百＝［l，寻，分］

匡叫望

sin0=——=2＝兰

陌司享匠91

冒a

44.(2022浙江嘉兴二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，ABIICD,BC.lPB,

且AB=AD=PB=PD=~CD=2.

2

6

(1)证明：BC上PD;

(2)若E为PA中点，求直线CE与平面PBD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

5忘

(2)

38

【解析】

【分析】

(1)取CD中点Q,连接BQ;先求出BD=2石，证得BC上BD,再由BC上PB证得BC上平面PBD,即

可证得BC..lPD;

(2)建立空间直角坐标系，求出驾＝（—？，石，！），平面PBD的法向址ii=(l,0,0)，按照线面角的向扯求

22

法求解即可．

(1)

取CD中点Q,连接BQ;

6

因为AB=AD=DQ且ABIIDQ，所以四边形ABQD是菱形，又底面ABCD是等腰梯形，

所以BC=BQ=QC=2，从而LBCD＝巴，甘！余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosLBCD知BD=2石，

3

又因为BC=2,CD=4,

所以CD2=BD2+BC2,得BC上BD,

又因BC1-BD,BC上PB且PBnBD=B,

所以BC上平面PBD,所以BC..L.PD;

(2)

分别以BC,BD为X,y轴，过B作垂直于面ABCD的门线为z轴建立空间直角坐标系，

y

z

则C(2,0,0),A(—1嘉，0),P(O，和），E（今琴），

因为在＝门琴），

平面PBD的法向旦为ii=(1,0,0),

设直线CE与平面PBD所成角为0,

1茬·iiI5尽

则sin0=

1百订·|计|38'

5尽

所以直线CE与平面PBD所成角的正弦值是——-.

38

45.(2022浙江省临安中学模拟预测）如图，在匹面体ABCD中，~BCD是等边三角形，M为AD中点，

P为BM中点，元＝3沉．

A

D

__

_--

(l)求证：PQI!面BCD;

3

(2)若AD=7CD,BC.lAD,二面角A-BC-D的平面角为120°,求直线BM与平面ABC所成角的正

2

弦值．

3石

【答案】(1)证叭见解析；(2)

14

【解析】

【分析】

(I)取MD中点N,连接PN,QN,先由面面平行的判定定理，证明平面PQN!／平面BCD,进而1-1」得

结论成立；

(2)由题中条件，先得到BC.l平面AED,目乙4ED为二面角A-BC-D的平面角，设CD=L求出AE:

以点E为坐标原点，EC方向为X轴正方向，ED方向为Y轴正方向，过点E亚·足千平面BCD向上的方向为

Z轴正方向，建立空间宜角坐标系，求出直线BM的方向向址，以及平面ABC的法向拭，由向址夹角公式，

直接计算，即可得出结果

【详解】

(1)证明：取MD中点N，连接PN,QN,

因为P为BM中点，所以在1:,.MBD中，PNI/BD,

因为PNcz.平面BCD,BDc平面BCD,所以PN!／平面BCD:

又在6ACD中，而＝3沉，瓦V=3而，．．．NQ!!CD,

因为NQ立平面BCD,CDc半面BCD，所以NQ/1平面BCD;

囚为NQnPN=N,NQ乙平面PQN,PN仁平面PQN,

:．平面PQN/1平面BCD,

又PQc平面PQN,:.PQ/／平面BCD.

(2)取BC中点E,连接DE,AE,

囚为6BCD是等边二角形，则DE上BC:

又BC..lAD,ADnDE=D,AD乙平面AED,DE乙平面AED,

:.BC上平面AED,且LA.ED为二面角A-BC-D的平面角，

3扛

不妨设CD=l,则AD=－，DE=—,

22

93§

巾余弦定理可得AD1=AE汀ED1-2AE·£D-cos120°,即－＝AE2+—+—-AE,

442

✓3

解得AE=－－或AE=—$（舍）；

2

以点E为坐标原点，EC力向为X轴正方向，ED方向为Y轴正方向，过点E垂足于平面BCD向上的方向为

z轴l_F方向，建立如伤所示的空间直角坐标系，

则B(－归，o,o)屯，0,0),叶o,{,o),A(o－亨i）

因此M(o卒i]所以骂U卒i)骂＝［气－订阮＝（1,0,0),

r

设平面ABC的一个法向址n=(x,y,z)'

{n-n-上BC-

则x=O

上-AB所以｛：二x0平－iz=0气，飞z

不妨令z=l,则n=(0,✓3,I)

设直线BM与平面ABC所成角为0,

ruur33

-+-

rUl1U·|nBM|3打

则sin0=|COS<n,BM>|＝于血广＝88=

I3914.

l;1llsM1-2x—+—+—

46464

3石

即直线BM与平面ABC所成角的正弦值为一一．

14

A

·y

E

X

【点睛】

方法点睛：

立体几何体中空间角的求法：

(I)定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何休中作

出空间角，再解对应三角形，即可得小结果：

(2)空间向蜇的力法：建立适当的窄间直角坐标系，求出直线的力向向显，平面的法向量，通过计锌向

扯夹角（两直线的方法向猷夹角、卢线的方向向址与平面的法向址夹角、两平面的法向扯夹角）的余弦值，

来求空间角即可，

46.(2022浙江模拟预测）如图］所示，在矩形ABCD中，AB=2五`,BC=2,M为CD中点，将^DAM

沿AM折起，使点D到点P处，且平面PAM..L平面ABCM，如图2所示，

p~

图1图2

(1)求证：PB.lAM;

(2)在棱PB上取点N,使平面AMN.l平面PAE,求直线AB与平而AMN所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

2痀

(2)

15

【解析】

【分析】

(])在矩形ABCD中连接BD交AM千点Q，则由tanLDBA=tanLMAD可推出LDBA=LMAD，囚此有

冗

乙DAQ=-，故在翻折后的四棱锥中，有PQ.lAM,BQ.lAM，据此推出AM..l平面PBQ，从而有PB.lAM.;

2

(2)以点Q为原点沉顷，征方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系再过点M作MH.lAN千点H,

由平面AMN.l平面PAE司推出MH..l平面PAE，即有MH.lPB，结合PB.lAM，可知PB.l平面AMN，即

4$8✓3

PB.lAN，设怀仁刀顽0~入~l)，再结合丙．兀V=O可求出N(O,~,)，最后冉利用空间向昂法求线面

15-15

角的正弦值即可

(1)

在矩形ABCD中，连接BD交AM千点Q,

言:由题知AB=2五，AD=2,DM＝五，

所以tan乙DBA=tanLMAD=—J，即LDBA=LMAD,

2

冗冗

又乙DBA＋乙BDA=—，所人P乙MAD＋乙BDA=—

22'

所以乙DQA=!!...，即DQ1-AM,BQ1-AM,

2

故在翻折后的四棱锥中，有PQ1-AM,BQ1-AM,

又PQnBQ=Q，所以AMl_平面PBQ,

又PBc平曲PBQ，所以PB1-AM;

(2)

如图所示，以点Q为原点，沉，彻.QP方向为x,y,z轴的正力向建寸宁间直角坐标系，

A,,-·~..................................:

B.....,i

JI:··

2森4扛2打

在矩形ABCD中，经计算可得AQ=——,BQ＝一—，DQ=——,

333

减迼2石沁2石拓

因此A(,0,0),B(O,—,O),C(-—,—,O),P(O,O,—),M(-—,0,0),

-—333333

过点M作MH.lAN千点H,

因为平面AMN..l平面PAB，平面AMNn平面PAB=AN,

所以MH..l平面PAB，所以MH..lPB,

又山(1)知PB..lAM且MH..lAM=M,

所以PB..l平面AMN,

所以PB..lAN，即有西瓦＝0,

因为点N在PB上，设声声（0:<::;店l），则N(o，字气l-A)),

I4凸8$

山丙j.Afv=O解得入＝－，即N(O,~,——),

51515

4五2五2拆4$

又平面AMN的一个法向量为丙j=(0,），且万＝（,0),

333.3

设直线AB与平面AMN所成角为心

邓碍成2$

--1+-x-+1-

PB-AB0x[3)+33+[3)x0芞顷

贝IJsma.=__

|PBIAB一勹厂勹尸广了：予了三

2痀

所以直线AB与平面AMN所成角的正弦值为.

15

47.(2022·浙江模拟预刹）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD_!_底面

ABCD,AB/ICD,AB上BC，乙PDC＝乙ADC=120°,AD=CD=PD=2.

P

.

c

_..----···

AB

(1)求证：AD..lPB;

(2)求宜线AD与平面PAB所成角的正弦值．

【答案】(I)证明见韶析

森

(2)

—4

【解析】

【分析】

(1)作PH..lCD交CD延长线于点H,连AH,BH,设ADnBH=E,追过面面垂肖的性质定坪证得PH..l

面ABCD,所以PH..lAD，再证得BH..lAD,PHnBH=H，所以AD..l血PHB,山线面垂直的性原定理

即可得出AD..lPB.

(2)力法一：几何法，先证明面PAB..l面PAH,在面PAH内过点H作HG..lPA，则HG..l叩PAB,山

千DH/／面PAB，故点D,H到面PAB的距离相等，距离d=HG,再由线面角公式即可求'lli答案．

方法二：坐标法，以点H为坐标原点，HA、HCHP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直

线AD的方向向侬，平面PAB的法向惜，由线面角的公式代入即可得出答案．

(1)

作PH..lCD交CD延长线了点H,连心i,BH，设ADnBH=E

.·:AD=CD=PD=2，乙PDC=LADC=120°:.PH=AH＝石，HD=J.

了面PCD上面ABCD交于CD,PHc面PCD.

:.PH上面ABCD,:.PH上AD.

在Rt,:,HCB中，CH=CD+HD=3,BC=✓3,得L.BHC=30°.

在VHDE中，乙EHD=30°,LHDE=180°一乙4DC=60°,

故乙HED=90°,即BH上AD,

PHnBH=H,所以AD上面PHB,:.AD上PB.

p

c

，，、、

AB

(2)

方法一：几何法

在4DH中，DH=1,AD=2，乙4DH=60°,

余弦定理得AH=✓3,AH2+DH2=AD2得DH.lAH,又PH上DH,

:.DH上面PAH，又ABI/DH得ABJ_血PAH,

:．面PAB1-面PAH，且交线为PA

在面PAH内过点H作HG1-PA，则HG上面PAB,

l石

在Rt~PHA中，PH=AH＝石，求得PA＝石，故HG=－PA=－－

22

石

由千DH/／面PAB,故点D,H到面PAB的距离相等，即距离d=HG=~

2

p

c

.,.、、

AB

石

所以直线AD与平血PAB所成角0的正弦伯d_2森．

sin0=—=—=—

AD24

方法二：坐标法

在AADH中，DH=1,AD=2,LADH=60°,余弦定理得AH=｀石，

山AH2+DH2=AD2得AH.lCD,又面PCD上面ABCD

所以AH.l面PCD,以点H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

由已知条件得坐标如下：

H(0,0,0),P(O,0，和，A顷，0,0),B（五3,0),D(O,1,0)

豆＝（－＄，l，0)五B=co,3,o)，万＝（一五o忑）

设平面PAB的法向吕ii=(x,y,z)

由｛