2022届中考数学压轴大题押题附答案

2022年中考数学压轴题

1.等边三角形N8C内接于。0,点。在弧4C上，连接CD、BD.

(1)如图1,求证8。平分N4DC；

(2)如图2,若ND8c=15°,求证：AD：AC=V2：V3；

(3)如图3,若/C、BD交于点、E,连接OE,且OE=2小,若BD=3CD,求的长.

解：(1)•.•△48C为等边三角形，则//8。=//。8=/胡。=60°,

"：ZBDC=ZBAC=6Qa,ZADC=ZJC5=60°=NBDC,

平分NNZ)C；

(2)过点/作于点”,

设4。=2。，则幺"=e。，HD=a,

VZ/i5C=60°,8c=15°,

ZABH=60°-15°=45°,

二△为等腰直角三角形，则AB=V2AH=y[6a=AC,

：.AD：AC=V2：V3：

(3)设CO=w,在。8上截取。尸=CD,连接C凡

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图2

・.・N8OC=60°,故△CDF为等边三角形，则CZ)=Ob=CF=加，NDFC=60°,

则8。=3。。=3加，则8/=2用，

VZBFC=1SO°-ZDFC=120°=ZADCf

,:FC=CD,NFBC=/CAD,

:./XBFC妾AADC(AAS),

；・AD=BF=2m,

VZDFC=ZADB=60°,

C.FC//AD,

AEEDAD

:•△AEDs^CEF,故丁=—=—=2,

CEEFCF

设EC=2f,则4E=4f,AC=6t,SG=CG=3t,故GE=£,

连接/O,过点。作OG_L/C于点G,

••,△/8C为等边三角形，则NO4G=30°,

在RtAJOG中，OG=NGtan/O/G=3rx字=V3/,

在RtaOGE中，OG=y/3t,GE=t,OE=2«,

由勾股定理得：(Mt)2+P=(2V7)2,解得t=书,

贝!IAC=6V7；

过点A作CD的垂线交CD的延长线于点K,

在RtZSADK中，NNOK=180°-ZADC=60°,AD=2m,则。K=加，AK=\f3m,

在RtZ^/KC中，AK=V3/w,KC=KD+CD-m+m=2m,AC=6小,

由勾股定理得：(网m)2+(2w)2=(677)2,解得s=6,

则/。=2加=12.

3.如图，在RtA48C中，ZACB=90°,以斜边”上的中线8为直径作。0,与BC交

于点/，与48的另一个交点为E,过〃作儿垂足为N.

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（1）求证：MN是OO的切线;

•・・OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtZ\4BC中，CD是斜边45上的中线,

:.CD=：AB=BD,

：・/DCB=/DBC,

：・/OMC=/DBC,

：.OM〃BD,

•:MNLBD,

C.OMVMN,

・・・。历过。,

・・・MN是OO的切线;

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•・・C。是G）O的直径，

：.ZCED=90°,ZDMC=90°,

即CEA.AB,

由（1）知：BD=CD=5,

・・・〃为BC的中点，

3

Vsiri5=百，

..cosB=耳,

在中，BM=BD・CGSB=4,

:・BC=2BM=8,

Q9

在RtACEB中,BE=BC・cosB=等，

327

：.ED=BE-BD=节一5=g.

4.已知NMPN的两边分别与OO相切于点4B,OO的半径为九

（1）如图1,点C在点48之间的优弧上，NMPN=80°,求N4CB的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形NPBC为菱形，//尸8的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交OO于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含『的式子表示）.

【解答】解：（1）如图1,连接040B,

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图1

,：PA,尸8为。。的切线，

孙。=/尸80=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,

^APB+AAOB=\^°,

VZAPS=80°,

：.ZAOB^\00°,

.•.//C3=50°；

(2)如图2,当NZP8=60°时，四边形ZP8C是菱形,

连接CM,OB,

囹2

由(1)可知，NNO8+//P8=180°,

VZAPB=60°,

ZAOB=\20°,

AZACB=60°=AAPB,

•.•点C运动到PC距离最大，

；.PC经过圆心，

■:PA,尸8为。。的切线，

：.PA=PB,NAPC=NBPC=3G°,

又•：PC=PC,

:.△AP8/\BPC(SAS),

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AZACP=ZBCP=30°，AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°，

：.AP=ACf

:・AP=AC=PB=BC,

・・・四边形ZP8C是菱形；

(3)・・・。。的半径为八

.\OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

,：NN。尸=90°-ZAPO=60a,

而的长度==^r,

,阴影部分的周长=P4+P£>+尤=倔廿+分=(V3+I+J)r.

5.如图，均为。。的切线，P8C为。。的割线，4DLOP于点D,△/小？的外接圆与8c

的另一个交点为£.证明：NBAE=NACB.

【解答】证明：连接04,OB,OC,BD.

"COA1.AP,ADA.0P,

，由射影定理可得：PA2=PD'PO,心=PD・0D.…（5分）

又由切割线定理可得PA2^PB-PC,

:.PB，PC=PD'P0,

：.D.B、C、。四点共圆，…（10分）

NPDB=4PCO=NOBC=NODC,NPBD=ACOD,

:UBDsACOD,

PDBD

（15分）

CD—0D'

二.BACD=PD，OD=AN,

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.BDAD

"'AD~~CD'

又NBDA=NBDP+9G=ZODC+90°=ZADC,

:.△BDAsAADC,

:.NBAD=ZACD,

：.AB是△ZOC的外接圆的切线，

6.如图，点/为y轴正半轴上一点8两点关于x轴对称，过点”任作直线交抛物线y=|x2

于P，。两点.

（1）求证：ZABP=ZABQ-,

（2）若点4的坐标为（0,1）,且/尸8。=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数

解析式.

【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.

设直线尸0的函数解析式为了=履+3并设P,0的坐标分别为（必，yp）,（X0,夕0）.由

y=fcx4-1

Iy=|%2'

%2—kx—t=0,

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32

于是为「殉=-23BPt=-^XPXQ.

BCyp+t京P?+t京2p一夕p%Q声p(Xp-XQ)Xp

BDyQ+t|x(j2+t^XQ2~XpXQ|X(2(XQ-Xp)XQ

PCXp一BCPC

又因为--=--,加以---=---

QDxQBDQD

因为48（7尸=/8。。=90°,

所以ABCPs/^BDQ,

故N/8尸

（2）解：设PC=a,DQ=b,不妨设a>6>0,由（1）可知

N/8尸=/48。=30°,BC=V3a