2022届全国各地区高三数学(二模)试题选练解答题

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目录

§1解三角形..................................................................................2

§1数列..........................................................................................................................................................11

§3立体几何.................................................................................18

§4概率统计.................................................................................31

§5圆锥曲线题...............................................................................42

§6导数.....................................................................................52

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§1解三角形

1.(2022•广东省肇庆.二模)在△力中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinB+gbcosC=

0.

1.⑴求角。；⑵若3a=5b,且△ABC的面积为15四,求△ABO的周长.

［答案］(1)。=等(2)30

［解析］(1)解：由正弦定理得sinCsinB+V3sinBcosC,=0,因为BC(0,7r),sinBW0,

所以sinC+V3cosC=0,即tanC=—瓜、因为Ce(0,兀)，所以。=等.

O

(2)解：由⑴得sinC=^^,cosC=—/，所以S=-^-QbsinC=^^Qb=15A/^,所以afe=60,

又3Q=6b,解得Q=10,b=6,由余弦定理可得°2=Q2+/—2abcosC=100+36+60=196,所以c=14,

所以△ABC的周长为a+b+c=10+6+14=30.

2.(2022-辽宁・沈阳二中二模的内角的对边分别为Q,b,c,已知QCOS8cosc+

bcosAcosC=(1)求角C;(2)若c=，7,Q+b=5,求△48。的面积.

［答案］⑴等;(2)挈.

［解析］⑴由已知及正弦定理，得cosC(sin4cosS+cosytsinB)二4sinC,即2cosC,sin(A+B)=sinC.

故2(：05。5八］。=5111。，可得(：05。=4，・・・。€(0,兀)，；・。二等；

/15

⑵由已知及余弦定理得，於+匕2-2abeosC=7,又a+b=5,。=•，故Q2+/一质=(Q+b)2-3ab=25—

3ab=7,因此，ab=6,，4ABe的面积S=-^-adsinC=—.

3.(2022.河北石家庄•二模)在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c.已知b=2,csin5^^=

asinC.(1)求角A的大小；(2)请在①sinB=翠②a+c=7两个条件任选一个，求△ABC的面积.

(如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分)

［答案］⑴导(2)选①竽，选②气③.

［解析］

(1)由csin31G=asinC可得：sinCsin=sinXsinC,即sinCsin”=sinXsinC,

即sinCeos等=2sin9cos9sinC,因为OVCVTGOVAVTT,

所以sinC>0,0V*V冬cos”>0,所以sin*=J,即等=杳，4=告.

Z////NOJ

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⑵选①：sinB=*L，由正弦定理可得急=矗，即盍=/，解得a=/，I

27

由余弦定理可得。2=b?+c?—26ccosA,即7=4+c?—2c,解得c=3（负值舍），

所以S4ABe=yfecsinA=-1-X2X3X~^=，弋.选②：Q+c=7,由余弦定理可得a*2=fe2+c2—

2bccosA,

即（7—=4+c?—2c,解得c=苧",所以S^ABC=-ybesinA=Jx2X芋~X.

4.（2022-福建漳州•二模）如图，在平面四边形ABCD中，对角线4。平分NBAD,△ABC的内角A,B,C

的对边分别为a,b,c,已知V2bcosB+acosC+ccosA—0.

⑴求B；

(2)若AB=CD=2,△ABC的面积为2,求AD

［答案］(1)3=苧(2)4。=4

［解析］(1)解：因为V2fecosB+acosC+ccosA=0,由正弦定理得血sinBcosB+sinAcosC+cosylsiiiCM

0,所以V2sinBcosB+sin(A+。)=0,所以V2sinBcosB+sinB=0,因为0<8<兀，所以sinB>0所以

cosB=，所以8=

(2)解：因为△ABC的面积S=2,所以S^Bc=/wsinB=2,即乎a=2,所以a=20,由余弦定理得力C

=,4+8-2x2xx(-挈)=2代,所以cos/C滋=隼挠%叱=

因为4C平分^BAD,所以cosZCAB=cos/CAD,所以。D2=力。2+AO2-2AC-AD-cos/CAD,所以4

2

=20+AD2-2x2V5xADx2

7F，所以4。—84。+16=0,所以4。=4

5.（2022.河南省直辖县级单位•二模（理））在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知2tq=

cosC

W.=4.

（1）求角A;

⑵若点。在边4。上，且前=:胡+,宓，求八成?。面积的最大值.

［答案］⑴阳2）4

O

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［解析］

（1）因为2b—c=空当，由正弦定理得2sinB—=cosC,所以sinj4cosC=2sinBcosA-

acosAsmAcosA

sinCcosA,即2sin_BcosA=sinAcos。+cosAsinsin（A+C）=sinB,三角形中sinBW0,所以cosA=

J,而Ae（o,江所以A=m

/o

⑵

由前=^BA+冬初得前一前=3宓一3前，AD=3配,所以DC=:月。，WBDC=1■殳4BC,

在△ABC中由余弦定理a2=/+c2—2bccos4,即16=c?-be>2bc—be=be,当且仅当b=c时等号

成立，

所以（bc）max=16,（S^wc）max=/x16xsiny=473,

所以△BCD面积的最大值为十X4-=心.

6.（2022•陕西宝鸡.二模（理））函数/3）=2sin（3a:+0）+l（s>O，H|v£）图像过点（多1）,且相邻对称

轴间的距离为失.

（1）求32的值；

（2）已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若/（等）=3,且a=2,求△ABC面积的最大

值.

［答案乂1）3=2,9="（2）2+通

O

［解析］⑴由题意得：*工）的最小正周期7=兀，由于s>0,故资=兀,解得：。=2,又2sin（答+0）+1=

1,所以等+9=麻斥2,即e=丽一半斥2,又|同〈£,所以卜兀一用V专从€2,解得：看<后<

，，/eCZ,故k=l,此时火=卷，综上：。=2,「=卷；

Ooo

⑵/（9）=2sin（j4+专）+1=3,所以sin（A+-y）=1,因为AC（0,元）,所以y1+年6（拳专"），则工+

=手，解得：4=,，又。=2,所以由余弦定理得：

cosA=匕梵—=^^则〃+62=4+，^儿，由基本不等式得：fe2+c2>2fec,即4+，Jbc>2bc,解得：

fec<8+4V3,当且仅当b=c时等号成立，故△ABC面积最大值为ybcsinA<2+V3.

7.（2022.天津•南开中学二模）已知△ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,满足已知ccosB+bcosC

_Q

2cosA'

（1）求角A的大小；

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(2)若cosB=,求sin(2B+A)的值；

(3)若△4BC的面积为a=3,求△ABC的周长.

［答案］⑴争(2)2^六£；(3)8.

［解析］解：(1)ccosB+bcosC=a,由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=,

Q2cosAA2cosA

即sin(B+C)=,又sin(B+。)=sinA,sinA=sinAW0,cosA=、■，又•「0VA

<7T,：.A=^-；

o

(2)由题意知：sinB=V1—cos2B=,/.sin2B=2sinBcosB=?然,

JJ

又Ycos2B=2co-B—1=―三、：.sin(2B+A)=sin(2B+-y)=sin28cos今+cos2Bsin-^-=2立;

Zov.Q_1A-4_1LV3_4V3.k16

(3).8=-yOCSin/1=-yOC•—z—=—X—,・・be=.,

乙ZZJJ

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccpsA=(b+c)2—26c—26ccosA,即9=(b+c)?-3x手，

解得：b+c=5,，/\ABC的周长为Q+6+C=8.

8.(2022-山西临汾•二模(理))Z\ABC内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知b+c=Q(COS6+

cosC).

(1)求力;(2)若sinA+sinC=2sinB,求sinB+sinC.

［答案］⑴专;⑵春

［解析］⑴在4ABe中，由正弦定理及b+c=a(cosB+cosC)得，sinB+sin(7=sinA(cosB+cosC),

于是得sin(X+C)+sin(X+B)=sin74cosB+sin?lcosC,化简整理得cosAsinC+cosAsinB=0,

即cosA(sinC+sinB)=0,而sinB>0,sinC>0,则cosA=0,又0V4V兀，

所以4=亲

(2)因为sinA+sinC=2sinB,由正弦定理得：a+c=2b,则1+^二号，

由⑴知，在Rt4ABe中，NBAC=为,b2+c2=a2,Bp(^-)+(套)=1，于是解得~

显然有sinB=—,sinC=—,即sinB=3，sinC=电■，则sinB+sinC=5，

aa555

所以sinZ?+sinG=

9.(2022.湖南岳阳•二模)在△ABC中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosC=2a-c

(1)求角3；

(2)在①△A3。的外接圆的面积为卑，②△AB。的周长为12,③b=4,这三个条件中任选一个，求

O

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△ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［答案］(1)8=等(2)4/

［解析］(1)*/2&cosC=2a—c2sinBcos(7=2sinX—sin(7.*.2sinBcosC=2sin(B+C)—sin(7

2sinBcos(7=2sinBcosCH-2cosBsinC—sinC.'.2cosBsinC=sinCvCE(0,兀)

sinCW0cosB=J丁B6(0,7r)

（2）若选①，设XABC的外接圆半径为R,则与兀=式•我，：.R=-^=-：.b=27?sinB=2x-^=-x=4

O

由余弦定理，得：/=/+/—2QCCOSB即16=a2+c2—ac>2ac—ac=ac,当且仅当a=c时，等号成立.

即△ABC的面积的最大值为4A后若选②•・,Q+b+c=12,・•.b=12—(Q+c)由余弦定理62=o+。2一

2accosB［12—(a+c)］2=a2+c2—acac=8(a+c)—48又(a^C)2—8(a+c)+48>0/.

a+c>24(舍)或Q+CM8,当且仅当Q=C时等号成立

工S=/acsinBu&音^•(2?g)2=电后当且仅当Q=C时等号成立

若选③，由余弦定理，得：62=a24-c2-2accosB即16=a24-c2—ac>2ac-ac=ac,当且仅当a=c时，等

号成立.

/.S^ABC=/acsinBW/x16x夸=4遍即/\ABC的面积的最大值为4万

10.（2022-江苏连云港•二模）在平面四边形ABCD中，/C4O=乙氏4。=60°,4DCB=150°,

BC=2.

（1）求△DCB的面积；（2）求力C的长.

［答案］⑴喙2）竿

［解析］⑴

由已知在4DCB中，ADCB=150°,BD=用，BC=2,利用余弦定理得cosZDCB=叱,黑匚铲

即一坐=，解得CD=小，

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故母£»=乎3。回”也/。03=Jx2x《xJ=空；

⑵在△A8中，由正弦定理得/募方=赤%，即sin/ADC=器=竽，

同理，在&4匿中，由正弦定理得而筹方=丽鼎，即sin/AB0=小等妮=罕，

又四边形ABCD内角和为360°,且Z.CAD=ZBAC=60°,Z.DCB=150",

故ZADC+/ABC=90",即sin/ADC=cos/ABC,又sin2ZABC+cos2ZABC1,

即sirrAABC+sin?/ADO=1,即（母。丫+（等丫=1,解得40=

11.（2021•甘肃•静宁县第一中学二模（理））如图，在△A3。中，43=内，47=66,/氏4。=45°，。是

△MC内部一点,且少℃=135。,sinZOC^=浮

（1）求03的长；（2）求证：△ABO为等腰三角形.

［答案］(1)，爹(2)证明见解析

［解析］(1)解：AABC中，由余弦定理，得BC=y/A&+AC2-2AB-ACcosABAC,

=/5+10—2xxmx挈=,在△BOC中，由正弦定理，得一^7V=,

V2sinZBOCsinZCJCB

则OB=BC/%2/=巴泊=@

smZBOC迎

(2)证明：由(1),得力4+8。2=人02,所以乙480=90。.

因为48。。=135°,所以NOCB为锐角，从而COS/OC3=2^,sin/OBC=sin(135°+/OCB),

--sinl35°cosZOCZ?+cosl35°sinZOCZ?,=一-cos/ABO=cos(90°—ZOBC)=

sinZOBC=.

在△ABO中，由余弦定理，得OA=y/OB2+AB2-WB-ABcosZABO,=^2+5-2xV2xV5x喀^=

V5

所以AB=AO,故△43。为等腰三角形.

12.（2022.江苏•南京市宁海中学二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c.已知2bcosB=

ccos/1+acosC.

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(1)求B；(2)若a=2,5=，百,设。为CB延长线上一点，且4D_LAO,求线段BD的长.

［答案］⑴3=告；（2）30=4+2-.

［解析］（1）,・•2bcosB=ccosA+acosC,・•・由正弦定理可得：2sinBcosB=sinCcosA4-sinAcosC=sin（C

4-A）=sm（7r—B）=sinB,VO<B<TU,/.sinB^O,cosB=-^-,

乙o

⑵由⑴知•••a=BC=2,b=C4=«,由正弦定理可得，.%,即

6sinz_jt）AUsinZ./i£5C

2_V6

SinZBAC~~Z'

o

.•.sin/BAC=察，.•./R4C=今或/34。=萼（舍去），.•./。=兀一与一个=需，•.•AOJ_AC,

/TtToqJL/

:.BD=4+2^/3.

13.(2022・安徽滁州•二模(理))已知△4BC的内角4,8,。的对边分别为a,6,以且a=7,6=3,.

在①而./=-学;②厂2黑=t"sin4=23cos2*.这三个条件中任选一个，补充在上面

22cosH—132

问题的横线中，并作答.(注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)

(1)求△ABC的面积S；(2)求角力的平分线49的长.

［答案］(1)条件选择见解析，粤工(2)条件选择见解析,导

4o

［解析］(1)选①：因为前•屈=一粤，所以abcos(兀一。)=一等，

又a=7,b=3,所以cosC=m，所以sinC="f，所以S^ABc=-^-absinC=.

选②：因为&=7,6=3,所以由正弦定理可得《二^4=1=?=卓笛，

2cosB—13bsmB

所以sinB—2sin3cosA=2sinAcosB—sinA,sinA+sinB=2sinBcosA+2sinAcosS=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c,所以c=5,由余弦定理可得，cosA=♦+后一~仁——《,

2bc2

由工€(0,兀)，所以工=专•，所以S^ABC=-^bcsinA=---.选③：因为sinZ=,所以

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2sin^-cos^-=2V3cos2j^-,由AC(0,兀)，cos等＞0,所以tan^=4，A=由余弦定理可得，cosA

=殳席二尤=一4，所以。=5.所以&4Bc=JbcsinA=K^3.

(2)选①：由余弦定理可得，。2=从+d2—2abcosC=25,所以。=5,所以cosA=+~—=-y,由A

Z/UC/

e(o,兀)，所以人=孕.

因为见!反；=4»4。,11*+某2。对11*=与&,所以可解得人。=学.

乙LLL4o

选②：因为丛的=46-405也察+紧・力0”也"=粤2,所以可解得4。=号.

LLLL4O

选③:因为丛皿=?•力。・sin等+紧・4。・玩11等=号3,所以可解得4。=孕.

L2LL4o

14.(2022-江苏盐城•二模)在平面四边形ABCD中，已知NABC=华，ZADC=j,A。平分ABAD.

⑴若/04。=告，47=2,求四边形ABCD的面积；

O

(2)若CD=2瓜AB,求tan/BAC的值.

［答案］(1)竽(2)空

［解析］⑴/£M。=ABAC=^-^BAD=为则。。=A。=2,N4CD=等,

ZOJ

在NBC中，由正弦定理可知一线尸五=-?甫中，则AB=4,

smZ.ACBsfm/.ABCV3

(2)设ABAC=ADAC=a,在AABC中，由正弦定理可知「―今?.讶=一方,即一卢

smZ.ACBsmZ,.5AqBCsin(—

12

等'即裁=美.(看一”),在中’由正弦定理可知,即丽第记=嬴*,

2

即2-J^AB_AQ_,即=2sina,则2sin(专—a)=sine,解得tana=

sina1AC\3/2

T

15.(2022•江西九江•二模)已知△ABC的面积为S,内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且4S=

V3(62—a2—c2).

⑴求B的大小；⑵若而=等形，且=2,求S的最大值.

O

［答案］(1)1200；(2)史，.

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［解析］⑴由题意得，S=JacsinB,4S=V3(62—a2—c?),又cosB=，所以4x-yacsinB=V3

4乙acn。一，

(b2—a2—c2)=—y3(a2+c2—b~)=-2V3accosB,即sinB=—V^cosB,所以tan_B=-6,

又0V8Vl80；所以B=120'；

⑵因为血=^-AC，所以AD="1■6,DC=Jb,在4ABD和ABDC中，由余弦定理得，cos/BD4=

oJJ

4+告/-24+告/―24+白2-Q24+餐2_02

--------弓—=----2------,cosABDC=--------：—=-----------,

2x2x/玄b2x2x部

4+—d2—c24+—&2—a2

又cosZBDA=-cos/BDC,所以----2------=------匕-----，整理,得2a2+。2=_1_於+12,即62=3a2

*lb3

+_1_c2—18,

22

在AABC中，由余弦定理得，/=/+—2QCCOSB="+〃+a。,所以302十方。2—骁=a-pc-pac9

得QC+18=2a2+-i-c2>2ac,则QC&18,当且仅当c=2a即a=3、c=6时等号成立，

所以S=-^-acsinB--^-ac<x18=9^^，故S的最大值为

16.(2022.四川师范大学附属中学二模)锐角三角形ARC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且

-=tanB+tan(7.

c,cosB

(1)求角C的值；(2)若c=2/8,0为AB的中点，求中线CD的范围.

［答案］⑴。=5(2)CDG(V7,3］

o

V^sin/l_sinB+sin。_sinjB•cos。+cosB•sinC

［解析］⑴由一=tan8+tan。,

C,COSJL2sinC*cosBcosBcosCcosB•cosC

sin(B4-C)

sinC=V3COSC,CGtanC=C=

cosB•cosCcos累/，(。,兀),员印

⑵用=/（笈+岳），也2=｝（N+方）2,8=1（。2+/+而），

由余弦定理有：c^=a2+b2—ab,12=a2+62-a6,

所以CD2=-j-(a2+b2+ob),CD2—今(12+2ab)=3+

由正弦定理藁1=前后=濡*,痣］=益亘=爸^=4,a=4sinA,b=4sinB,

CD2=3+-yab=3+8sinAsinB=3+SsinAsir^^^—X),=3+SsinA(sin-^cos?1—cos-^sinX)=3+

8sinA(^^cos4+-^-sinA^=3+4V3sinAcosA+4sin2X=3+2V3sin2A+2(1—cos2A)=5+

4(^^sin2A—~1~cos2A)=5+4sin(2A—

CZ》=5+4sin(2力一专)，因为ZVIBC为锐角三角形，所以OV力<£且人+°>£,

则入£(专奇)，*V2力一专〈工,则d(7,9］,CDe(V7,3］.

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§1.2数列

17.（2022•河南新乡•二模（文））已知数列｛©｝为等差数列，数列他,｝为等比数列，出+8=4,且aQ+a2b2

+03b3+…+cLnf）n=（n-1）2"+?+4.

⑴求｛源｝与｛b,,｝的通项公式；（2）设等差数列｛4｝的前n项和为&,求数列｛$+的前几项和方.

［答案］⑴4=2九，勾=2"⑵Z,=2n+1-京y-1

n+2

［解析］⑴解：因为。1仇+0262+。3b3H----卜0rhi=（n-l）2+4,当?i=1时，。4=4,由Q1+，=4,解得见=

n+2

6］=2,又由4仇+a2b2+以>3H--------F0nb»=（九一l）2+4,当n>2时，可得+a2b2+Q3b3H--------HGibn-i=

nn

（九一2）2+1+4,两式相减得0n勾=7i・2+i,7i>2,当n=1时，必仇=4适合上式，所以%鼠=n・2向，因为

｛册｝为等差数列，也,｝为等比数列，所以｛bn｝的公比为2,所以鼠二bq"T=2♦列T=2Z所以0n=2九.

1

（2）解：由&=2",可得数列｛b0｝的前71项和为2者;=2"+1—2,又由%=2n,可得数列｛册｝的前71项和

5i=n2+n,

则1===Vr，所以数列的前汴项和为1_春+…4r

&n2+nn（n+1）九九+1223nn+1

=1__3—

n+1，

所以数列［各+b,J的前？2项和北=2"|—2+1——=2n+1——富一L

IbnJn+1n+1

18.（2022.山西・怀仁市第一中学校二模（理））已知｛册｝是等差数列，｛心｝是公比不为1的等比数列，九£

N*,且瓦=23=2,&+8=6,02b2=8.

（1）求数列｛%｝与｛葭｝的通项公式；（2）求数列图

的前九项和为S”.

［答案］(l)n,2".(2)2—哮2.

［解析］(1)%=1,瓦=2,^2(1+^)^=8解得：9=2或q=l(舍)，d=1所以％=n,bn=2"；

⑵由题意知个=合则S“=*+:+++…+黄……①，

•&=/+/+卷+…...②①一②得：•&=*+*+表+…+专一"^7

却-/)

一黄所以&=一

~~1~7,2

19.（2022.安徽安庆•二模（理））已知数列｛4｝的前ri项和为S”,且满足&=E+1）&-3,n£N+.

（1）求｛4｝的通项公式；（2）若b,=（2n+3）（-1）&,求｛bn｝的前n项和

,112022二模解答题精练MeessencecfmathematicsResinitsfreedom!

2022届全国各地区高三数学(二模)试题选练解答题

［答案］⑴册=①+13+2)，neN+⑵-3+备㈠尸

［解析］⑴解：72=1时，Q］=4%—3,解得0=1.当九>2,n6乂时，&T=疗0nT—3,故4=&-&T=

&_n71—1

5+1加一岛一,所以念=&，故匍=念-/…会a=&.2.1=

^''^+271+154

6

(ri+l)(n+2)*

仁

符合上式故｛&｝的通项公式为%=6______z

Ql(n+l)(n+2)，n

⑵解:结合⑴得b=(2n+3)(-1)&=6(-DYHY+葭先)>

n•1/"T"1ILI乙

所以玉="+月+…+蘸=-6©+2)+6信+［)+~+6(—1尸(+++)=-3+鼻(-1)”.

20.(2022.黑龙江•哈九中二模(理))已知数列｛4｝满足QQ…篇=2-20n，n6N*.

(1)证明：数列｛1匕-｝是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)记b,=(源八,求也,｝的前4项和S„

n(n+1)

［答案］⑴证明见解析，4=鬻/MeN*)(2)&=鲁-)

［解析］⑴当71=1时，的=2—2O1,得01二得",当九>2时，有QQ-1=2-2%_QO2…册=2-24，，

O

相除得④=，一％@二2)整理为：不」—=产」=£——1@>2),即£———=

1-*1一*1一41-a,.1-«•„1-*

1(71>2),.・.(^^—1为等差数列，公差4=1,首项为"一=3;所以1^—=3+(?1—1)=71+2,整理

I_L—0nl1—Q1上一4

为：%=M.；(nWN)

(2)6n=n(r^t-l)=n(n+2)=~^+2^'&=

Xh_±±_±±_±...^______i_x__^)=工(i+!__i_______Ms=^--

2d3+24+35++n-1n+1+nn+2>2、2n+1n+2/"4

1(2n+3)

2(n+1)(n+2)

21.(2022•河北石家庄•二模)设数列｛%｝的前几项和为&.已知3=1,2厮+1=&+2(九£十)

⑴求数列｛%｝的通项公式；⑵数列｛>｝满足&=%•(log产一N*),求数列｛b,,｝的前71项和Tn.

［答案］⑴％=g)(2)北=2(n—4)(方)+8

［解析］(1)解：当时，由2%+i=&+2,得2%=&-i+2,两式相减得2%+1—2%=%,

所以誓■=告，出=1,电=气工=9,所以篙=得，所以数列｛©｝是以1为首项，方为公比得等比数列，

是以4=借厂'；

⑵解:b.=%」(10号%「1)=(71-2).既)，则£=-1x(/)+0X-|-+1x(-y)H—+(n-2)•

(7fieessenceofmathematicsGesinitsfreedom!

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(犷,

*鸳=-1x+0x1x-----F(n-3)-(-|-)n1+(n—2)•\两式相减得一^方=-1+

nln，，

9+偿)2+…+(y)-(n-2)*(y)=-2+---------------(汴—2)得)",所以7；1=2(n-4)(y)+8.

1-y

22.(2022・广东肇庆•二模)已知数列｛册｝满足的=5，2%=4+1.

(1)证明：数列｛%—1｝是等比数列；(2)求数列仇源｝的前几项和

［答案］(1)证明见解析(2)田喑二包+卫署

22

［解析］(1)证明：由2册+i=斯+1,得20rl+i—2=为-1,又。1一1=―g，所以0n—1W0,故―4"，故

乙

0n—1幺

｛斯一1｝是以一/为首项，以十为公比的等比数列；

⑵解：由⑴得为-1=一传)"，得@=1一(/)",所以吟=九一九传)",设｛n/y｝的前九项和为七

则R=1X5+2x(•1')2+…+71信)"，①1X(y)2+2X(/丫+…+9已丫二②

由①一②，得■!"王=■1■+信)2+(y)3+---+(y)n_n(y)n+1

=克一(()］一七)血=l-(l)n-n(i)n+1，则R=2-(n+2)(<)",

1-T

故7；=1+2+3+…+n-£=^^^一2=

2z2

23.(2022•江苏七市・二模)已知数列｛册｝的前n项和为&,0n+&=—七.

(1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列｛an｝的通项公式；

①数列｛2"4｝是等差数歹!I;②数列｛%-赍｝是等比数列；

(2)记b,=浅匚，求数列他,｝的前n项和亶.

［答案］(1)选①证明见解析，0n=2萨;选②证明见解析，％=卫萨(2)辞p-2

［解析］(1)解：若选数列｛2"册｝是等差数列，雅①，.•.%+i+Sn+i=一/②，

②—①得%+i—0n+0n+i=5,即2%+i—a„=《.工2"+i%+i—2"%=1且ai=­J,

｛2"册｝是首项为一1,公差为1的等差数列2%=—1+(九一1)♦1=n-2=&=咋2若选数列

｛4>—会｝是等比数列，

源+S“=~①，.14+1+S„+i=―"②，二②一①得0„+1—@+a„+i=■，即2篇+i—册=

.c_2(n+l)-2n_/n+l\n..1_1工,、

••2a»+i-°r.--------河----，整理何2(%+i-2«+i)=%—0•第一歹=一1#0,

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2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练解答题

二1n—■嬴）是等比数列且首项为一1,公比为-y.0n—晟=（-1）（J）,a„=

2］'

（2）解：：0n册+&=~^T，二&=一■^-^=-黄，On+l=

n—1

2"+i_2n(n-l)_2n+,2"-2222322,2，i+i2"2n+i

•■b=，Tz-5一丁+9-T+"'n+1nTi+l

n_2L.f_n+l\n(n+1)n+1n

T\2n+1)

-2

24.（2022•辽宁・沈阳二中二模）已知等差数列｛%｝满足血=9,<^+08=22.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）等比数列｛”,｝的前九项和为S,,且瓦=5,再从下面①©③中选取两个作为条件，求满足S,V