2022年福建省中考数学试卷（解析版）

2022年福建省中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1--11的相反数是（）

3.5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变.截止2021年底，全省5G终端

用户达1397.6万户.数据13976000用科学记数法表示为（）

A.13976X103B.1397.6X104

C.1.3976X107D.0.13976X108

4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（)

5.如图，数轴上的点尸表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）

P

1111；11A

-2-10123

A.-V2B.我C.娓D.TT

（Y_1>°

6.不等式组『'的解集是（）

lx-3<0

A.x>\B.1<x<3C.IV启3D.启3

7.化简（3/）2的结果是（）

A.9a2B.6层C.94D.3/

8.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.如图是福建省10个地区环境空

气质量综合指数统计图.

综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好

的地区是（）

声号指数

3.5

3

2.5

2

1.5

I

0.5

O

用月冉BTFB地区

RFFr9Fl（）

A.FiB.F6C.FiD.Fio

9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中A8=AC,ZABC=21a,BC

=44cm,则高4。约为（）

（参考数据：sin27°^0.45,cos270-0.89,tan27°七0.51）

C.19.58。"D.22.44cm

10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NABC=90°,ZCAB=60°,AB=8,点A

对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△4'B'C,

点人对应直尺的刻度为0,则四边形ACC'4'的面积是（）

C.192D.16073

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.四边形的外角和度数是

12.如图，在△A8C中，D,E分别是A8,AC的中点.若8C=12,则OE的长为

13.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋

中摸出一个球，这个球是红球的概率是

14.已知反比例函数^=区的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是.

.（只

需写出一个符合条件的实数）

15.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0"，并证明如下：

设任意一个实数为x,令》=〃?，

等式两边都乘以x,得/=mr.①

等式两边都减加得X2-加=的-〃於.②

等式两边分别分解因式，得（X+/M）（x-w）—m（.x-/ri'）.③

等式两边都除以X-"7,得X+，"=〃7.④

等式两边都减加，得x=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.

16.已知抛物线>=炉+2_1-"与x轴交于A,8两点，抛物线-〃与x轴交于C,

。两点，其中“>0.若A£>=28C,则”的值为.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.计算：74+173-H-2022°.

18.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,NB=NE.求证：ZA

=Z£>.

121―

19.先化简，再求值：（1+，）+三二工，其中。=&+1.

aa

20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、

实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他

们一周的课外劳动时间t（单位：h）,并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一

个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间f（单位：力），

按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A组为B组为C组为2

<f<3,。组为3<f<4,E组为4Wf<5,尸组为

(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;

(2)该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动

时间不小于3〃的人数.

21.如图，AABC内接于。。，AQ〃BC交于点。，DF〃AB交BC于点、E,交0。于

点F,连接AF,CF.

(1)求证：AC=AF；

(2)若的半径为3,NC4F=30°,求定的长(结果保留TT).

22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级(1)班负责校园某绿化角

的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共

46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多

少盆？

(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.

23.如图，是矩形ABC。的对角线.

(1)求作OA,使得G)A与3。相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，设80与0A相切于点E,CFLBD,垂足为若直线与

OA相切于点G,求的值.

24.已知△ABC四△QEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如图1,CB平分NACZ),求证：四边形ABZ)C是菱形；

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,DE

的延长线相交于点凡用等式表示NACE与NEFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的△CCE绕点C顺时针旋转(旋转角小于NABC),若NBAD

=NBCD,求NAO8的度数.

25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o%2+bx经过月(4,0),B(1,4)两点.P

是抛物线上一点，且在直线AB的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标:

(3)如图，OP交AB于点C,PD〃BO交AB于点、D.记△C£>P,△CP8,△CBO的面

S1Sn

积分别为$,S2,S3.判断出港是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在,

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.-11的相反数是（）

A.-11B.C.—D.11

1111

【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案.

解：-(-11)=11.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键.

【分析】应用简单几何体的三视图判定方法进行判定即可得出答案.

解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图,

故选：4.

【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方

法进行求解是解决本题的关键.

3.5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变.截止2021年底，全省5G终端

用户达1397.6万户.数据13976000用科学记数法表示为（）

A.13976X103B.1397.6X104

C.1.3976X107D.0.13976X108

【分析】应用科学记数法：把一个大于10的数记成“X10"的形式，其中“是整数数位只

有一位的数，”是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：4X10",其

中lWa<10,〃为正整数.】

解：13976000=1.3976X107.

故选：C.

【点评】本题主要考查了科学记数法-表示较大的数，熟练掌握科学记数法-表示较大

的数的方法进行求解是解决本题的关键.

4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

解：选项8、C、。不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形，

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

5.如图，数轴上的点尸表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）

।।।a、

-2-10123

A.-V2B.&C.娓D.n

【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案.

解：根据题意可得，

1<P<2,

vi<72<2.

这个无理数是加.

故选：B.

【点评】本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题

的关键.

'Y-1>0

6.不等式组1''的解集是（）

lx-3<0

A.x>\B.1cx<3C.1cxW3D.xW3

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

（x-1〉。①

解:

jx-34。②

由①得：x>\,

由②得：xW3,

二不等式组的解集为1<XW3.

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.

7.化简（3a2）2的结果是（）

A.9屏B.6a2C.9a4D.3a4

【分析】应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案.

解：（3a2）

故选：C.

【点评】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则进行求解是解决本题的

关键.

8.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.如图是福建省10个地区环境空

气质量综合指数统计图.

综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好

的地区是（）

,综含指数

3.5v---------1--------------1------1------------1-------------1-111-1

I।1I|1IIi1

II1ai11i1

3I11iii-1Ii1

•1••I4,i1

--t---------->■

2.5-T-・»i——■».---..|..-u.・T-..1

111iti1i.1

1।1iii1t11

2-1-----------1--1-I'li1I1

1।ii1lI|1

f11liiIia

1.5111Iii1ii1

11

1—।----------——一T一------1------------一T一--।-------->一一T一-----1

1I1i-----e1Iia1

111i11।iI

().5111Ii1iii1

111li1IIi1

A1t।iii

F,Fi尸3F,FBFTFBF»Fin地区

A.FtB.Ft,C.FiD.Fio

［分析］根据折线统计图的信息进行判定即可得出答案.

解：根据题意可得，Qo地区环境空气质量综合指数约为1.9,是10个地区中最小值.

故选：D.

【点评】本题主要考查了折线统计图，根据题意读取折线统计图中的信息进行求解是解

决本题的关键.

9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形A8C,其中AB=AC,ZABC=27°,BC

=44cm,则高A。约为（）

(参考数据:sin27°g0.45,cos27°20.89,tan27°比0.51)

A.9.90C77?B.11.22CTOC.19.58cmD.22.44cw

【分析】根据等腰三角形性质求出根据角度的正切值可求出AD

解：'：AB=AC,BC=44cm,

:*BD=CD=22cm,ADLBC,

'：ZABC=27°,

An

.,.tanZABC=­«=0.51,

BD

Z.1X22=11.22cm,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，掌握三角形函数的定义是解

题关键.

10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NABC=90°,NC4B=60°,AB=8,点A

对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到44'B'C,

点A'对应直尺的刻度为0,则四边形ACCA'的面积是（）

A.96B.96aC.192D.160百

【分析】根据正切的定义求出BC,证明四边形ACC'A，为平行四边形，根据平移的性

质求出A4'=12,根据平行四边形的面积公式计算，得到答案.

解：在RtZ^ABC中，/C4B=60°,A3=8,

则3c=AB・tanNC4B=8百，

由平移的性质可知：AC=A'C,AC//A1C,

...四边形ACC'A'为平行四边形，

•.•点A对应直尺的刻度为12,点4'对应直尺的刻度为0,

.\A4,=12,

・'・S四边形4C(?/V=12X8-\/3=96^^3，

故选：B.

【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出

四边形ACUA'为平行四边形是解题的关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.四边形的外角和度数是360。.

【分析】根据多边形的外角和都是360。即可得出答案.

解：四边形的外角和度数是360。，

故答案为：360°.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和都是360°是解题的关键.

12.如图，在AABC中，D,E分别是AB,AC的中点.若8c=12,则DE的长为6.

ADB

【分析】直接利用三角形中位线定理求解.

解：E分别是4B,4c的中点，

...£>£为△ABC的中位线，

.,.DE=—BC=—X12=6.

22

故答案为：6.

【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三

边的一半.

13.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋

中摸出一个球，这个球是红球的概率是4.

一5一

【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案.

解：根据题意可得，

P(A)=—.

5

故答案为：菅.

【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是

解决本题的关键.

14.已知反比例函数y=K的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是-3(答

x

案不唯一).(只需写出一个符合条件的实数)

【分析】根据图象经过第二、四象限，易知火＜0,写一个负数即可.

解：•••该反比例图象经过第二、四象限，

取值不唯一，可取-3,

故答案为：-3(答案不唯一).

【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范

围即可.

15.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0"，并证明如下：

设任意一个实数为X,令*="1,

等式两边都乘以x,得r=尔.①

等式两边都减m2,得『--tn2.②

等式两边分别分解因式，得(x+，〃)(x-m)=m(x-m).③

等式两边都除以x-机，得④

等式两边都减机，得x=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是④.

【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可.

解：设任意一个实数为x,令x=tn,

等式两边都乘以x,得r=机工①依据为等式的基本性质2；

等式两边都减得r-加=以-,"2.②依据为等式的基本性质1；

等式两边分别分解因式，得(x+机)(%-/«)=m(x-m).③依据为分解因式;

等式两边都除以x-〃?，得④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，

当x-,”=0时，不能直接除，而题干中给出的条件是x=，"，此处不能直接除.

故答案为：④.

【点评】本题主要考查等式的基本性质，推理与论证，掌握等式的基本性质是解题关键.

16.已知抛物线y=f+2x-〃与x轴交于A,8两点，抛物线y=/-2%-"与无轴交于C,

。两点，其中〃>0.若AD=2BC,则制的值为8.

【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD,BC,进而建立方程，

求解即可求出答案.

解：针对于抛物线y=W+2x-〃，

令y=0,贝iJ/+2x-〃=0,

・・.x=-l±Vn+l，

针对于抛物线

y=/-2x-nf

令y=0,则/-级-“二。，

**x=1土7n+l，

*/廿由物线y=x2+2x-n=(x+1)2-n-1,

・•・抛物线y=f+2x-〃的顶点坐标为(-1,-72-1),

•・•抛物线y=/-2r-〃=(x-1)

抛物线y=x2-2x-n的顶点坐标为(1,-1),

工抛物线y=x2+2x-n与抛物线y=x2-lx-n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，

顶点到x轴的距离相等，

:,AB=CD,

9：AD=2BC,

；・抛物线、=炉+1¥-〃与大轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y=/-2x-〃与x轴

的交点C在左侧，。在右侧，

・・・A(-1-0),B(-1+Vn+l>0),C(1-0),。(，0),

••AD=1+Vn+l-(-1-Vn+1)=2+2,n+1，BC=-1+Vn+l~-Vn+1)=-

2+24n+L

•I2+2.n+l=2(-2+2.n+]),

・••孔=8,

故答案为：8.

【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点4B,C,

。的坐标是解本题的关键.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.计算：74+173-II-2022°.

【分析】应用零指数基，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案.

解：原式=2+百-1-1=-73.

【点评】本题主要考查了零指数幕，绝对值，算术平方根，熟练掌握零指数幕，绝对值,

算术平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键.

18.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,NB=NE.求证：ZA

=ZD.

【分析】利用SAS证明△A8C会ADEF,根据全等三角形的性质即可得解.

【解答】证明：•；BF=EC,

：.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在△ABC和△〃£；尸中，

'AB=DE

<ZB=ZE，

BC=EF

:.△ABCQXDEF(SAS),

：.ZA=ZD.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABCgAOE尸是解题的

关键.

121―

19.先化简，再求值：(1+工)+且二工，其中

aa

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把。的值代入计算即可求出值.

解：原式=史3+上山上11

aa

a+L______a_____

a（a+1）（a-1）

_1

一IT

当-加+】时,原式=曷丁冬

【点评】此题考查了分式的化简求值，平方差公式，因式分解-运用公式法，以及二次

根式的性质与化简，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、

实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他

们一周的课外劳动时间t（单位：h）,并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一

个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间单位：/?）,

按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A组为8组为C组为2

Wf<3,。组为3<f<4,E组为4Wf<5,尸组为f25.

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动

时间不小于3h的人数.

【分析】（1）根据中位数的定义进行判断即可；

（2）根据第2次课外劳动时间不小于%所占调查总人数的百分比，进行计算即可.

解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个

数，即处在第25、第26位的两个数都落在C组，因此第1次调查学生课外劳动时间中

位数在c组；

把第2组调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，

和为50%在D组，因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在D组；

(2)2000X(30%+24%+16%)=1400(人)，

答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3万的人数大约是1400人.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数，掌握条形统计图、扇形统计图的

意义以及中位数的计算方法是解决问题的前提.

21.如图，ZVIBC内接于。0,4£>〃BC交于点。，DF〃AB交BC于点、E,交。O于

点、F,连接4F,CF.

(1)求证：AC=AF；

(2)若。0的半径为3,NC4F=30°,求前的长(结果保留n).

【分析】(1)根据已知条件可证明四边形ABC。是平行四边形，由平行四边形的性质可

得NB=/D,等量代换可得NAFC=/ACF,即可得出答案；

(2)连接AO,CO,由(1)中结论可计算出NAFC的度数，根据圆周角定理可计算出

/4OC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案.

【解答】证明：(1),JAD//BC,DF//AB,

四边形ABCD是平行四边形，

:.NB=ND,

,：ZAFC=ZB,ZACF=ZD,

：.NAFC=ZACF,

：.AC=AF.

(2)连接AO,CO,

由(1)得NAFC=NACF,

VZAFC=—_■——=75°,

2

：.ZAOC=2ZAFC=i50°,

.•质的长/=150X兀X3=12L

AL1802

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性

质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养.

22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角

的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共

46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多

少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.

【分析】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，利用总价=单价X数量，结合购进两种绿植

46盆共花费390元，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买绿萝机盆，则购买吊兰（46-机）盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的

2倍，即可得出关于，〃的一元一次不等式，解之即可得出，"的取值范围，设购买两种绿

植的总费用为w元，利用总价=单价X数量，即可得出卬关于，”的函数关系式，再利用

一次函数的性质，即可解决最值问题.

解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，

依题意得：f4y=46,

l9x+6y=390

解得：（X=38.

Iy=8

78X2=16,16<38,

卜=3'符合题意.

Iy=8

答：购买绿萝38盆，吊兰8盆.

（2）设购买绿萝川盆，则购买吊兰（46-加）盆，

依题意得：（46-/??）,

解得：mN等.

设购买两种绿植的总费用为卬元，则卬=9m+6（46-/77）=3/n+276,

V3>0,

随机的增大而增大，

又：力》学,且，〃为整数，

当机=31时，卬取得最小值，最小值=3X31+276=369.

答：购买两种绿植总费用的最小值为369元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应

用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量

之间的关系，找出w关于相的函数关系式.

23.如图，BQ是矩形ABCO的对角线.

（1）求作。A,使得OA与8。相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设8。与OA相切于点E,CFA.BD,垂足为£若直线C尸与

0A相切于点G,求tanZADB的值.

【分析】（1）以A为圆心A8长为半径画弧交8。与M,作的垂直平分线，交.BD

与M以A为圆心AN为半径画圆即为所求；

（2）设/A£»B=a,OA的半径为r,证四边形AEFG是正方形，根据A4S证

CDF,得出BE=OF=，“tana,OEnOF+EFuLtana+r,根据等量关系列出关系式求出tana

的值即可.

解：（1）根据题意作图如下：

•••8。与0A相切于点E,CF与OA相切于点G,

：.AE1.BD,AG1.CG,

即NAE尸=N4GF=90°,

"：CF±BD,

:.NEFG=90°,

四边形AEFG是矩形，

又AE=AG=r,

四边形AEFG是正方形，

：.EF=AE=r,

在和RtZVMB中，ZBAE+ZABD=90°,ZADB+ZABD=90°,

：.ZBAE=ZADB=a,

RF

在RtZ\A8E中，tanZBAE=—,

AE

/.BE=retana,

丁四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.NABE=/CDF,

又NAEB=NCFD=90°,

・・・LABE出LCDF,

BE=DF=r*tana,

DE=DF+EF=ftana+r,

AR

在RtZvtDE中，tanZADE=—,

DE

即DE^lma=AE,

・'.r*tana+r=r,

B|Jtan2a+tana-1=0,

Vtana>0,

；・tana=y5,

2_

即lan/AOB的值为近二1.

2

【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性

质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、

化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意

识等数学素养，渗透数学文化.

24.已知△ABCg/XQEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如图1,C8平分N4CD,求证：四边形ABOC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的△<:£>£绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,DE

的延长线相交于点F,用等式表示/ACE与/EFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的△(7£>£绕点C顺时针旋转(旋转角小于NABC),若NBAD

=ZBCD,求/4OB的度数.

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AC=DC,根据角平分线的定义得到NOCB=

ZACB,证明四边形A5C。为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；

(2)根据全等三角形的性质得到NABC=NO£C,根据三角形内角和定理证明即可；

(3)在AO上取点M,使AM=BC,连接BM,证明得到8M=8。，

NABM=/CDB,根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】(1)证明：VAABC^ADEC,

：.AC=DC,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,AB=DC,

TCB平分/AC。，

:"DCB=NACB,

：.NABC=NDCB,

：.AB//CD,

・・.四边形ABDC为平行四边形，

U

\AB=AC9

・・・平行四边形ABDC为菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=180°,

理由如下：VAABC^ADEC,

・・・ZABC=/DEC,

：.NACB=/DEC,

VZACB+ZACF=ZDEC+ZCEF=ISO°,

:・NCEF=NAC/，

VZCEF+ZECF+ZEFC=180°，

：.ZACF+ZECF+ZEFC=180°,

；・NACE+NEFC=180°；

(3)解：如图3,在AO上取点M,使AM=8C,连接8M,

在△AM3和△C3O中，

M=BC

<ZBAM=ZDCB，

AB=CD

丝△CB。(SAS),

：・BM=BD,NABM=NCDB,

:・/BMD=/BDM,

NBMD=N8AO+NMB4,

・・・/ADB=NBCA/BDC,

设/BCD=/BAD=a,/BDC=B，则NAO5=a+0,

U：CA=CD,

：.ZCAD=ZCDA=a+20,

：.ZBAC=ZCAD-N8AD=20,

：.ZACB=—X(180°-20)=90°-0,

ZACD=90°-p+a,

VZACD+ZCAD+ZCDA=180°,

.♦.90。-p+a+a+2p+a+2p=180°,

/.a+p=30°,即/AOB=30°.

【点评】本题考查的是旋转变换、菱形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定