(无穷级数)之内容方法

n1n1第(穷数)之内容方法无穷级数也是高等数学的重要内容自科学及工程技术中有着重要而广泛的应.本章先介绍常数项级数及其收敛问题后讨论幂级数及其收敛半径敛区间的求法最后讨论函数的幂级数的展开问题本的重点是：常数项级数的基本概念，正项级数的审敛准则；幂级数的审敛准则勒公式泰勒级数及泰勒展开难点是：正项级数的审敛准则；泰勒展开式常项数基概及主要质1．基本概念级数

n

n

；项,通：

n

；常数项级数：

n

为常数部分和：S=

n

;部分和序列S,S,…,S

n

,级数收敛：分和序列存在有极限

S

.级数发散：部分和序列不存在有穷极.主要性质:（1）级数收敛的必条件是：其通项趋于0.（）果级数收敛且其和为S，则项同乘以常数c得级数也收敛且其和为.（）有两个收敛级数其部分和分别为和则将它们逐项相加或相减所得的级数也收敛，且其和为

S

.（）敛级数不改变各项顺序而插入括号后所成的级数仍然收敛且其和不.（）个级数添入或删除有限项并不影响其敛散11-2正级及审准基本定理正项数收敛的充必要条件是其部分和序列上有.

等比级数：

(当

q

1收，当

q

1时散p级数

n

p

当p时散当p>1时敛特别地，调和级数

n

发散.第一比较准则：有两个正项级数

n

与

n

，/

而且

n

(

=1,2,

)

.若

n

b

收敛，则

n

a

收敛；若

n

a

发散，则

n

b

也发散第二比较准则：设有两个正项级数

与，如果

lim

（〈

，则这两个级数同时收敛，或者同时发.达朗贝尔准(检比法有项级数

.如果

lim

aa

=，那么，当时数收敛；当时，级数发散；当时能判定敛散.11-3任项数敛性交错级数：各项正负相间的级.莱布尼兹准则：设有交错级数

.如果

各项的绝对值单调减；

lim

.则交错级数必收.绝对收敛级数：各项取绝对值后得到的正项级数收敛的级.条件收敛级数：收敛但不绝对收敛的级.绝对收敛准则：绝对收敛级数必收幂数其质函数项级数：各项是的函数的级.幂级数：

c(x

(

c

是常数.和函数（和分和所成函数序列的极限函.幂函数的审敛准则：设有幂级数

n

c

n

x

n

，/

如果极限

lim

|

cc

，那么，当

xR

时，幂级数收敛，而且绝对收敛；当

xR

时，幂级数发散，其中可是0,也可以是R称收敛半径，

x

<R称为收敛区间，简称为敛.敛域：敛区并上收敛的端点

或xR.可见：当R=0，敛域只含一点=0；当=时，敛域为（-）幂级数的性质(1)(1)设

ax)(|x)

,(2)(2)

bx

xx)则

fx)(且

xRR}2

.(3)(3)幂数的和在敛区内是连续的且可逐项求极.(4)(4)幂数

cx

的和S(x)在区内的任一点均导且有逐项求导公式：

Sn)n

，求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半(5)(5)幂数

cn

n

的和

S(x)

在敛区内可积，且有逐项求积分公式：S(x)00

ndxn

(

)，积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半.函的级展式函数f（x）在处泰勒级：f(x)

~

n

(n)()!

x)

nf(afx)

f

()2函数

f)

在区间I可展泰勒级数：/

f(x)

=

n

())!

x

n

xI

.f)

在区间I可展成泰勒级数的条件是：它与泰勒级的部分和之差趋于.泰勒定理：设函数

f)

在邻域内+1阶可导，则对位于此邻域的任一x，至少存在一点c，在a与间，使得下述泰勒公式成立：f(x)fa)f

)

+…f(n)((+!+

(n

x)

.注：当a时泰勒级数、泰勒展开式、泰勒公式分别称为麦克劳林级数、麦克劳林展开式、麦克劳林公.几个初等函数的麦克劳林展开式：1.

e

2nxx+…+!+…,-

x2.

sinxx

x3523!5!(2m

,-

x3.

xx2!

x2

,-

x4

ln(x2