第五讲空间等参薄板

第五讲空间等参薄板2023/2/18第一页，共六十二页，2022年，8月28日空间与轴对称问题等参数单元薄板弯曲问题2023/2/18第二页，共六十二页，2022年，8月28日5-1空间问题简介

工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的回转体，本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。空间问题的主要困难：（1）离散化不直观；————（网格自动生成）（2）未知量的数目剧增。————（对某些问题简化）——————（轴对称问题）空间分析的优点：精确。2023/2/18第三页，共六十二页，2022年，8月28日5-1空间问题简介

某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体称为轴对称物体，此平面称为子午面。在动力机械，特别是叶轮机械中，有很多零件都具有轴对称特性，比如轮盘、旋转轴、承力环等。对于直齿圆柱齿轮，由于齿的存在，严格地说它并非轴对称物体。如果忽略齿的部分(将齿用外载荷表示)，则所得到的齿根以内的旋转体部分为轴对称物体。轴对称物体的变形及应力分布不一定是轴对称的，只有当其约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形和应力分布才是轴对称的。轴对称物体+轴对称约束+轴对称载荷=轴对称系统对轴对称系统的应力分析=轴对称物体2023/2/18第四页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题1）几何形状关于轴线对称；2）作用于其上的载荷关于轴线对称。3）约束条件关于轴线对称。 因过z轴的任一子午面都是对称面，其 上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只 与坐标r、z有关，与无关。从而，轴 对称问题可转化为二维问题，但因与平 面问题有区别，常称为二维半问题。zrxp柱坐标系2023/2/18第五页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题

注意：应变虽然与无关，但是周向应变，周向应力，由径向位移引起，因为径向位移会导致周长的改变。2、基本方程位移分量应力分量应变分量2023/2/18第六页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题虚功方程2、基本方程应变分量轴对称问题的弹性矩阵：2023/2/18第七页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题刚度矩阵的推导：步骤1：选择单元类型步骤2：选择位移函数步骤3：确定应变位移和应力应变关系步骤4：推导单元刚度阵2023/2/18第八页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题3、单元位移函数

zroi(rz)rmurjuriumwjwiwiim(rz)mmj(rz)jj单元类型：三角形单元利用节线位移，待定系数，可得2023/2/18第九页，共六十二页，2022年，8月28日5-2

轴对称问题 其中为r的函数，故[B]的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r---》0时，f不存在，即奇异，需近似处理。4、应变矩阵5、单元刚度矩阵2023/2/18第十页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题6、轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变分量中出现了，即应变不是常量；且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。2023/2/18第十一页，共六十二页，2022年，8月28日5-2轴对称问题刚度矩阵近似表达：为三角形面积2023/2/18第十二页，共六十二页，2022年，8月28日问题描述：如下图所示，一个半径为100m的正方形截面圆环，截面尺寸为10m×10m，底端固定，径向受100N轴对称载荷，材料的弹性模量为3.0×1011Pa，试用有限元法进行分析。轴对称问题分析实例2023/2/18第十三页，共六十二页，2022年，8月28日轴对称问题分析实例分析类型：Structural单元类型：Solid和Quad4node42指定对称模式2023/2/18第十四页，共六十二页，2022年，8月28日轴对称问题分析实例材料属性定义模型及有限元网格剖分2023/2/18第十五页，共六十二页，2022年，8月28日轴对称问题分析实例添加约束：添加载荷：2023/2/18第十六页，共六十二页，2022年，8月28日轴对称问题分析实例2023/2/18第十七页，共六十二页，2022年，8月28日5-3空间问题有限元法1、基本方程2023/2/18第十八页，共六十二页，2022年，8月28日5-3四面体单元1）单元类型：四面体单元节点位移向量2）位移函数：线性位移函数2023/2/18第十九页，共六十二页，2022年，8月28日5-3四面体单元利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式 这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式其中2023/2/18第二十页，共六十二页，2022年，8月28日5-3四面体单元3）应变矩阵其中 显然[B]为常量矩阵，故四面体单元为常应变单元2023/2/18第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日5-3四面体单元4）刚度矩阵2023/2/18第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日空间问题分析实例问题描述：如下图所示，一立方体的尺寸为10m10m20m，底端固定，前面顶端右侧角点受Fx=1000N，Fy=1000N，Fz=1000N的集中力，材料的弹性模量为3.0×1011Pa，试用有限元法进行静力分析。2023/2/18第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日空间问题分析实例分析类型：Structural单元类型：Solid和Brick8node45材料属性定义2023/2/18第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日空间问题分析实例三维模型有限元网格剖分(四面体)2023/2/18第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日空间问题分析实例添加约束：添加载荷：2023/2/18第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日空间问题分析实例2023/2/18第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元 提高计算精度的方法：单元细分；构造高精度单元。 由前可知，三角形有较矩形单元更好的边界适应性，矩形单元比三角形有更高的精度，但是，一般来说，矩形单元只适合用于矩形规则区域的求解，对于任意形状的非规则区域，单元分割困难，计算精度在边界上存在问题。2023/2/18第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元 如果将矩形单元改为任意四边形单元，用于求解不规则区域时单元分割方便，而且至少4个节点8个自由度。但是，任意四边形单元不能满足相邻单元之间的位移协调。 因此，实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元，等参单元具有此特点。2023/2/18第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元 所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。2023/2/18第三十页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)1(-1,-1)1、等参变换 将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求。2023/2/18第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元局部坐标总体坐标变换函数2023/2/18第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日6-1等参数单元变换实例xyz

t

3(1,1)4(-1,1)2(1,-1)1(-1,-1)

y=1=1=-1=12(x2,y2)1(x1,y1)3(x3,y3)4(x4,y4)uvP(x,y)2023/2/18第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日6-2等参数单元形函数2、形函数的性质同前在矩形单元上的变化如图注意：不是直线2023/2/18第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日6-2等参数单元形函数形函数N1的正确表示直线直线（1,-1）不是平面-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.512023/2/18第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日6-3等参数单元位移函数3、等参单元位移函数：单元内任意点p的位移函数(2D)： 其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。2023/2/18第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日6-4等参数单元刚度矩阵4、等参单元刚阵

1）应变矩阵 注意：应变为位移对x，y的导数，如四节点四边形单元计算式如右：用于二维等参元2023/2/18第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日6-4

等参数单元刚度矩阵2）复合求导 记为矩阵(如四节点四边形单元) [J]称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当[J]的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。2023/2/18第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日6-4等参数单元刚度矩阵应变矩阵2023/2/18第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日6-4等参数单元刚度矩阵3）刚度矩阵 一般而言，等参单元的刚度积分很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法。(略)2023/2/18第四十页，共六十二页，2022年，8月28日6-5空间六面体单元8(x5,y5,z5)1234(x4,y4,z4)5(x5,y5,z5)67xzy

23(1,-1,1)48(1,1,-1)6572023/2/18第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日6-5空间六面体单元1)形函数(i=1,2,…8)其中：例：2023/2/18第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日6-6等参数单元说明等参单元的几点说明：1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。证明略。2）等参单元存在的充要条件是： 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。2023/2/18第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日6-6等参数单元说明3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。略6）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函数的，如p-element2023/2/18第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题 力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。2023/2/18第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题1、基本假设（克希霍夫假设）

1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变，即xyzt变形前的直线变形后的直线zxz2023/2/18第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即。由于板内各点的扰度与z坐标无关，只是x，y的函数，即3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即

4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，即2023/2/18第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题2、基本方程

1）几何方程分别表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率绕x轴转角绕y轴转角2023/2/18第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题2）应力应变关系（HOOK定律）记为矩阵形式：2023/2/18第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日7-1薄板弯曲问题3）内力矩公式 单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩xyzt2023/2/18第五十页，共六十二页，2022年，8月28日7-2薄板弯曲的矩形单元 用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。如右图矩形单元mjil节点位移向量和节点力向量2023/2/18第五十一页，共六十二页，2022年，8月28日7-2薄板弯曲的矩形单元3、位移函数 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则另两个转角为：2023/2/18第五十二页，共六十二页，2022年，8月28日7-2薄板弯曲的矩形单元 待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：其中，形函数：2023/2/18第五十三页，共六十二页，2022年，8月28日7-2薄板弯曲的矩形单元单元收敛性分析：

1）位移函数中包含有常量项，反映了刚体位移，如为扰度常量，为转角常量。

2）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为：

表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。2023/2/18第五十四页，共六十二页，2022年，8月28日7-2薄板弯曲的矩形单元单元收敛性分析：

3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边y=-b则有位移 四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。

如对于绕x轴的转角： 四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。

所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。2023/2/18第