集合的概念练习题

第一讲集合的概念及其运算

1、子集的个数

例1、(1)若{1,2}^AC{1,2,3,4}，求满足这个关系式的集合A的个数

(2)己知集合4={0、2、4},B={x\x=ah,a,beA],则集合8的子集的个数为。

(3)从自然数1〜20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M的元素，则用的真

子集共有个。

☆规律方法总结：(D子集的个数：一个有〃个元素的集合，其①子集有个；②真子集有

个；③非空子集有个；④非空真子集有个；

(2)已知集合M中有加个元素，集合N中有〃个元素，则满足M*PqN的集合P的个数为

2"-m-1

2、集合中元素的个数

例2、(1)已知集合M,N分别含有8个、13个元素，若MDN中有6个元素，①求MUN中的元素

个数.②当MUN含多少个元素时，MClN=。.

(2)50名学生参加跳远和铅球两样测试，跳远和铅球测验成绩分别及格40人和31人，两次测验

成绩均不及格的有4人，则两项成绩都及格的人数是()

A、35B、25C、28D、15

(3)某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中1人会唱歌跳舞5人会,现

从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目，问有多少种不同的选法？

3、集合间的关系

例3、判断下列两集合之间的关系

(1)M={x\x=2k+\,keZ},N={x\x=4k+l,keZ}

(2)A={x\x-a2+2a+\,aeR],B={x\x-b2-2b,beR}

(3)M={x\x=-+-,keZ},N={x\x=-+-,keZ}

2442

4、方程、不等式与集合

例4、(1)已知方程/3)=0送a)=0的解集分别为4,3。

①写出方程f(x>g(x)=O的解集

②写出方程/(x)+g20)=0的解集

③写出方程△△=()的解集

g(x)

(2)已知不等式/(x>0),g(x)>0的解集分别为A、B,/(x<0),g(x)<0的解集分别为M、N。

写出不等式g(x)>0与f(x)-g(x)<0的解集.

(3)设全集为&,记，MHo},N=k|g(x)Wo}试写出/(x).g(x)=0

5、集合问题的求解

(D看清元素的构成

例5、(1)已知P={)，|y=，+l,xeR},Q={)，|y=x+l,xeR},则PD。等于

A、{(0,1)、(1,2)}B、{0,1}C、{1,2}D、[1,+oo]

⑵设4={2.5},旦8=&|》14},则A与8的关系是()

A、AeBB、AuBC、A=BD、A=B

*

⑶设a、是整数，集合E={(x、y)|(x-a)2+3匕46y},点(2,l)eE,但点(l,0)£E,(3,2)£E,求a、

b的值。

⑷已知A={(x、y)||x|+|y|=l},8={(x、y)|/+/=.贝g()

A、A\JB=AB、A\JB=BC、ADB=0D、Card{A^B)=A

⑸已知集合A={(x.y)||x|+|y区1},集合8={(x.y)|(y-x)(y+x)<0},M=

An8,则M的面积是()

A,-B>41C、1D、

2

(2)注意元素互异性的检验

例6已知集合A={x、xy、lg(xy)},5={0、|x|、)}若A=8,求

(xH—)+(x24—H---F(X2"03H—的值。

⑶注意空集的特殊性

例7、已知集合A=卜卜？+(p+2)x+l=O,xw7?},若4(1火+=。，求实数〃的取值范围。

例8、设集合「二卜,+x-6=o1Q={x1nx+l=()},若Q紧P,则实数加可取不同的值有

个。

(4)注意端点值的取舍

例9、已知集合4=讨卜一1|＜。,。＞0}3=卜卜一3|＞4},且Afi3=°，求实数a的取值范围。

6、集合的运算

(1)交集：

(2)并集：

(3)补集：

例io、满足xuv={i,2}的集合x,y的所有可能的解有多少组？

例11、已知集合A={x|—/+3x+1020},8={x|"?+)WxW2，”一1},若B=求实数m

-2-

的取值范围。

例12、已知A={x||x-1|<c},8={x||<-3|>4}且APIB=。，求c的取值范围；

例13、(1)已知集合4={尤|/一31+2=0},8={月/一如+2=0}且4118=4求机的取值

范围；

(2)已知集合A={X|X2—3x+2=0},B={x|x2=ox+3a—5=0}若AljB=B,求实数a的

值；

(3)已知A={x||2x-l|21,xeR},B={x|/一(2。+1"+以。+1)<0},若8qA,求实数。的

取值范围。

变式：①若将题设条件B=A改为an8=。，则。=o

变式：②若将集合B改为8={x[(x-a)(x—2a+l)W0}则在8=4时，a的取值范围

是,在AD3=。时，。的取值范围为o

(4)设全集R,fix')-sinx,g(x)=cosx,M={x\f(x)H0},N={x|g(xH0)}则集合

{x"(x)-g(x)=0}等于<)

、

A(CRM)C\(CRN)B、(CRM)UNC、MU(CRN)D、(CRM)U(CRN)

(5)设A={x|2x2-px+q=0},B={x\6x2+(p+2)x+5+q=0},若APIB=

{工}则41)8等于()

唱_44}，唱-彳唱,嘲

例14、己知集合4={》|办2-3》+2=0,。€/?}

(1)若A是空集，求。的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。

例15、数集A满足条件，若aw则一!一wA

1-a

(1)证明：若2wA,则在A中必然还有另外两个数，求这两个数；

(2)证明：若A为单元素集，求a及A。

第二讲含绝对值不等式的解法

-3-

☆知识要点及解题方法：

1、解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2、注意绝对值不等式：时—例引。土4引4+网；

3、(1)|/(x)|<g(x)u>—g(x)</(x)<g(x);(2)|/(x)|>g(x)Q/(x)>g(x)或

/(x)<-g(x)(无论g(x)是否为正)。

☆典型例题：

例1、解不等式：卜2-4x+2

例2、解不等式：卜1

例3、解不等式k+3|—卜一3|>3

变式题：(1)求函数y=k—3|+|x+l|的值域

(2)求函数y=|x—3]—|x+l|的值域。

⑶若函数y=|x—3|+|x+l]>Z恒成立，则人的取值范围是«

(4)若函数y=|x—3|+|x+l|<%的解集为空集，则k的取值范围是。

(5)若函数y=|x—3|+卜+1|<%的解集非空(或有解)，求人的取值范围是—。

⑹若函数y=卜一3|—卜+1]>%恒成立，则k的取值范围是。

(7)函数丁=卜—3|+,+1|+卜+3|在》=一时，函数取到最小值，其最小值是一。

例4、解不等式,2一3忖一31W1。

第三讲整式、分式不等式与一元二次不等式的解法

-4-

☆知识要点：

1、不等式的性质是证、解不等式的基础，特别是在不等式两边同乘以一个数或式时，要考虑它

的正负.

2、一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等

式、指数不等式、对数不等式的基础.

3、带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0二次函数y=o?+加的值恒大于。的条

件是。>0且A<0;若恒大于或等于0,则。>0且A4O.若二次项系数中含参数且未指明该函数

是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形

4、一元二次方程根的分布情况。

5、含参数不等式的解法。

☆典型例题：

例1、己知关于x的不等式(a+/?)x+(2a-36)<0的解为(―8,一；),求关于刀的不等式

(CL-3b)x+(〃—2a)>0的解集。

例2、解不等式：(1)-3--5-<2;(2)(x—l)-(x+l)(x2)(0

x~+2,x—3x+4

☆小结：

整式不等式和分式不等式的解法：数轴标根法。解不等式f(x)>(<)0.

1、将多项式分解成最简形式；

2、变形去掉二次以上的项，各一次项系数为正；

3、在最右端的区间，f(x)>0;

4、在相邻区间，f(x)符号相反。

例3、己知不等式以2+法+。>0的解集为{x[a<x<£},其中/?>a>0,求不等式

ex2+bx+a<0的解集。

例4、(1)若一元二次方程(川-1)尤2+2(〃?+1)龙-〃2=0有两个正根，求机的取值范围。

(0<m<1)

17

(2)若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两根都是负数，求k的取值范围。(女W-上或k>3)

5

(3)若一元二次方程自2+3日+%—3=0有一个正根和一个负根，求上的取值范围。(0<k<3)

(4)若一元二次方程依2+(2%-l)x+%—3=0有一根为0,求另一根是正根还是负根。(负根)

例5、(1)已知方程，一15+机一2=0的两实根都大于1,求加的取值范围。(12(加<一)

4

(2)若一元二次方程如2一(〃[+])*+3=0的两个实根都大于-1,求机的取值范围.

-5-

(m<-2或m>5+2A/6)

(3)若一元二次方程根/-(根+l)x+3=0的两实根都小于2,求机的取值范围。

(m<>5+2A/6)

2

例6、(1)已知方程—+2如+2M之-3=0有一根大于2,另一根比2小，求机的取值范围。

V2V2

(-1----<m<-\-\------)

22

12

(2)已知方程/+(〃2-2)犬+2加-1=0有一实根在0和1之间，求相的取值范围。(一<m<—)

23

(3)已知方程/+(m-2)工+2〃2-1=0的较大实根在0和1之间，求实数机的取值范围。变

式：改为较小实根(不可能；-<m<2)

2

(4)若方程％2+(々+2)%一左=0的两实根均在区间(-1、1)内，求后的取值范围。

(-4+275<^<--)

2

(5)若方程/+(左一2»+2左一1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求女

的取值范围。(上1<%<之2)

23

(6)已知关于x的方程(机-1)/-2机工+加2+加一6=0的两根为。、/且满足0<a<l</?,

求”2的取值范围。(-3<〃z<-J7或2(加<)

例7、解关于X的不等式a(a-D>l(a>0,且awl)。

x—2

例8、设关于x的不等式组I":2>°的整数解的集合为{一2},求实数a的取值

lx2+(2攵+5)*+5%<0

范围。

第四讲简易逻辑

-6-

一、逻辑连结词

例1、(1)命题“p且q”与命题“〃或q”都是假命题，则下列判断正确的是()

A、命题“非p”与“非q”真假不同

B、命题“非p”与“非q”至多有一个假命题

C、命题“非p”与“q”真假相同

D、命题“非p且非夕”是真命题

(2)设p为真命题，q为假命题，以下四个命题：①p且q,②p或q,③非p,④非q,其中

假命题的个数为()

A、1B、2C、3D、4

例2、已知全集。=/?,4.。,8^。如果命题0:、回€4。8则命题‘'非。”是()

A、非/?：6任4B、非

C、非p:6任(Ac8)D、非P:ge(C〃A)c(C〃B)

*小结：复合命题真、假性判断的依据：

非P命题：真假相对p且q命题：一假必假P或q命题：:真必真

二、四种命题：

例4、(1)设原命题是“若x=3或y=7,则(x—3)(y—7)=0”写出该命题的逆命题，否命题和

递否命题，并分别说明它们的真假。

(2)对于命题p:“若a<3,则。>1则p和它的逆命题、否命题、逆否命题、中真命题

的个数为()

A、0B、1C、2D、3

(3)命题“。、匕都是偶数，则a+6是偶数的逆否命题是()

A、a、b都不是偶数，则a+人不是偶数

B、a、b不都是偶数，则a+b不是偶数

C、a+6不是偶数，则。、分都不是偶数

D、a+6不是偶数，则。、匕不都是偶数

⑷命题“若"=0,则a,b中至少有一个为零”的逆否命题是.

例5、写出下列命题的否定形式及命题的否命题，并分别判断其真假。

(1)面积相等的三角形是全等三角形

(2)有些质数是奇数

(3)所有的方程都不是不等式

*小结：1、四种命题的关系：

①原命题逆命题

否命题逆否命题

②四种命题为真的个数只能是。个，2个，4个

2、命题的否定形式与否命题的区别

-7-

命题若P则q,其命题的否定是，否命题是

3、常见一些词语的否定：

至少一至多一

词语是都是大于(>)所有的任一个

个个

词语的否

定

三、充要条件：

例6、在M={x||x+l|+|x—3|>8),P={X|JC2+(a—8)x—8<7<0}的前提下，

(1)求”的一个值，使它成为McP={x[5<xW8}的一个充分但不必要条件。(2)求。的一

个取值范围，使它成为MnP={x|5<x<8}的一个必要不充分条件。

例7、已知尸={x|x—。|<4},。="|/一4x+3<0},且xe尸是无€。的必要条件，求实数a

的取值范围。

例8、判断下列各题中p是q成立的什么条件？

(1)p：a,"c成等比数列；q：b~-ac

(2)p：%。1或》/2；q：

(3)p：A-B；q：tanA=tan8

x>3[x,+x-,>6

例9、\t1是《।2中成立的是()

x2>3[X|-x2>9

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

例10、若a、be。，则使同+网>1成立的充分要条件是()

A、时+网21B、|a|>-^13.|ft|>-^CAa>1DAb<-\

例11、已知p是，的充分条件，而，是q的必要条件，同时又是s的充分条件，q是s的必要条

件，试判断：

(1)s是p的什么条件(2)p是4的什么条件

(3)其中有哪儿对条件互为充要条件

元2-4

例12、已知+——<0,问是』7的什么条件？

x

例13、已知条件p,q设集合P表示所有满足条件p的对象，集合。示所有满足条件q的对象,

-8-

即p{x\p{x)},Q={x\q(x)},

(1)若〃是夕的充分条件，则P有Q何关系？

(2)若〃是夕的必要条件，则P与。有何关系？

(3)若〃是g的充要条件，则P与Q有何关系？

*小结：判断命题充要关系有三种方法：

(1)定义法；

(2)应用条件结论间的包含关系：

若则A是8的充分非必要条件；若A=8,则A是8的必要非充分条件；若A=B,

则人是8的充要条件；

(3)等价法：利用互为逆否关系的两个命题同真同假判断

°=夕等价于-1夕=-10；q=>p等价于-1P=；poq等价于-；

四、反证法

例13、已知下列三个方程：%?+4以-4。+3=0,九-1)%+。2=。

了2+2以-2。=0,若至少有一个方程有实根，示实数。的取值范围。

例15、已知尤为实数，。=炉+—,。=2-九,c=/一x+1用反证法证明：a,b,c中至少有

2

一个不小于io

第五讲映射与函数

一、映射的概念性问题

例1、已知集合人={1、2、3},集合8={4、5、6},映射£A-8且满足1的象是4,则从A

到B的映射的个数是。

例2、(1)设工A-B是A到8的一个映射其中A=B={(x,y)|x,yw火},

了:{(x,y)T(x—y,x+y)},求A中的元素(-1,3)的象与B中的元素(-1,3)的原象；

(2)已知集合4={(乂>)］》+)，=1}映射6A-8点f作用下，点(x,y)的象为(2”,2)‘),

则集合B为()

A、{(x.y)|x+y=2,x>0,y>0}B、{(x.y)|xy=1,x>0,>0}

C、{(x.y)|x+y=2,x<0,y>0}D^{(xy)|xy=2,x>0,y>0}

例3、设M=仿、b、c},N{T、0、1}

-9-

(1)问从M到N的映射最多几个？

(2)从M到N的映射满足/(x)>/S)2/(c),确定这样的映射-»N的个数。

例4、己知集合4=2,8={jc|x=2〃+l,〃ez},C=7?且A到8的映射是/:y=2x-1,从8

到C的映射是：g：y——!—，则从A到C的映射是_____。

-3y+l

例5、设集合A={a、b、c,小，8={1、2、3},从A到8建立映射f,使

/(4)+/3)+/(c)+/(4)=8,则满足条件的映射F共有个。

二、函数的定义与反函数的问题

例6、(1)下列函数/'(才)与g(x)是否为同一函数

1)f(x)=/gf与gQ)=21gx

2)/(%)=%与g(x)=±~

X

3)/(*)=%与80)=4^

x+l,xe(-1.0)

4)/(x)=<与80)=尸(幻

x-l,xe(0.1)

(2)函数y=ar+。与它的反函数是同一函数，则系数。涉满足条件()

A、a=1,Z?=0B、a=—l,b=0

C、a=±1,Z?=0D、a=l,b=OWctz=—1,/?GR

(3)已知函数/(九)=士3"的图象关于直线y=x对称，求实数加；

2%+777

(4)证明函数丁=三°(。。1)的图象关于直线片x对称。

ax-1

例7、(1)求下列函数的反函数：

1)y=2"+3,(尢£H-—1)

x-\

2)y=x34-1,(XGR)

3)y=Jx+l,(x>0)变式：y=A/4-x12,(-2<x<0)

4)y=x2-4x+5,(x<2)

-10-

5)y=,,{x<—2)

VX2-4

6)/(x)=«XL(X-0)变式：f(x)=xIx|+2x

2x-l,(x<0)

(2)设函数y=/(x)满足/(工-1)=%2-2x+3,求/''(x+l)；

(3)设/(x)=4A-2V+I,则f-'(0)=0

例8、(1)若函数f(x)的图象经过点(0,-1),则函数F(x+4)的反函数图象必经过()

A、(-1,-4)B、(0、-1)C、(-4、-1)D、(1、-4)

(2)若函数/(>)=〃+%的图象经过(1、7),又其反函数/T(X)的图象经过点(4、0),

则函数f(X)的表达式为o

例9、(1)已知函数/(x)=(三4)2的定义域是[I、+8],求其反函数的定义域；

x+1

(2)若函数y=/(x)(定义域为D,值域为A),有反函数y=/T(x),则方程/(幻=0有

解x=a,且f(x)>x(xeD),的充要条件是y=f''(x)满足。

例10、己知王是方程x+lgx=27的解，龙2是方程10*=27的解，求玉+占的值。

例11、已知函数/(x)=x^-x3,

(1)判断这个函数是否存在反函数，如果存在，求出其反函数；

(2)f(x)如果存在反函数，那么反函数/T(X)的图象是否经过点(0、1),是否与直线y=x

相交点；

(3)/(用存在反函数时，求/T(X)W0的解集。

第六讲函数的解析式

例1、己知八幻=川则-/(无)=______________。

xh

例2、已知二次函数满足/(3%+1)=9/—6%+5,求/(尤)

x211

例3、⑴已知函数/(x)=-——r,则/(1)+/⑵+/(-)+/(3)+/(-)+/(4)+

14-x23

/(-)=(2002年全国高考)

-11-

⑵设函数/(X)=/(2)馆》+1,则/(10)的值为(

⑶已知/(幻=<

例4、(1)已知/(%+—)=%2+—，求/(X)

XX

(2)已知/(%)+2/(-%)=x2+》+1求/'(0

⑶设/(x)满足/Xx)-2/(2)=羽求/(幻

变式：已知2/(X2)+/(—)=x且x>0,则/")=

例5、(1)已知二次函数y=/(x)的最大值等于13,且/(3)=/(-1)=5,求/(幻的解析式。

(2)已知/(x)是一次函数且/⑴=1,f[f(2)]=2f-'(4),求/(x)的解析式。

(3)设二次函数/(x)满足/(尤-2)=/(-%一2),且图象在y轴上的截距为1,被x轴截

得的线段长为2后，求/(尤)的解析式。

例6、⑴函数/(x)是一个偶函数，g(无)是一个奇函数，且/(无)+g(x)=」一则/(幻=()

(2)定义在(-巴+8)上的任意函数/(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数力。)

的和，如果/(X)=lg(10'+1),X£(—°°,+8)则()

A、g(x)=x,h(x)=lg(10v+10-A4-2),

B、^(x)=1[lg(10v+l)+x],/?(x)=^[lg(10'+l)-x]

xx

c、g(x)=-,h(x)=lg(10'+1)-y

xx

D、g(x)=--,h(x)=lg(10A4-1)+—(1994年全国高考)

-12-

例7、(1)在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买

1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是()

A^820元B、840元C、860元D、880元

(2)从盛满20升纯酒精的容器里倒出一升，然后用水填满，在倒出一升混和溶液后又用水填

满，这样继续进行，如果到倒第人次(k?l)时共倒出纯酒精无升，设倒到第左+1次时共倒出

纯酒精f(x)升，求函数f(x)的表达式。

(3)用长为/的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框架

围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域。

(4)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分

不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额税率

不超过500元的部分5%

超过500元至2000元的部分10%

超过2000元至5000元的部分15%

・・・・・・

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

(A)800~900元(B)9001200元

(C)1200~1500元(D)1500~2800元(2000年全国高考)

(5)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价

与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线

段表示。(2000年全国高考)

(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=/(f)；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(f)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最

大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/10?kg,时间单位：天)

(6)见高考三人行P33例5。

例8、(1)若函数/(幻定义域为N*,S.f(x+y)^/(x)+f(y)+xy,/⑴=1,求/(尤)

-13-

⑵已知m+y)")/y)J(D=2,则瑞+端+…得泮.

(3)已知函数/(x)对任意xeR均满足/(%1-x2)=/(%))+/(x2),且

/(8)=3,则/(忘)=«

第七讲函数的定义域

☆1、常见基本函数的定义域：

①分式函数，分母不等于零；

②偶次根式函数，被开方数20；

③一次，二次函数的定义域为R,无。中的底数XH0；

④对数函数的定义域，｛x\x＞0｝

一TT

⑤正切函数的定义域，R,且X。Z卜

2

⑥余切函数的定义域，｛x|xeR,且k兀,kez］

2、复合函数的定义域。

3、求实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变

量的制约。

4、求函数的定义域通常通过求不等式(组)的解集得到，函数的定义域必须用集合或区间表示。

例1、求下列函数的定义域

(2)y=+(5x—4)°

lg(4x+3)

(3)y=也5-/+igcosx

(4)y=lg(6!A一女。“)(。＞0,。＞0且。工1,。工1,攵£R)

例2、(1)已知y=/(x)的定义域是［0,2］则g(x)="厂)的定义域是

l+lg(x+l)

(2)已知/(一一3)=lg-J,则/(x)的定义域是_______

x-6

(3)已知y=/(2")的定义域为[-1,1],则y=/(log2x)的定义域是

-14-

(4)己知/G)的定义域是[0,1],则函数/(x+a)+/(x—a)(O<a<g)的定义

域o

(5)设函数y=/(lg(x+l))的定义域是[0,9],求/(x)的定义域。

(6)若函数/(3%-1)的定义域是[0,1],则/(x+1)的定义域是o

1L

例3、(1)求函数y=/(a>0),且aH1)定义域。

Jl-log“(x+a)

(2)已知函数/(x)=log(I(a'-1)(«>O,aH1)求出它的定义域。

(3)已知函数/(x)=log,』log“(log“x)](a>0且aH1),求它的定义域。

例4、已知/己)=lg(ax2+2x+1),

(1)若函数/(x)的定义域为H,求实数a的取值范围。

(2)若函数/(x)的值域为R,求实数a的取值范围。

例5、(1)求函数y=sinxcosx+sinx+cosx+2的值域。

(2)求函数y=2x+J3x—1的值域。

(3)若方程5"|—a-5*=a+3有负根，求实数a取值范围。

(4)若方程lg(ax)」g(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。

(5)求函数/(x)=4、+47-0(2*+数*)的值域。

(6)若方程9、+(4+。)・3*+4=0有解，求实数a有取值范围。

例6、(1)在AABC中，BC=2,AB+AC=3.中线AO的长为y,若以A3的长x为建立y与

x的函数关系，指出其定义域。

(2)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政

府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8WxW14

时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：

P=1000(x+1-8)(x>8,/>0),。=500也0-(x-8/(8WxW14).

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。

(I)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

-15-

(II)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？(95年全国

高考)

第八讲函数的值域

☆知识点归纳：

1、函数的值域是函数的三大要素之一，它由定义域和对应法则所确定，又与函数的值域是函数

值的集合，因此，函数的值域一定要用集合或区间的形式表示。

2、求函数值域常用的方法有：①直接法；②配方法；③换元法；④利用函数的性质(如函数的

单调性、最值、有界性等)⑤判别式法；(★注意a(y)=0时求得的x的值是否在函数的定义域

内★)；⑥利用基本不等式J,；.2与，

必之丁工了；⑦数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数

+

ab

的值域；⑧反函数法(或称反表示法)。

3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域。

例1、求下列函数的值域。

(1)y=Jx-l+y/x+l(x>1)

(2)y=ylx2+6x+10

/)、2x4-3.2、,ax+b.八d、

(4)y=-——-(x^-)引申：y=-----——)

3元-23cx+ac

(5)y-x-Jl-2x

(6)y=log](-2/+5x+3)

y=JX+1—y/x—i

2cosx+1sinx+1

变式：y=

3cosx-2cosx+2

(10)y—J+2x+2+J厂-2x+2

-16-

2v(x<0)

例2、已知/(x)={g(OWxWl),求/""(a)]}(“<0)

log]x(x>1)

13

例3、(1)若函数y=—_?9一%+三定义域和值域都是[1,巾，(人>1)求匕的值。

22

(2)已知函数/(尤)=2asin2x-2j^asinx+a+b的定义域是0,y,值域是[-5,1],

求实数a,b的值。

例4、己知函数y=y/mx12-6mx+m+S的定义域为R

(1)求实数〃？的取值范围。

(2)当机变化时，若y的最小值为/(〃。，求/(〃?)的值域。

例5、已知函数/(x)=o?一,满足一44/⑴〈一1,一14/(2)<5,求/(3)的最大和最值。

例6、设/0)=/一4》一4,尤e[r,f+l]QeR),求函数/(尤)的最小值g")的解析式。

例7、已知函数/(x)=1-2ax-a2x(a>1)

(1)求函数/(x)的值域。

(2)若xe[-2,1]时，函数的最小值为-7,求a及函数f(x)的最大值。

例8、⑴已知函数/(幻=2,-1江(幻=1一无2,构造函数/3的定义如下：当/(尤)%(幻时,

F(x)=|/(x)|)当|/(x)<|g(x)时，F(x)=-g(x),那么/(x)()

A、有最小值0,无最大值B、有最小值、一1,无最大值

C、有最大值1,无最小值D无最小值，也无最大值

(2)如果实数尤,y满足等式(x—2)2+/=3,那么上的最大值是()

X

1V35/3/T

A、一B、一C、——D、V3

232

例9、已知函数/(%)=》2+》+3的定义域是[〃,〃+1],〃€N*求/(X)的值域中共有的整数的

个数。

例10、函数/(〃)(〃€7\0,当〃=1时/(〃+1)+/(〃)=3,当〃是偶数时，/(n+1)

-17-

—/(〃)=3,〃是奇数时，/'(〃+1)—/(〃)=一1。

⑴求/(1"6)；

⑵求/(〃)

例11、对于函数/(x)=ox2+灰+。(。。0)作代换》=8«),则不改变函数/(x)的值域的代换

是()(2002年•黄冈市高三质量检测)

A、g⑺=2'B、g(f)=WC、g(”=sinfDg(r)=log2r

例12、购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月须交的固定费)50元，在市内

通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州卡”，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时

每分钟话费为0.60元。若某用户每月手机费预算为120元，则他购买哪种卡合算？(2002年•襄

樊市高中调研测试)

例13、已知/(x)=sin?2(a-l)sinxcosx+5cos2x+2-a,若对于任意的实数x恒有

|/(幻|<6成立，求a的取值范围。(2002年•湖北省八校联考)

第九讲函数的单调性

一、函数单调性问题的证明(直接利用定义去证明)

例1、证明/(幻=一/+1在(-8,+8)上是减函数。(全国高考)

✓7Y,

例2、证明函数=F—,(a>0)在(一1,1)上是减函数

x-1

例3、(1)设/(x)为奇函数，/(x)在5力)上为增函数，则/(x)在/(一七―①上也是增函数;

(2)设/(x)为偶函数，/(x)在(a,/?)上为增函数/(x)在/(-d-a)上为减函数

结论：奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的增减性而偶函数在这两个区间上增减性相

反。

二、求函数的单调性

1、利用定义(结合导数法)

Z7Y

例4、己知函数/")=——(tz>0),试确定/(x)的单调区间

1-Xr

例5、讨论函数/(幻=兀+且(“>0)的单调性

X

b

引申：1、讨论函数/(幻二如+—(〃>0力>0)的单调性；

x

2、函数尤+色(〃>0)与函数％—>0)的图像。

XX

-18-

例6、设函数/(幻=42+1-4尤其中。＞0。

(1)解不等式/(x)W1；

(2)证明：当“21时，函数/(x)在区间［0,+8)上是单调函数。(广东高考)

2、利用已知函数的单调性

例7、判断函数y=^~的单调性

例8、已知/(x)=log“(a*—1)(。＞0,且aH1)

①求/(x)的定义域；

②确定函数的单调区间。

例9、设/(幻g(x)都是单调函数，有如下四个命题:

①若/(幻单调递增,g(x)单调递增，则/(x)-g(x)单调递增。

②若/(幻单调递增,g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增。

③若/(X)单调递减，g(x)单调递增，则/(x)-g(x)单调递减。

④若/(X)单调递减，g(尤)单调递减，则/(x)-g(x)单调递减。

A、①③B、①④C、②③D、②④(2001年全国高考)

3、利用函数的图象

例10、函数y=lg|x|,下面判断正确的是()

A、是偶函数，在区间(-8,0)上单调递增

B、是偶函数，在区间(-8,0)上单调递减

C、是偶函数，在区间(0,+8)上单调递增

D、是偶函数，在区间(0,8)上单调递减(2000春季高考)

例11、设函数/意)=±工2(。＞。＞0),求/(x)的单调区间，并证明了(x)在其单调区间上的单

x+h