920.几何不等式-奥数精讲与测试(9年级)

23nPb222c223nPb222c2知识点、重点、点所谓几何不等式指不等关系现在几何问题中，它将几的论证与不等式的技巧机结合在一，其综合性与度都较高。有关几何不等关的性质和定如下：三角形两边之和于第三边，边之差小于第边。三角形的外角大任一不相邻角。同一三角形中大对大边，大对大角。两点之间直线段短。两边对应相等的个三角形中所夹的角越大则第三边越。两边对相等的两个三角中，第三边大，则它所对角越大。直角三形的斜边大于任直角边。同圆或等圆中，长越长，所的圆心角以及周角越大。同圆或等圆中，径大于任何条非直径的弦可以看到，几何等式的基础多数源于三角中，所以三形中的不等式是占绝大数的，而很包括四边形、的问题都可化为三角形中的不等关系，此三角形中各种不等式是们讨论的一重点。

BAM此=△中MB'＋MCB'CMB＋＞B'C＋ACAB＋AC．例2知凸四边形ABCD中BD于eq\o\ac(△,，)AOB的积为，△COD的积为A，凸四边形面积为A求证：AAA2分析利用高的两个三角形的而积等于对应底的比，由比把四个三角面积联系起来。证明设,SA.因为S与S有等高，所以4ODSOBAA.同理，即AAAA又因为SODD(A)A44412AAAAAAA，(A)31要注意到，很多何不等式实上是代数不等，还有相当部分几何不等式的证明程中用到了典的代数不等，其中最常到的是均值不等式和柯西不式。

两边开方得AA2说明此用到了不等式的放大用公式

(a22.柯西不等式：设x,x,y,y,y2n则(2y)yy21n12nx当且仅当i（为常数，in时，等号成。yix均值不等式：设,0,则1xx.n1n例1已知AD△ABC∠的平分线，A作直线⊥AD，是PQ上任一点，求证＋MC>＋AC.分析欲MB＋MC＋AC，如能适当进行变换将MCABAC集中到一个三角内题就好解决了为⊥，则PQ平分∠的角BACPQ为将△AMB翻转180AB将在AF上设B的应点为B'，MB落'位，在△MB'C中证得本结论。证明如所示延线取AB'AB为⊥而平∠所平∠，所以∠=∠BAM.又AM=AM所以△B'AM≌

例：如图，设为ABC内一点，且∠AOB=BOC=COA=°，P为任意一点（不）求证：PA＋＋＞OA＋OB＋.证明如，eq\o\ac(△,过)ABC的顶点A、B、C分引OAOB、OC的线，设三条垂线的交为、、-考四边形AOBC为=OBC111°，=120，所60°同理，°，所以BC为三角。设P到11C三边C、A距离分别为111h、，且B的边长为a，高为h.由等式23111SShhCPBCA1h，所以h.这明正B内一点到边距离c1122222222和等于的h这是一个定值，以OA＋＋OC==定值，显11然PA＋PB＋>到，三距离和，所以PA＋＋PC＞h=11＋OB＋OC说明这费马点问题。由这个结论可知点具有如性质：它到角形三个顶点距离和小于其他点到三角顶点的距离，这个点叫费点。例：如图，AH、ADAM分是△ABC中的、角平分线中线，且AD分∠HAM，求证：AD<AMAH.分析在要证的不等式中的三条线段法换中的一条果AH或AM换稍短一些线段，或把段换成稍长一些的线段，不等式成为等式，问就可归结为等式的证明。此，可如图338作∠AMD或∠ADF=∠也如图340341作∠AHG∠ADM或∠=∠

证法类似证法三，如图在的延长线上取一点，∠=∠AHD类似地可AD·=AMAH，进而<AMAH说明对不可能有等号出现的不等式本题的证明方法具有一定代性。另外在本题的证中，并没有接用到AHAD是的、角平分线和中线的条，实际我们需要是HAM的平分线的条件就了。例5试证：三角形任一点到三点距离之和不小此点到三边距离之和的2。图，求证PA＋＋PC≥（＋＋PF）．证明如，过点作线MN分别与AB交点MN，并使得∠∠ACB，∠ANM=∠因为S，所以MNAM1MPPFANP2

MN

，

.MN

根据直线MN的法，△AMN△ACB，故AMCAANAB,MNBCMN

因此

P

AAB理可得BBC

BC,FCA证法如图，∠是ADM的外角，所以∠ADH>∠AMD于是可在∠内，作∠ADE=∠AMD交AH于E.于AD平∠HAM，以△∽从而：ADAD：AE注意到AE<，便AD＜AM·.证法类似于法一，如图339在AM上一点，∠ADF∠.同样△∽△，进而知AD<·AH证法如图，AD的长上取一点G，∠AHG∠ADM从证

CA,PE将述三式相加ABCAABBC()PD).当a时，ABABBC1a2,因上式变成PA＋＋PC≥（＋＋PF）．a说明这厄尔多斯-莫代尔不等。AD·AG=·AH，进而知

AD

2

<AM·.

例6图面上有n点、A„AP中AA„n12n都不在PQ上PAPAQAQA为2nn线段的点。12n212n2求证：

MAMA12n

S2

.分析连、，将问题转化为三形ii问题，这样得到有公共底PQ的角形，

一、填空题

A卷那么AM就这n个角形的中线，因此将i延长至G，GAM(i2„iiii)．证明由条件知A、MA是这n个角形的中线，对于，长M至，使MAM连1111G，则GMA．因为AGQ,所以11AQQAQA2AM即AM同理111M,QP相nnAQAPQAP)2(AMAM).122n1n1所以MAMAAQA1n1

在坐标系中点(－2，－与点，－之间最短线是，度是。在坐标系中，点(，6)到x轴y轴最近距离别是。设>0，则三正数2、x、＋构三角形三边的条件是，成直三角形、锐角三角形钝角三角形的的取值范分别是，，。在直角坐标系中定点A－2、，－，动点在x轴上，则＋的小值是，PA的最大是。在两个三角形中如果有两组应边分别相等那么夹角较的其对边。在同底等高的三形中，以的长最短．过圆内某点的所弦长中长度短的叫这点的极弦圆内某点的极小弦与该圆过该点半径，且弦长被该。)2n

S2

.

⊙O的径是，⊙O外一点P，使PO，Q是上动点，则PQ的值范围是。边长为2的方形的顶点A到内切圆上的最远距离是距离是。，面积为边长为正形面积为S，长为b正形面积为S的正方形的边长与的术平均值，则与2的大小关系2是。二、解答题11.、b直角三角形的条直角边c为边h为边上的高求证：＋bc＋.abab12.对于各边都不大于凸六边形ABCDEF求证：它对角边AD、CF中少有一条不大于2.

角形的个数是。在四边形ABCD中AB=，AD≠，N分是ADBC的点，则与的大关系是。若延长三角形的大边AC至D，=，∠ABC的围是。已知抛线

y

x

与x轴于BC两点D平BC若在x轴上方的A点抛物线上的动点，且为锐角，则的取值围是。13.已知三角形的一边是另一边的倍证最边是在它的周长的1与之间。4

16

8.设a、、c为角ABC的三边长，hU=的值范围。a

、hhb

为对应边上的高则14.如图，在△中，∠<∠，MBC的中点，为AM任一。若=．证，PE>．

在等腰△中是边AB上的高，E是中，AECD交点F，给出三条路线：A→→→→BD→A；A→→→→D→→；A→D→→→→→.它们的长度分别为（a（b（c则（a<（b，L（a＜L（c，L（b＜L（）中一定能成立是。10.个正三角形内接一个半径为的⊙O，设它们的共面积为，则与

R

的大小关系是。二、解答题在锐角三角形中，三边的长分别为

a、、，这三边对应的高分别为一、填空题

B卷

、hhb

，求证：

().ab在一条直线l顺次取定ABCD，使＋＋＋最的点位置是在。在直线l两各一定点B，直l上有一动点P，则使＋PB最的点P位是。在直线l的侧各取一点、，≠l，则l上使PA最的点位置是。在各边不相等的角形的周长于，且各边长都是整数，则这样三12.已知、、c均正数，若Ma2bc求证：≥N．

,a)

意一点SPPPP使S最点应在。2在△ABC，=2AC，则长与比的取范围为。四边形中AB=7，=4，CD，AD的值范围是。PC设点eq\o\ac(△,是)ABC内一点，则的取值围是。CA13.如图，在△中M为BC边的中线求证：ACBCACAB22

已eq\o\ac(△,知)ABC>ACCF分是AC边的中线，则与BE的小关系是。以、＋4＋6组钝三角形，则x的值围是。已eq\o\ac(△,知)ABC中AB>AC，为线，P为内一点，则与PC的大小关系是。三角形中较大角平分线较角的平分（“＞“＜．二、解答题已知为边长为1的等边三角形ABC内任意一点，求证：32

PAPBPC2.14.设CD同一直上依次排列四个点P为线任意一点。若，证：PA＋PD>PB＋

12.等腰三角形中=，中点，为△内一点，连结A