2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷

1.当x=0时，点P（x,y）一定在（）

A.x轴B.y轴C.坐标原点D.第一象限

3.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

笛卡尔心形线

科克曲线

4.下列几个常见统计量中能够反映一组数据变化范围大小的是（）

A.方差B.中位数C.众数D.极差

5.方程z2一久+1=0的根的情况是（）

A.有两个相等实数根B.有两个不相等实数根

C.没有实数根D.无法判断

6.如图，nABC。的对角线AC、BD交于点、O,△AOB是等边二

角形，AB=2,贝gABCO的面积为（）

A.4V3B.4V2C.3V3D.8

7.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所

中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（）

A.S.VS；,x甲=x乙B.S'=S],x甲＞乂乙

C.s%>s?乙,x甲-x乙D.S'=S1x甲<x乙

8.如图，匀速地向该容器内注水（单位时间内注水体积相同），在注满

水的过程中，满足容器中水面的高度y与时间x之间函数关系的图

象可能是（）

A.

B.

C.

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9.函数y=隗的自变量x的取值范围是.

10.方程/一2%-3=0的解是.

11.已知一个多边形的每一个外角都等于72。，则这个多边形的边数是.

12.关于x的一元二次方程(3-机)/-2x+1=0有两个不相等的实数根，则机的取

值范围为.

次方程是.

14.画一个任意四边形ABCZ),顺次连接各边中点E、F、G、4,所得到的新四边形EFGH

称为中点四边形.当原四边形ABC。满足时，中点四边形EFGH为菱形.

15.一次函数的图象经过点(2,-1),且与两坐标轴围成等腰三角形，则此函数的表达式

为.

16.已知：直线y=-x+l与x轴、y轴分别交于点A、点B,当点尸在直线A8上运动

时，平面内存在点Q,使得以点。、P、8、。为顶点的四边形是菱形，请你写出所

有满足条件的点Q的坐标.

17.一次函数旷=心:+”忆70)与)，轴交点纵坐标为一3,与x轴交点的横坐标为一1.

(1)在坐标系中画出一次函数y=kx+b(k#0)的图象：

(2)结合图象解答下列问题：

①当x>0时，y的取值范围是；

②当一3<y<0时，x的取值范围是.

18.解方程：

(l)x2=5x；

(2)2--4x+1=0(用配方法).

19.如图，nABCO中，点、E,尸分别在边48,CD上,B.BE=DF,连结AF,CE.

求证：AF=CE.

20.尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.

已知：如图1所示，直线/及直线外一点P.

求作：直线/的垂线PC.

作法：(1)如图2,在直线/上选取点A,连接PA；

(2)以点P为圆心，线段PA的长为半径作弧，此孤与直线/交于点以不与点A重合

)；

(3)分别以，点A、点B为圆心，以线段PA的长为半径画弧，两弧在直线/下方交

于点c；

(4)作直线PC；则直线PC就是所求作的直线1的垂线.

图1图2

①请你根据作法用尺规将图2补全，保留作图痕迹；

②补全以下证明过程：连接PB、AC、BC,由题意可知04=PB=C4=CB,

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四边形PACB是形().

PC1AB().

即直线PC1I.

21.已知：如图，平行四边形48。中，。为对角线AC、8。的交点，BO平分N4BC.在

0A上截取OE=OD,在0C上截取0F=0D.连结£>E、EB、BF、FD.

(1)求证：oABCO是菱形.

(2)判断四边形BFQE的形状并证明.

22.下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种，完成证明.

23.已知关于x的一元二次方程/+nix+n=0.

(1)当71=771-3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由.

(2)若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的机，〃的值，并求此时方

程的根.

24.在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=kx+b(/cK0)的图象由函数y=x的图象

平移得到，且经过点(1,2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m*0)的值大于一次函数y=kx+

b的值，直接写出机的取值范围.

25.居家学习期间，为提高学生的身体素质，某中学开展了以“运动战疫情，跳出我青

春”为主题的线上跳绳比赛，同学们通过拍摄视频的方式记录下1分钟内的跳绳个

数.该学校共有400名同学参加了本次活动，我们从中随机抽取了40名同学的1

分钟跳绳个数作为成绩数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信

息.

a.40名同学1分钟跳绳成绩的频数分布表和频数分布直方图如图；

40名同学1分钟跳绳成绩的频数分布表(表1)

跳绳成绩式个)频数频率

60<%<8020.05

80<x<10080.20

100<x<120m0.15

120<%<14080.20

140<%<160nk

160<x<18060.15

180<%<20060.15

合计401.00

。40名同学1分钟跳绳成绩在120<x<140这一组的数据如表(表2)所示:

跳绳成绩(个)120125128135

频数3212

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表1中m的值为；k的值为.

(2)补全该校40名学生1分钟跳绳成绩频数分布直方图.

(3)样本数据的中位数是.

(4)学校准备对1分钟跳绳成绩“不少于180个”以上的同学进行表彰，通过分析

样本数据，估计400名参与者中可获得表彰的有名.

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40名同学1分钟跳绳成绩的

(1)求k的值；

(2)过点A作x轴的平行线/,直线y=2x+b与直线/交于点8,与函数y=—kx+3

的图象交于点C,与x轴交于点。.当点BD=2BC时，求6的值.

27.矩形A8C£＞中，点M是对角线BD上的一个动点(点M不与点B,。重合)，分别过

点B,。向射线AM作垂线，垂足分别为点E,几点。为8。的中点.

(1)如图1,当点M与点。重合时，请你判断OE与。尸的数量关系，并加以证明；

(2)当点〃运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断(1)中的结论是

否仍然成立，若成立.加以证明，若不成立，说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于A,B两点给出如下定义：若点A到x、y轴的距离

中的最大值等于点B到x、y轴的距离中的最大值，则称A,B两点为“同值点”.

例如，图中的A,8两点即为“同值点”.

(1)已知点P的坐标为(-2,3),

①在点C(3,-5),。(0,2),E(—3,1)中，是点尸的“同值点”的有；

②若点。在直线y=%-5上，且尸,。两点为“同值点”，则点Q的坐标为；

(2)若用2(2,62)是直线&y=kx+l(k<0)上的两点，且与为

“同值点”，求&的值.

y八

-.....................A

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:当x=0时，点P(x,y)一定在y轴.

故选：B.

直接利用坐标轴上点的坐标特点得出答案.

此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：由图可知：

4)，的值随x的增大而增大，故本选项符合题意；

B.y的值随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

C.在第四象限部分，y的值随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

D图象第二象限和第四象限的部分图象)，的值随x的增大而减小，故本选项不符合题意:

故选：A.

观察图象，由函数的性质可以解答.

本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙

述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小.

3.【答案】C

【解析】解：4不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

4.【答案】D

【解析】解：由于极差是描述一组数据离散程度的统计量，极差越大，波动范围就越大.

故选：D.

极差是数据中最大值与最小值的差，是描述一组数据离散程度的统计量；故是四个选项

中最直观衡量一组数据波动的统计量.

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数

据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量

进行合理的选择和恰当的运用.

5.【答案】C

【解析】解：在久2一%+1=0中，

4=(-1)2-4xlxl=l-4=-3<0,

x2-x+1=0没有实数解，

故选：C.

计算一元二次方程根的判别式，由判别式符号即可得到答案.

本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式.

6.【答案】A

【解析】解：•.•四边形A8C。是平行四边形，AAOB是等边三角形，

:.0A=OB=0C=0D,

即：AC=BDf

••・平行四边形ABCO是矩形.

"AB=2,

在RtAABC中，由题意可知，AC=4,贝lj8C=2百，

.••平行四边形ABCD的面积S=2x2V3=4痘.

故选：A.

平行四边形48CZ),再加上对角线相等可证明是矩形，矩形面积的计算，底边长乘以高

代入数值即可.

本题考查了平行四边形的性质，重点掌握矩形的判定定理.会求矩形的面积.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可知尹=|x(60+70+70+60+80)=68,xz=|x(70+80+

80+70+90)=78,

•••x甲<xz，

由折线统计图可得Si=S；,

故选：D.

根据算术平均数和方差的定义解答即可.

本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，

故注水过程的水面的高度增加的速度是先慢后快，故选项8符合题意，

故选：B.

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根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水水面的高度增加的

速度是先慢后快.

本题主要考查函数图象的知识，解决本题的关键是根据y随x的变化情况判断相应的函

数图象.

9.【答‘案】x丰—3

【解析】解：根据题意，有x+3力0,

解可得久H—3；

故自变量x的取值范围是X。—3.

故答案为：x丰—3.

根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式4+3*0,解可得自变

量x的取值范围.

本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0.

10.【答案】xt=3,%2~~~1

【解析】解：方程/一2%-3=0左边因式分解，得

(%—3)(x+1)=0

解得—3,x2——1.

先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0.”进行

求解.

本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法,

公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解

法.

11.【答案】5

【解析】解：边数n=360。+72°=5.

故答案为：5.

用多边形的外角和360。除以72。即可.

本题考查了多边形的外角和等于360。，是基础题，比较简单.

12.【答案】m>2且m。3

【解析】解：根据题意得3—mM0且4=(-2)2-4(3-m)x1>0,

解得m>2且m丰3.

所以m的取值范围为Tn>2且m丰3.

故答案为：m>2且m。3.

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到3—mK0且4=(—2)2—4(3-m)x

1>0,然后求出两不等式解集的公共部分即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax?+bx+c=0(a*0)的根与4=b2-4ac有

如下关系：当』>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实

数根；当/<0时，方程无实数根.也考查了一元二次方程的定义.

13.【答案】(190-2x)(170-x)=29700

【解析】解：,••隔离带的宽度均为xcm,

无隔离带区域(空白部分)可合成长为(190-2x)cm,宽为(170-x)c?n的矩形，

依题意得:(190-2x)(170一x)=29700.

故答案为：(190-2x)(170-x)=29700.

由隔离带的宽度可得出无隔离带区域(空白部分)可合成长为(190-2x)cm,宽为(170-

x)cm的矩形，根据无隔离带区域(空白部分)的面积为29700cm2,即可得出关于x的一

元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键.

14.【答案】AC=BD

【解析】解：连接AC、BD,

•••点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、D4边的中点，

•••EH//BD,FG//BD,EH=^BD,EF=^AC,

EH//FG,

同理EF〃//G,

•••四边形EFGH都是平行四边形，

当对角线AC=BD时，EH=EF,

四边形4BCD的中点四边形是菱形.

故当原四边形ABCQ满足4c=BD时，中点四边形EFGH为菱形.

故答案为：AC=BD.

连接AC、BD,根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相

等的平行四边形是菱形证明.

本题主要考查菱形的判定，中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念，菱形的判定定

理是解题的关键.

15.【答案】y=x-3或y=-x+1

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【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b,

■:一次函数的图象经过点(2,-1),

-1=2k+b,

:.b=-1—2k,

・•・y=依一1—2k,

令x=0,则y=-1-2fc；

令y=0,则％=今匚，

・・・与两坐标轴围成等腰三角形，

|誓|=I-1-2刈，且一l-2k#0,

解得k=1或k=—1,

・•・此函数的表达式为y=x-3或y=-％+1,

故答案为：y=%-3或y=-x+1.

由一次函数的图象经过点(2,-1),即可得出一次函数为y=kx—l-2/c,求得与坐标轴

的交点，即可得到关于k的绝对值方程，解方程求得人的值，从而求得一次函数的解析

式.

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角

形的性质等，根据题意得到关于k的方程是解题的关键.

解得X=

6(埼，

此时Q点与P点关于y轴对称，Q(一表》：

②当08为边，PB=8。时，贝叩82=8。2,

即/+(-%+1-1产=12,

解得匕=合或%2=-手

64,1一岁或(_今1+争,

此时PQ//OB,PQ=OB,

•••Q（今-当或（一日净:

③当OB为边，PO=B。时，则。。2=8。2,

即/+（_尤+1）2=12,

解得%3=1，X4—0（舍去），

AP（l,0）,

此时PQ〃OB,PQ=0B,

综上，符合条件的Q点的坐标为（一沾或除一斗或（一¥净或（1,1）.

故答案为：（-：,｝或（乎,-'）或（-当，当或（1,1）.

分三种情况讨论，设P（x,-X+1）,根据菱形的性质得到关于X的方程，解方程求得P

的坐标，进而求得。的坐标.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，菱形的性质，分类讨论是

解题的关键.

17.【答案】y<-3-l<x<0

【解析】解：（1）一次函数丫=卜％+6（卜羊0）的图象如下：

②当一3<y<0时，x的取值范围是一1<无<0.

故答案为：-1cx<0.

（1）根据题意描出坐标轴上的点，即可画出一次函数y=kx+b（kr0）的图象；

（2）结合图象解答即可.

本题主要考查了一次函数图象上的点的特征，正确画出函数图象是解答本题的关键.

18.【答案】解:⑴炉=5%；

移项得，x2-5x=0,

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因式分解得，%(%—5)=0,

解得，%i=0,%2—5；

(2)2x2-4%+1=0,

移项得，2/-4%=一1,

二次项系数化为1得，X2-2x=

配方得，(％-I)2=

开方得，%-1=±y,

所以,Xi=1+y>x2=1-y-

【解析】(1)移项使方程的右边是0,左边可以提取公因式X,因而可以利用因式分解法

求解：

(2)首先把常数项移到方程的右边，并且将二次项系数化为1,再两边同时加上一次项系

数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，然后利用开平方法即可求解.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的

关键.

19.【答案】证明：voABCD,

:.AD=BC,Z-D—乙B,

在尸和ACBE中，

AD=BC

Z.D=(B,

BE=DF

丝△CBE(S/S),

:.AF=CE.

【解析】根据平行四边形的性质得出4。=BC,AD=乙B,进而利用全等三角形的判定

和性质解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AC=BC,ZD=48解

答.

20.【答案】菱四边相等的四边形是菱形菱形的对角线互相垂直

【解析】①解：如图，直线PC即为所求;

②证明：连接PB、AC、BC,由题意可知PA=PB=CA=CB,

四边形PACB是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

•••PC148（菱形的对角线互相垂直）.

即直线PC11.

故答案为：菱，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直.

①根据要求作出图形即可；

②利用菱形的性质证明即可.

本题考查作图-基本作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握菱

形的判定方法，属于中考常考题型.

21.【答案】证明：（1）在平行四边形A8CD中，有4B//CD,

•••Z.ABD=Z.BDC,

■：BD平分

•••4ABD=/.DBC,

■■Z.BDC=Z.DBC,

•••CD—CB,

.的ABCD为菱形.

（2）四边形BFDE为正方形.

证明：「DABC。为菱形，

.-.AC1BDSLOD=OB,

vOE=OD,OF=OD,

OBE,△OBF,△ODF,△OOE都是全等的等腰直角三角形，

••・四边形BFDE为正方形.

【解析】（1）利用菱形的定义证明.

（2）利用对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

本题考查了特殊四边形的判定，掌握特殊四边形的本质区别是证明题的关键.

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22.【答案】证明：方法一：：。、E分别是AB、4C的中点，

:.AD=BD,AE—CE，

在△4DE与中，

AE=CE

^AED=(CEF,

DE=EF

•••△40EgZkCFE(S4S),

:.Z-ADE=zF,AD—CF,

/.CF//AB,CF=BD,

••・四边形BCFD是平行四边形，

:,DF=BC,DF//BC,

DE=-2D2F=-BC；

方法二：,：D、E分别是AB、AC的中点，

:.AD=BD,AE=CE,

vCF//AB,

・•・Z.ADE=zF,

在△ADE与△"£*中，

Z-AED=Z.CEF

Z.ADE=ZF,

AE=CE

:・>ADEQ&CFE(AAS^

/.4D=CF,DE=FE,

・・・CF=BD,

・•・四边形8C")是平行四边形，

:・DF=BC,DF//BC,

：.DE=-2DF=-2BC.

【解析】方法一：由中点可得4D=BD,AE=CE,利用SAS可证得A4DE丝△CFE,

则有〃1DE=NF,AD=CF,从而有CF〃4B,CF=BD,可判定四边形BCFZ)是平行

四边形，即有。F=BC,DF//BC,从而可求证DE=gBC；

方法二：由中点可得4。=BD,AE=CE,由平行线的性质可得NADE=4F,利用AAS

可证得△CFE,则有4。=CF,DE=FE,从而有CF=BD,可判定四边形BCFD

是平行四边形，即有DF=BC,DF//BC,从而可求证DE=1BC；

本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出正确

的辅助线.

23.【答案】解：(1)方程有两个不相等的实数根，理由如下：

vn=m—3,

222

A4=m-4n=m—4(m—3)=(m-2)+8,

1•,(m-2)2>0,

•••Z1=(m—2)2+8>0.

•••4>0,

••.方程有两个不相等的实数根；

(2)•••方程有两个相等的非零实数根，

:.A=m2—4n=0,

若m=2,n=1,方程变形为％?+2x+1=0,解得x1=x?=—1(答案不唯一).

【解析】(1)计算根的判别式的值得到/=(m-2)2+8,则可判断d>0,然后根据根

的判别式的意义判断方程根的情况；

(2)利用方程有两个相等的实数根得到/=m2-4n=0,设m=2,n=1,方程变形为

x2+2x+l=0,然后解方程即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+以+c=0(aH0)的根与d=b2-4ac有

如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实

数根；当4<0时，方程无实数根.

24.【答案】解：(1)•••一次函数y=kx+b(kH0)的图象由直线y=x平移得到,

•••k=1,

将点(1,2)代入y=x+b,

得1+b=2,解得b=l,

二一次函数的解析式为y=x+1；

(2)把点(1,2)代入y=mx求得rn=2,

,•,当x>1时，对于x的每一个值,函数y=mx(m*0)的值大于一次函数y=x+1的值,

:.m>2.

【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解

题的关键.

(1)先根据直线平移时k的值不变得出％=1,再将点4(1,2)代入y=x+b,求出6的值，

即可得到一次函数的解析式；

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(2)根据点(1,2)结合图象即可求得.

25.【答案】60.1012560

【解析】解：(1)由题意可得m=40x0.15=6,

k=l-0.05-0.20-0.15-0.20-0.15-0.15=0.10,

故答案为：6；0.10；

(2)n=40x0.10=4,

补全频数分布直方图如下：

40名同学1分钟跳绳成绩的

样本数据的中位数是上笠=125,

故答案为：［25；

(4)估计400名参与者中可获得表彰的有400x0.15=60(名)，

故答案为：60.

(1)由40名乘以100Wx<120的频率可得加的值，用1减去其它组的频率数可得%的

值；

(2)求出〃的值，根据〃八〃的值补全频数分布直方图即可；

(3)根据中位数的定义即可求解；

(4)利用样本估计总体即可求解.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息

时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.此外还利用

了样本估计总体的思想.

26.【答案】解：(1)把4(1,血)代入y=2x,得m=2x1=2,

即点A的坐标是(1,2),

把A点的坐标代入y=-/cx+3,得2=-k+3,

解得：k=l；

(2)由(1)知4(1,2),

・•・直线/：y=2,

•・•直线y=2%+b与直线I：y=2交于点B,

・・・B(芋,2),

•・•直线y=2%+b与函数y=-x+3的图象交于点C,

》,3-bb+6、

•・,直线y=2x+b与x轴交于点D.

b

-

2

过8、C分别作BE_Lx轴于E,。尸,工轴于尸，如图:

DE=2EF,

...|，_当=且―当

112'|11

2223

解得b=3或b=-3,

答：6的值是3或一3.

【解析】(1)由函数y=2%求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；

(2)用含％的式子表示8、C、力的坐标，过8、C分别作BE_Lx轴于E,CF1x轴于F,

再根据8。=2BC可得DE=