线性系统稳定性

线性系统稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第一页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT6.1稳定性概念

确保控制系统稳定是控制系统设计的前提和核心内容。一个不稳定的控制系统一般是没有使用价值的。一、系统稳定性定义

一个稳定系统定义为：输出响应有限（有界）的系统。也就是说，如果系统受到有界输入或干扰的作用，其响应的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。控制工程师所设计的控制系统必须是稳定的。系统稳定

不稳定

绝对稳定

相对稳定

临界稳定

就绝对稳定性而言，一个系统要么稳定，要么不稳定。只有绝对稳定性的系统称为稳定系统。对一个稳定系统可以用相对稳定性进一步衡量其稳定程度。第二页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、线性系统稳定的充分必要条件对一个线性系统而言，其闭环传递函数为：它的脉冲响应：显然，要想系统响应有界，其所有极点的实部必须为负。反馈系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点必须在s平面的左半平面。如果系统有任何一个极点不在左半平面，都称系统不稳定。如果有一对共轭根在虚轴（jω轴）上，其它根都在左半平面，则系统在有界输入作用下，其稳态输出将保持等幅振荡，只有输入为正弦波且频率为虚根的幅值时，系统输出才无界，此时系统称为临界稳定。第三页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、判别稳定性的方法1）代数判据（Routh和Hurwits）2）根轨迹法3）Nyquist判据适用于单变量、线性、定常系统4）李雅普诺夫直接法不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统5）Matlab判别：pzmap(sys)、pole(sys)、roots(d)本章请掌握Routh判据直接方法：求解出系统特征根，从而判定。系统稳定全部特征根在s左半平面充分必要系统特征根情况稳定性判定问题：高阶方程求解困难第四页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT一、

Routh-Hurwitz稳定性判据系统特征方程：列写Routh表：6.2Routh-Hurwitz稳定性判据第五页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、

Routh-Hurwitz稳定性判据的应用

劳斯—霍尔维茨判据表明，系统特征方程中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。由此可得到：系统稳定则劳斯表中第一列元素的符号均为正或均为负；系统不稳定的根的数目等于符号变化次数。第六页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1：劳思判据判定稳定性符号改变两次，系统不稳定，且有两个正实部根>>d=[12345];>>roots(d)ans=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i第七页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2：请给出K与系统稳定性的关系解：1）系统闭环传递函数：2）闭环特征方程：3）列写劳斯表：系统稳定的K值范围：系统临界稳定时：系统不稳定时：第八页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT劳斯表第一列元素可能出现如下情况：（1）第一列元素均不为零（常规情况）；（2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其它元素不全为零。（3）劳斯表中出现全零行；（4）同（3）并在虚轴上有重根。

下面分别情况进行应用讨论第九页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT各项系数均为正数解决方法：特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零系统不稳定：有两个正实部根用无穷小正数代替零后继续运算。第十页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT解决方法：由全0行的上一行元素构成辅助方程F(s)=0，并对其求导后，用所得系数代替全0行的元素。各项系数均为正数求导得:例如：特殊情况2：某一行元素全为零注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统第十一页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT劳斯表出现全零行:系统在s平面有对称分布的根：①大小相等符号相反的实根②共轭虚根③对称于实轴的两对共轭复根第十二页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例3焊接机器人焊接头由机械臂带动，自动到达不同焊接位置。焊接头位置控制系统如图确定使系统稳定的K和a的变化范围。解：系统特征方程为：第十三页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT系统特征方程为：系统稳定充分必要条件：

系统稳定时K和a的变化范围为：Routh表：第十四页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例4某单位负反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。解依题意有系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系

按劳斯表再确定K值范围第十五页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT特殊情况3：多行元素全为零P254Routh表出现多个全零行，系统在s平面有重共轭虚根，则系统不稳定。第十六页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT6.3反馈控制系统的相对稳定性利用Routh-Hurwitz判据，通过判断系统特征方程是否有位于s右半平面的根，可以确定系统的绝对稳定性。在系统稳定的情况下，还需要知道系统稳定的程度即相对稳定性。通过了解相对稳定性，可以帮助工程师判断系统超调量或者系统的阻尼强度，以及系统的鲁棒性。相对稳定性可以用特征根的实部所确定的系统特性来定义，也可以用共轭复数根的相对阻尼系数来定义。还可以用频率特性的幅值与相位裕度来定义。这里讨论利用特征根的负实部定义的相对稳定性及其应用。方法：根平面虚轴平移jωσ1第十七页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1系统结构图如右，(1)确定使系统稳定的参数(K,x)的范围;(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解.(1)第十八页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。当x=2时，进行平移变换：第十九页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2新型电动轮椅装有非常实用的速度控制系统，框图模型如图。

时间常数τ1=0.5s,τ3=1s，

τ

4=1/4sVelocity（1）确定使系统稳定的K的取值（K=K1K2K3）;（2）当K的取值为临界稳定增益的1/3时，确定系统按2%准则的调节时间是否小于4s；（3）确定增益K的取值，使系统的调节时间等于4s，并计算此时的系统特征根。

P275，P6.8解：（1）系统特征方程为：稳定条件：得到K值范围：第二十页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（2）当K的取值为临界稳定增益的1/3时，确定出K=11.25/3=3.75。系统闭环传递函数为系统的动态响应形态由复数主导极点确定，所以Ts=4/(ζωn)。而-ζωn正是复数极点的实部，设a=ζωn。将s平面虚轴左移a，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：b=0时系统临界稳定，求得a=-0.64。即ζωn=0.64，Ts=4/0.64=6.25s，大于4s。第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（3）系统的调节时间等于4s，即Ts=4/(ζωn)=4。则ζωn=1

主导极点的实部为-1，参照（2）的方法令s=sn-1，即将虚轴左移1，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：系统临界稳定，则b=0。解得K=1.50由辅助多项式求得：系统共轭复数极点为：s=-1±j1.73容易求得另一极点s=-5第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例3火星自主漫游车的导向控制系统框图模型如图。反馈回路H(s)=Ks+1(1)确定使系统稳定的K的取值范围。（2）当s=-5为系统的一个闭环根时，计算K的值及其它闭环根。（3）对（2）求得的K，计算系统阶跃响应。解：（1）系统特征方程为：使系统稳定的K值范围：10第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（2）系统一个特征根为-5，则设系统特征方程为：与系统特征方程比较可得：系统另二根：（3）系统单位阶跃响应请同学们写出解析解第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT6.4应用Matlab研究系统稳定性介绍三个新函数Pole()、Roots()和for函数例1：第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2：第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日CollegeofAutomaticControlEn