2018年数学总复习专题10立体几何分项练习（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE43学必求其心得，业必贵于专精PAGE专题10立体几何1.【2009高考北京文第7题】若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为（)A． B． 1 C． D．【答案】D2.【2010高考北京文第5题】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主）视图与侧（左）视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为（)【答案】C【解析】试题分析:由几何体的正视图、侧视图,并结合题意可知，选C项．3.【2010高考北京文第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上．若EF＝1,DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积（）A．与x,y都有关B．与x,y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【答案】C4.【2012高考北京文第7题】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝×(2＋3)×4＋×4×5＋×4×(2＋3）＋．5。【2013高考北京文第8题】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】试题分析:设正方体的棱长为a。建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0，0,0)，D1（0,0，a），C1(0，a，a)，C(0，a,0）,B(a,a,0),B1(a,a，a），A(a,0,0），A1（a,0，a），||＝||＝，|｜＝||＝，||＝,故共有4个不同取值，故选B。6.【2011高考北京文第5题】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(A）32（B)16+(C)48(D）【答案】B【解析】由三视图可知，几何体为底面边长为4,高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积，故选B。7.【2006高考北京文第7题】设A、B、C、D是空间四个不同的点.在下列命题中,不正确的是()A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC，DB=DC,则AD=BCD。若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC【答案】C故AD与BC是异面直线。选项D,如图所示,取BC中点M，由AB=AC，DB=DC，得AM⊥BC,DM⊥BC.又AM∩DM=M,∴BC⊥面AMD。∴BC⊥AD。选项C,无法推断.8.【2007高考北京文第7题】平面平面的一个充分条件是(）Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线【答案】D【考点】线线平行于线面平行的判定定理和性质，异面直线的概念，充分条件的判断9.【2005高考北京文第7题】在正四面体P－ABC中,D，E，F分别是AB，BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE(C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC【答案】C【解析】由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．

若PO⊥平面ABC,垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE,故B正确．

由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．

故选C．10.【2017高考北京文数第6题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B)30（C）20 （D）10【答案】D【考点】三视图，几何体的体积【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错,实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.11.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为（)A．B．C．D．【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示:【考点定位】三视图。12。【2013高考北京文第10题】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________．【答案】3【解析】13。【2016高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________。【答案】【解析】试题分析:四棱柱高为1，底面为等腰梯形,面积为，因此体积为考点：三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征。常见的有以下几类：①三视图为三个三角形,对应的几何体为三棱锥;②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆,对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆,对应的几何体为圆柱.14。【2014高考北京文第11题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解决问题的能力。15．【2006高考北京文第17题】如图,ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱。（1)求证:BD⊥平面ACC1A1;(2)若二面角C1—BD-C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成角的大小.【答案】解法一:(1)证明:∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD。∴BD⊥CC1。∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC。又∵AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1。∵A1C1∥AC,∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角。设BC=A，则CO=A，CC1=CO·TAn60°=A,A1B=BC1=A，A1C1=A，在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1C1B==，∴∠A1C1B=arccos.∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos。解法二:(1)证明：建立空间直角坐标系D-xyz,如图.设AD=A,DD1=B，则有D(0，0,0)，A（A，0,0），B（A，A,0)，C(0,A,0),C1(0,A，B),∴=（—A,—A,0)，=(-A,A,0）,=（0，0,B）。∴·=0,·=0。∴BD⊥AC，BD⊥CC1.又∵AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1.∵tan∠C1OC=，∴B=A.∵=(—A,A,0），=（—A,0,B),∴cos〈，〉==。∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos。16.【2009高考北京文第16题】（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE//PD，,又∵,∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO,在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系，设则,（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB,∴平面.(Ⅱ）当且E为PB的中点时,，设AC∩BD=O，连接OE，由(Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵，∴,∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为。17。【2008高考北京文第16题】（本小题共14分)如图，在三棱锥中，,,,．（Ⅰ）求证：;(Ⅱ）求二面角的大小．ACACBP解法一：（Ⅰ)取中点，连结．ACACBDP，．，．，平面．平面，．（Ⅱ）,，．ACACBEP是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．解法二:（Ⅰ），，．又,．，平面．平面，．ACACBPzxyE取中点，连结．，，，．是二面角的平面角．，,,．二面角的大小为．18。【2010高考北京文第17题】(13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE.【答案】证明:（1）设AC与BD交于点G。(2）连结FG。因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1,所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC。又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD。又BD∩EG＝G,所以CF⊥平面BDE.19.【2012高考北京文第16题】如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，D,E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2．图1图2(1)求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；(3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．由（2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP．从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．20.【2013高考北京文第17题】(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1）PA⊥底面ABCD；(2）BE∥平面PAD；（3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2）因为AB∥CD,CD＝2AB，E为CD的中点，由(1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.21。【2014高考北京文第17题】（本小题满分14分）如图，在三棱柱中,侧棱垂直于底面，，,、分别为、的中点。（1）求证：平面平面；(2）求证：平面;（3）求三棱锥的体积。【答案】(3）（2)取AB中点G，连结EG，FG，因为E，F分别是、的中点,所以FG∥AC，且FG=AC，因为AC∥，且AC=,所以FG∥，且FG=，所以四边形为平行四边形，所以EG，又因为EG平面ABE，平面ABE，所以平面.（3)因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC,所以AB=，所以三棱锥的体积为：==。考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．22.【2011高考北京文第17题】（本小题共14分）如图，在四面体中，点分别是棱的中点。（Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ）求证：四边形为矩形；（Ⅲ）是否存在点,到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由。（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG,设Q为EG的中点由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N，连接ME，EN,NG，MG，MN。与（Ⅱ）同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.23。【2007高考北京文第17题】(本小题共14分)如图，在中,，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．(Ⅰ）求证:平面平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小．（Ⅱ）作，垂足为，连接（如图），则，是异面直线与所成的角，在中，，,又,在中，,异面直线与所成的角的大小为，(Ⅲ）由（Ⅰ）知,平面，是与平面所成的角,且，当最小时,最大，这时,，垂足为，,,与平面所成的角的最大值为。解法二：(Ⅱ）建立空间直角坐标系,如图，则,,异面直线与所成的角的大小是。【考点】二面角，面面垂直的判定,异面直线所成的角，直线与平面所成的角\【备考提示】立体几何的证明，讲究步骤严密，特别是不能漏写关键步骤，立体几何的计算,三个步骤“作，证，算”缺一不可,用空间向量来处理立体几何问题,既体现了数形结合，又降低了思维难度，使解题过程程序化,这也是空间向量方法的独到之处,而建立恰当的空间直角坐标系，把向量合理地用坐标表示是关键。24。【2005高考北京文第16题】（本小题共14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；（Ⅲ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1；（Ⅱ）∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.25.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分)如图，在三棱锥中,平面平面，为等边三角形，且，，分别为,的中点．(I)求证:平面；(II)求证:平面平面；（III)求三棱锥的体积．【答案】（I)证明详见解析；（II)证明详见解析；(III）。【解析】试题解析:（Ⅰ）因为分别为，的中点，所以。又因为平面，所以平面.(Ⅱ）因为，为的中点，所以.又因为平面平面,且平面，所以平面。所以平面平面.（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以。所以等边三角形的面积。又因为平面,所以三棱锥的体积等于。又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,所以三棱锥的体积为。考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式。26.【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，（Ⅰ）求证：；(Ⅱ）求证：;（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析;(III）存在。理由见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III)取中点