2018年数学总复习专题12.2推理与证明试题（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精33-学必求其心得，业必贵于专精PAGE专题12.2推理与证明【三年高考】1。【2017课标II,理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则（)A。乙可以知道四人的成绩B。丁可以知道四人的成绩C。乙、丁可以知道对方的成绩D。乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理"的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下）。2.【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；(ⅱ）女学生人数多于教师人数;（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】6,12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则第一小问:第二小问：【考点】1。不等式的性质；2.推理。【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断，本题主要考查考生分析问题，解决问题的能力,同时注意不等式关系以及正整数这个条件.3。【2017课标II，文23】已知。证明：(1）;(2）。【答案】(1)证明略;(2)证明略。【解析】(2)因为所以，因此。【考点】基本不等式；配方法。【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.4。【2016山东文12】观察下列等式：;;;；……照此规律，_________．【答案】【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是。5．【2016四川文18（1)】在中，角,，所对的边分别是，，,且证明：;【答案】证明见解析．【解析】根据正弦定理，可设，则，，。代入中,有，可变形得在中，由,有，所以6．【2016浙江文16（1）】在中，内角，，所对的边分别为，,．已知．证明：；【答案】证明见解析．7．【2016全国甲文16】有三张卡片，分别写有和，和，和。甲,乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”,丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_______。【答案】【解析】由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲。8．【2016上海文22】对于无穷数列与，记,,若同时满足条件:①，均单调递增；②且，则称与是无穷互补数列．（1）若，,判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式．【答案】（1）与不是无穷互补数列;(2）180；（3），．【解析】（1）易知，，而,，所以，从而与不是无穷互补数列．（2）由题意，因为,所以．数列的前项的和为．（3）设的公差为，,则．由，得或．若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾,因为此时不是无穷数列；若,则,,．综上所述，,．9．【2015高考山东，理11】观察下列各式：……照此规律，当nN时，.【答案】【解析】因为第一个等式右端为:;第二个等式右端为：；第三个等式右端为：由归纳推理得：第个等式为：所以答案应填：【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题,高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小;预计2017年高考将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,推理一般包括合情推理与演绎推理,在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程,根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合)的过程,要很好地掌握其原理并灵活运用。推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力,表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度,增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现。复习建议：推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路；【2018年高考考点定位】高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；【考点1】合情推理与演绎推理【备考知识梳理】1.合情推理（1)定义：根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的分类：类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法a。类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；b。类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;c。类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．2.演绎推理（1)定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为真时,结论必然为真。(2)模式：三段论①大前提-—已知的一般原理;②小前提--所研究的特殊情况;③结论—-根据一般原理,对特殊情况做出的判断．（3）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．【规律方法技巧】1.归纳推理与类比推理之区别：(1）归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时,要先根据已知的部分个体，把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论．（2）类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．2.演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形,结论则是大前提和小前提的逻辑结果．3.应用合情推理应注意的问题:（1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体,把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．（2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．注意：归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性．4。归纳推理与类比推理的步骤（1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）；③检验猜想．eq\x(实验、观察）→eq\x(概括、推广）→eq\x(猜测一般性结论）（2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想）；③检验猜想．eq\x(观察、比较）→eq\x(联想、类推）→eq\x（猜想新结论）5。演绎推理的结构特点（1）演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断：结论．(2）演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．6.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时,要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论，归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的,其结论一定是正确,一定要注意推理过程的正确性与完备性。【考点针对训练】1.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：，，，依此类推可得：，其中，．设,则的最小值为【答案】【解析】因为依此类推可得：所以，即．又，把看成点连线的斜率，结合，．在满足条件的整点中,连线的斜率最小为故最小值为．2.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为的直线（点法式)方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中,经过点，且法向量为的平面(点法式）方程为．【答案】【解析】类比可得：，即【考点2】直接证明与间接证明【备考知识梳理】1．直接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.框图表示:eq\x(P⇒Q1）→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3）→…→eq\x(Qn⇒Q）(2）分析法:从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．分析法的思维特点是：执果索因;分析法的书写格式：要证明命题Q为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题P为真，而已知P为真，故命题Q必为真框图表示：eq\x（Q⇐P1)→eq\x（P1⇐P2）→eq\x（P2⇐P3）→…→eq\x（得到一个明显成立的条件）.2．间接证明反证法：要证明某一结论A是正确的,但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。【规律方法技巧】1.明晰三种证题的一般规律(1）综合法证题的一般规律：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进,从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析,寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．（3）反证法证题的一般规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现．2.综合法证题的思路：3.分析法证题的技巧：（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．（2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．4。反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题）成立;（否定结论)（2)归谬：将“反设"作为条件,由此出发经过正确的推理，导出矛盾—-与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾）(3）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。5。反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；(3)唯一性命题;（4)至少至多型命题；（5)一些基本定理；(6）必然性命题等.【考点针对训练】1.用反证法证明命题：“若，则中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是．A．假设都大于1B．假设都不大于1C．假设中至多有一个大于1D．假设中至多有两个大于1【答案】都不大于1。【解析】中至少有一个大于1的否定为都不大于1.2。求证：是等比数列，并求的通项公式;（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【解析】（1)由知,，又是以为首项，为公比的等比数列,(2），，两式相减得：，,若n为偶数，则若n为奇数，则,【两年模拟详解析】1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(）A．大前提：无限不循环小数是无理数;小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提:无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【答案】B【解析】对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确;对于C和D，均为大前提错误；故选B．2。某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是．【答案】6日和11日【解析】这12天的日期之和,，甲、乙、丙的各自的日期之和是，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日,7日,可能是4日,5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C.3。观察下列不等式：，,，……照此规律,第五个不等式为．【答案】．【解析】观察已知的三个不等式：左边都是1加上中的一个，两个或三个，可猜测第五个不等式的左边肯定是：1加上；右边是一个分数分子依次为:3，5,7,可猜测第五个不等式的右边分子应为：11;右边是一个分数分母依次为:2,3,4，可猜测第五个不等式的右边分母应为:6;故知第五个不等式应为：，故答案为：．4.已知:，观察下列式子：类比有，则的值为．【答案】【解析】根据题意,对给出的等式变形可得:，=类比有，∴．5。如下图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：,，,,，的横、纵坐标分别对应数列(）的前项，如下表所示：按如此规律下去,则．【答案】1007【解析】,，，，，,，，，这个数列的规律是奇数项为偶数项为，故，，故．6。把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．若902，则．【答案】436【解析】首先由，，因此902在甲图中的第31行第二个数，前30行共去年的数的个数为,还剩下个数，第31行的第一个数为91去掉，因此902是第436个数，即在乙图中，902对应的．7.记集合T=｛0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列｛bi}，并将bi按如下规则标在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点)处：点（1，0）处标b1，点(1，）处标b2，点(0,)处标b3，点处标b4，点（，0)标b5，点(，1）处标b6，点（0，1）处标b7，…，以此类推．（Ⅰ）标b50处的格点坐标为；（Ⅱ)b50=．【答案】（1)（4，2）（2)（或填）【解析】（1）观察已知中点（1，0）处标b1，即b1×1，点(2,1）处标b9，即b3×3，点（3，2）处标b25，即b5×5，…，由此推断，点（n,n—1）处标b（2n—1)×(2n—1），∵49=7×7时，n=4，故b49处的格点的坐标为(4，3），从而b50处的格点的坐标为（4，2)；（2）由已知…………由此推断所以故答案为：(4，2），8。有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖"，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了"，丁说:“是乙获奖了”。四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．【答案】丙【解析】若甲是获奖歌手，则四句全是假话,不合题意；若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话,丙说假话，不合题意；若丁是获奖歌手,则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；当丙是获奖歌手时,甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意。故答案为丙。9.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1。类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD。A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ,则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝_．【答案】2；【解析】设长方体的棱长分别为a，b,c,如图所示,所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α=，同理cos2β=，cos2γ=，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ=2.10。对于函数,部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足，且对任意,点都在函数的图象上，则的值为．【答案】754911。在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比。将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E,则类比的结论为＝________．【答案】【解析】由已知条件得图（1）中：点到边和边的距离相等，因此；类比知在图（2)中:点到平面和平面的距离相等，所以.12.将2n按如表的规律填在5列的数表中，设排在数表的第n行,第m列,则第m列中的前n个数的和＝___________.……………【答案】【解析】由于2014=4×503+2，故位于表格的第504行第3列,所以n=504，m=3。所以．13.在平面几何中，有这样