概率论双校自考365全串讲

第一部分概率论部学员朋友们，好第一部分概率论专题 与概近几年试题的考点及分数分123222②32181222随机试验：i）；ii）的所有可能结果；iii）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。必然、不可能：在每次试验中一定发生的称为必然，记做；每次试验都不可能二、的关系与运1.的关包含关系：如果A发生必然导致B发生，则B包含A，记做 件C，都有。 ，则A与B相等，记 A与B不能同时发生，称 A与B互不相容或互斥，可表示为对立：称“A不发生”为A的对立或逆，记做；满足且。。二的相互独立性： ,则称A,B相互独立性质1：四对 性质2：若A,B相互独立，且。2.的运（1）的和：称“A，B至少有一个发生”为A与B的和，也称为A与B的并（2）的积：称“A，B同时发生”为A与B的积，也称为A与B的交，记。的差： A与B的 性质 （4）运算的性摩根律（对偶律三、的概的频率:相同条件下进行n次试验 A出现次 的概率（描述性）：当n很大时 A频率的稳定值p，A的概率 ③④注：的概率的精确定义见p11，定义古典概型：（1）特点：①样本空间是有限的；②基本发生是等可能的 全概和贝叶斯

则对于内的任意B，都；（2）贝叶斯：条件同A， ③每次试验只有两个结果，计算：n重贝努利试验 加法、乘法（1）加法①②推论1：若 A,B互不相容，则；推论2：若 推论3：若A,B为对立，则推论4：若,两两互不相容，；（2）乘法：例1.设A、B为任意两个，则有（） C.（A∪B）-BA D.（A-B）∪BA答案C。例2.设A与B互为对立，且，则下列各式中错误的是（A.C.答案解析：本题对立、相互独立、互不相容概念。A：对立，B：相互独立C：互不相容例3.设A，B为两个随机，且，则 A.C.D.答案解析：本题和、条件的概念及其概率例4.设A,B满足P（）＝0.2，P（A）＝0.6,则P（AB）＝（ 答案解析：本题差的性质。，所。例5.设每次试验成功的概率为p（），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率 C.答案解析：本题求“至多”、“至少”类概率的方法，即选择用正面还是对立能够简单地计算概率。本题选择用对立计算。 次二正）＋（一正二正）＝，故填写。例7.一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批品中随机取一件，恰好取到次品的概率 解析：本题“全概 ”。设产品由甲、乙厂生产分别 ，产品为次品为则由“全概率” 例8.设P（A）＝0.4,P（B）＝0.5,且P（）＝0.3,求答案,专题二一维随近几年试题的考点分布和分数分22243②30－1221②16122②323随量函一、随量的概与之对应，定义在上的实数值函数称为随量。二、一维 定义：设X是一个随量，x为任意实数，称函数为随X①②对任意都有③是单调非减函数④⑤右连续一维离散型随量X…………①离散型随量的数学期望设离散型随量X的分布列X…………如果级数绝对收敛，则称其为X的数学期望，记为②离散型随 量的方差：定义式:；③离散型随量的标准差X01p③方差：①分布列：①分布列：连续型随定义：随量X的分布函数为,存在非负可积函数，使对任意实数x有，则称X为连续性随 ①②③④⑤设的连续点，则存在，且连续型随量的数字特①设连续型随 量X的密度函数为 。②连续型随 ③连续型 常用连续型 量的分①密度函数：②分布函数 ③数学期望：④方差：④方差：③数学期望：,④方差：⑤标准化代换：若⑤标准正态分布的上a分位数：，若满足，则为标准正态a①为常数②为常数③为常数④为常数①为常数②为常数③为常数④为常数随量函数的概率分然，Y也是随量。X…………则的分布律Y…………注：对相同者，须合并并把概率相加 量，其概率密度为。设是严格单调的可导函数，其值域。 量X的概率密度为，求随 例1.设随量X的概率分布 根据分布函数的定义，所解法一：例2.已知 解析：本 一维 量概率密度的性质：例3.设函数在上等于sinx，在此区间外等于零，若可以作为某连续型随量的概率 A.C.答案解析：本题考核连续型随量的概率密度的性质：及根据已知条件函数在上等于sinx及sinx在四个象限的正、负取值，淘汰A,D选项；再根据，验算选项C，，淘汰C；或根据此性质例4.设随量X在区间[2，4]上服从均匀分布，则＝（A.C.答案例5.设随量，已知标准正态分布数值，为使，则常 解析：本题正态分布的标准化及分布函数的单调非减性质，因 是单调非减函数，所例6.已知随 ， ，则 答案解析：本题二项分布的概率例7.已知随量X服从参数为2的泊松分布，则随量X的方差为（ C.答案解析：本题考核泊松分布的概念及其数字特征计算的计 量X服从参数为λ的泊松分布，则 例8.若 ，且,则＝（ 答案解析：本题正态分布求概率的方法则例9.设离散型 解得，再求例10.设连续型随量X的分布函数为 另解：也可用定义求例11.设随量X的概率密度求X的分布函数令Y=2X，求Y的概率密度 时，X的分布函数 时，X的分布函数因此，X的分布函 为：，则当 所以，其中为X的分布函数。所以，例12.假定暑期市场上对冰淇淋的需求量是随量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均？解析：本题考核均匀分布的概念、随量函数的期望及销售收益的计算方法。 设小店组织y盒冰淇淋时，平均，收益函数为，观察此关于y的二次函数，二次项系数为－2＜0，所以，当 最大值，因此，小店组织y＝250盒冰淇淋时，平均。例 通过某高速 求某在此等候时间超过10分钟的概率若该一个月要经过此两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布解：由已 通过某高速公 等候的时间，则概率密（2）由已知，Y的可能取值为0，1，2，且，专题三二维随近几年试题的考点分布和分数分4②,242②2244二维随42一、二维随由两个随量X,Y组成的有序组（X,Y）称为二维随量或二维随机向量二、二维随量的分布函分布函数的定义：设（X,Y）x，y，为二维随量（X,Y）的联合分布函数，或分布函数根据联合分布函数可求出（X,Y）落入区域的概率为边缘分布函数定义：设（X,Y）的联合分布函数为，为二维随量（X,Y）的边缘分布函数分布函数的性（1）是变量x（或y）的单调非减函数xy二维离散型随定义：若二维随量（X，Y）只取有限对或可列无穷多对， 称（i＝1，2，…）为关于X的边缘分布称（j＝1，2，…）为关于Y的边缘分布二维连续型随定义：设二维随量（X，Y）的分布函数，存在非负函数，使对任意实数有； 的连续点（x，y），有，XY随量的独立 ，分别为二维随量（X，Y）的分布函数及边缘分布数，若对任意x，y有，则称随量X和Y相互独立二随量相互独立的等价关系随量X和Y相互独 量的独立性：设（X，Y）为离散型随量，其分布律，XY设二维连续型随量（X，Y）的概率密度函数为分别是X和Y的边X和Y两个随量函数的概率分两个离散型随量函数的分①求出Z的可能取值②分别求概率Z两个相互独立连续随量函数的概率分①两个相互独立随量的概率分一般问题：已知两个相互独立的随量X，Y的概率密度，求二维随量（X，Y）解法：②两个相互独立随量和的概率密度问题：已知两个相互独立的随量X，Y的概率密度，或二维随量（X，Y）的概 求解：这就是二维连续型随量独立分量和的卷积两个相互独立的随量的可加①泊松分布具有可加性：设X，Y相互独立，且，。②正态分布具有可加性：设X，Y相互独立，且，，。两个相互独立随量各自函数的相互独立性二维随量函数的数字特 则；连续型：若（X，Y）为连续型随量，积。①②③若X，Y相互独立，则定义：称为随量X与Y的协方差。记做①离散型二维 ②连续性二维 ③协方差计算：④特例：①②，其中a，b为任意常数③④若X与Y相互独立，，协方差为零只是随量相互独立的必要条件，而不是充分必⑤⑥⑦补充性质：p111，例定义：称为 量X与Y的相关系数①②存在常 ③不相关定义：若相关系数时，称X与Y不相关相关系数的意义：当时，称X与Y正线性相关，当时，称X与Y负线性相关；当时，称X与Y完全正线性相关，当时，称X与Y完全负线性相关。例1.设二维随量的分布律则A.B.C.答案例2.设二维随量（X，Y）的分布律且已知E（Y）=1，试求（1）常数①又分量Y②。。例3.设二维随量（X，Y）的概率密度XY求解析：本题二维连续型随量（X，Y）的概率密度性质、关于X，Y的边缘密度，的求法、分量XY的独立性以及用联合概率密度求概率的方法。解：（1）由二维连续型随量（X，Y）概率密度的性，则，所 ，又由二维连续型随量边缘密度的定义， 时，，所xy。，上式即为X与Y相互独立的充要条件，所以，本题的二维随量（X，Y）的两个分量X与Y相互独例4.若随量X，Y满足,确的B.C.答案解析：本题方差性质 例5.设随 答案：。（因 （利用二元函数极限可以验证 ， Cov（X,Y）。解析：本题考核二维随量的均匀分布概念及协方差的计算（选自P106，例4－29）。解：可以求出区域D的面积为，所以服从均匀分布的二维随 ，又例7.已知随量X，Y的相关系数为，若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.试求U，V的相关系。由已知，b，c，d为常数，Y为随量，则应用协方差的计算所以其中，，计算同上因此，，因 ，所。UX，VY（即表示为斜率同为正或同为负的一次函数），得到，即两对随量之间的相互关系程度是相同的。例8.设二维随量，且X与Y相互独立，则 专题四大数定律及中心极限近几年试题的考点分布和分数分切比22一、切比不等式：随量，则对任意给定的 。二、大数定贝努利大数定律：设m是n独立重复试验中A发生的次数，则对任意给定的 切比大数定律：随量序列相互独立且具有有限的期望和方差，三、中心极限定 具有期望和方差 及任意x，总有①定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随量服从什么分布，其和近似服从正态分布②定理说明：当n充分大时，不论独立同分布