线性代数复习题

第一部分专项同步练习一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512．如果阶排列的逆序数是,则排列的逆序数是().njjjkjjj2112nnn!n(n(A)(B)(C)(D)nkkkk223.阶行列式的展开式中含的项共有(aa项.n(A)0(B)(C)(D)n2(n2)!(n1)!0001001001001000(A)04．().(B)(C)(D)2110010010000011000(A)05.().(B)(C)(D)2).11112xx1x126．在函数中3项的系数是(f(x)x3020x301(A)0(B)(C)(D)2111aDaaaa2aaa2a127.若，则().aaD2aaaa2aa2a1aa2a(A)4(B)(C)2(D)42aaaaka8．若，则().aaaka(A)(B)(C)(D)ka2ka29．已知4阶行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次为4,0,1,3,则().(B)2,5,xx(A)0(C)(D)233386743211110.若，则中第一行元的代数余子式的和为(D).D11437(B)5(A)(C)(D)0123310141001011.若，则中第四行元的余子式的和为(D).D015322(A)(B)(C)(D)0123xxkx012312.等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.xkxx0k123kxxx0123()(A)(B)(C)3(D)012二、填空题21.阶排列的逆序数是.2n(2n(21)n2．在六阶行列式中项aaaaaa所带的符号是.3254416513263．四阶行列式中包含aa且带正号的项是.22434．若一个阶行列式中至少有2个元素等于,则这个行列式的值等于0nn1n.11100101011100105.行列式.010...00002...6．行列式7．行列式..........0000...n1n0...0aa...aa11211(n1)1n...a...0.2(n1)...a...00n1aaaaa3a3a3a3a8．如果，则.DaaaaMDaa3aa3a1aaa9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.311111x11x1110．行列式.1x111x11111...1111...11．阶行列式n....1......1112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.123456784321876513，为D中第四行元的代数余子式，D(j2,3,4)A4j则.4A3A2AA41424344abcacbab14．已知，D中第四列元的代数余子式的和为.Dbaccacbd123433441567112215．设行列式，为a的代数余子式，则D6(j1,2,3,4)A4j4j，.AAAA414243444135...2n1120...103............0016．已知行列式，D中第一行元的代数余子式的和为D100...n.kx2xx012317．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是0.2xkx12xxx0123x2xx012318．若齐次线性方程组有非零解，则=.2x5x0k233x2xkx0123三、计算题abcdxyxya2a3b2b3c2c3d2d31.;2．；yxyxyxyxbcdacdabdabcxaa...a112n2n2n201x1101......11aaxaaa112xax3．解方程；4．；02x1101x10............aaaaaa...x11112233...an15a111.........111111...11101a3111...b115.(；6.1111a1,0,2...b...1ajn2j............1...11...a1...(n1)bn11...1xaa...a122nnn1...x2xx1xx1b1aa...a...aaxa...a...a12n112111......xx2x22xx27.；8a;9.1n;b1baax22112.....................xxnxxn...1x2b1bb...aaaa...x12n23n23210...00001aa000a00121...011aa012...0............10．11．.D00011a00011aa00000...210...1011a2四、证明题11abc2222a1111a2a11bc1．设1，证明：2.0bb11c2c11ddd2dabxaxbcabccc111111231231232．.abxaxbcx2)abb222232abxaxbca333361a1b1c1d3．4．.(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd)a2a4b2b4c2c4d2d411...1aaa.........a122na22a2n.(aa)1na...ijii11ijna2a2...a2nnn12naa...annnn121a1b15．设a,b,c两两不等，证明的充要条件是.abc0c0a3b3c3参考答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.n1;“”aaaa2200(1)n!n143143n(n7.;8.;9.;10.;11.n1;12.;24(2aa1n2(na3M(n)xn1113.;14.;15.;16.n;17.;18.2,3k70012,9n!(1)kkk1三．计算题1．；2.3)3；(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)2(xy3.;4.n1x2,0,1(xa)kk171nn5.7.;6.;b(a)(2)(1)...((2))bbnka1k00kkn;8.nn;(xa)(1)(ba)(xa)nkkkkk11k1k9.n;10.;11xnkk111..4a)(1aa)2第二章矩阵一、单项选择题1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)(d)2(b)(c)AA2ABAB()ABA()A2B2A2()ABTTT2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。(a)AB=BA(b)(c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆A03.若为n阶方阵，为非零常数，则k()。A(a)(b)(c)(d)nkAkAkAknA4.设为n阶方阵，且A，则()。A0(a)中两行(列)对应元素成比例(b)中任意一行为其它行的线性组合AA(c)中至少有一行元素全为零A(d)中必有一行为其它行的线性组合A5.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。BA(a)(c)(b)(AB)AB()AB111T(d)(AB)ABAB1()B1T1A116.设为n阶方阵,*为的伴随矩阵,则()。AAA8(a)(a)(b)(c)(d)An1AAn1A*A1A*AA**7.设为3阶方阵,行列式A,为的伴随矩阵,则行列式AA1A*()。(2A)2A1*27882788(a)(b)(c)(d)27278.设，为n阶方矩阵,A,则下列各式成立的是()。2BA2B(a)(b)(c)(d)AB2B2ABABA9.设，均为n阶方矩阵,则必有()。BA(a)(b)(c)(d)AABABABBA2B2ABBA10.设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（nA（a）(b)2A2AAA(2)211T(c)(d)A)]A)]A)]A)]11TTT1TT11TTaaaaa3aa3aa3aa11.如果，则（AaaaaaaAaaaa100010103003100100（a）(b)(c)(d)01000101100130103113112.已知，则（A220311（a）T(b)1*AAAA9100113100113（c）（d）A001202001A20201031101031113.设（a）为同阶方阵，为单位矩阵，若I，则（A,B,C,III（b）（c）I（d）II14.设为阶方阵，且n，则（A|A|0（a）经列初等变换可变为单位阵A（b）由I，可得AXBAXB（c）当经有限次初等变换变为时，有A(A|I)(I|B)1B（d）以上（abc）都不对15.设为阶矩阵，秩mn，则（A(A)rmn（a）中阶子式不全为零r（b）中阶数小于的子式全为零rAA00I（c）经行初等变换可化为A（d）为满秩矩阵Ar016.设为A矩阵，为阶可逆矩阵，，则(B)。mnCn(a)秩()>秩()B(b)秩()=秩()ABA(c)秩()<秩()A(d)秩()与秩()的关系依而定CBAB17.，为n阶非零矩阵，且A，则秩()和秩()(B)。B0A(a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于nn18.n阶方阵可逆的充分必要条件是(A)。(a)(b)的列秩为nAr(A)rn(c)的每一个行向量都是非零向量A(d)伴随矩阵存在19.n阶矩阵可逆的充要条件是(A)。(a)的每个行向量都是非零向量A(b)中任意两个行向量都不成比例A(c)的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示A(d)对任何n维非零向量，均有X010二、填空题1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且I,则行列式_______AAAI20ab2.行列式_______a0cbc01013.设2，则行列式的值为_______A020(3I)(A9I)A12001314.设22，且已知，则行列式_______AIA6A1131225.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且*，则_______A3A*AA6.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为_______*AAab1...abab11221nab2ab2......ab7.非零矩阵的秩为________n12.........abnabn...ab12nn8.设为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量，均有A，则的秩AX0为_______9.若为15阶矩阵，则的第4行第8列的元素是_______A(a)ijAAT10.若方阵与相似，则_______4IA12K21111.K_______limK1K3KK1112n121112._______lim030n104三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).212322201013201)3)4)5)；2)10X3100X21110011210210；310101,其中；X(IB1C)BI404C212BTT422121；101,其中2AXI020A101；42310,其中A2X1A123；2.设为阶对称阵,且A,求A.nA2011013.已知,求21A020(A2IA4I).1112342300001201.A1AA4.设,,,A,求AAA32412401A3121125.设6.设,求一秩为2的方阵,使B.A224AB0336211011,求非奇异矩阵,使C.A101,B121CBCAT1101107.求非奇异矩阵,使P为对角阵.P1112121121)2)A13A2018.已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为A,求矩阵.A,(,(TTT5329.设,求.A100A644445四、证明题1.设、均为阶非奇异阵,求证可逆.ABn2.设3.设(为整数),求证k可逆.AA0kI为实数,且如果,如果方阵满足Aa.a,,aa012kkAaA1aAaI0kk,求证是非奇异阵.A1k1k4.设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵n相似于.BAAB5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.139.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.15二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.；aai4i8i1020010.I；12.0；11..11100114320103010222三、1.1234；132353116016402100021101328696031215.2.0；1313.；0214.；212901000311010113115.8.不唯一；6.7.1.2)、；11101010021121100112320031001310022）223100100100；9.100100100100100.1022344223）2323111123100）213）100100一、单项选择题1.，都是四维列向量，且四阶行列式,,,1231214,,则行列式nm11223311232()12(a)mn(b)mn(c)mn(d)mn2.设为阶方阵，且nA0,则（A(a)A(b)A中任意一行为其它行性组合(d)A中必有一行为其它行性组合(c)A零3.设为阶方阵，n，则在的个行向nAAr(A)rn(a)r(c)r(d)(b)rr4.阶方阵可逆的充分必要条件是（）nA(a)r(A)rnbAn()的列秩为（c）A（d）A的伴随矩阵存在5.维向量组线性无关的充分条件是(),n12s都不是零向量中任一向量均不能由其它向(a),(b),12s12s量线性表示中任意两个向量都不成比例中有一个部分组(c),(d),12s12s线性无关6.维向量组,(线性相关的充要条件是()sn12s中至少有一个零向量中至少有两个向量成比例b(),(a),12s12s15中任意两个向量不成比例中至少有一向量可由其(c),(d),,...,12s12s它向量线性表示7.维向量组线性无关的充要条件是()sn),n12s使得(a)存在一组不全为零的数k,kkkkk012s1122ss中任意两个向量都线性无关(b),12s中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示(c),12s中任一部分组线性无关(d),,...,12s8.设向量组的秩为,则(),r12s中至少有一个由个向量组成的部分组线性无关r(a),12s中存在由个向量组成的部分组线性无关(b),r112s中由个向量组成的部分组都线性无关r(c),12s中个数小于的任意部分组都线性无关r(d),,...,12s9.设均为维向量,那么下列结论正确的是(),n12s若,则,线性相关(a)(b)0kkk1122ss12s若对于任意一组不全为零的数,都有,则kk1,,...,kk0kk2s1122ss线性无关,12s若,线性相关,则对任意不全为零的数,都有(c),,...,kkk12s12s0kkk1122ss若,则,线性无关0000(d)12s12s1610.已知向量组,,,线性无关，则向量组（）1234线性无(a),,,(b),,,1223344112233441线性无关线性无(c),,,(d),,,1223344112233441线性无关11.若向量可被向量组线性表示，则（）,12s存在一组不全为零的数使得(a)(b)(c)(d),,...,kk...kkkk12s1122ss存在一组全为零的数使得kk,,...,1k...kkk2s1122ss存在一组数使得,,...,kkk...kkk12s1122ss对的表达式唯一12.下列说法正确的是（）若有不全为零的数，使得，则(a),,...,kk...0kkkkk12s1122ss线性无关,,,12s若有不全为零的数,...0kkk(b),,...,kk12s1122ss12s线性无关若,线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示(c)12s任何个维向量必线性相关n(d)1n13.设是向量组T(0,0)T（）0,0)12(a)(0,3,0)(b2,0,1)(c)(0,0,1)(d)(0,2,1)TTTT，14.设有向量组，1,1,2,40,3,1,2TT1217，则该，，3,0,7,141,2,2,02,5,10TTT345向量组的极大线性无关组为（）(a),,(b),,123124(c),,(d),,,125124515.设(,)，，，，T,b)(,aa)(,bb)2aa,a(,bbTTT12312311211下列正确的是（）(a)若,线性相关，则,也线性相关;11(b)若,,11(c)若,,(d以上都不对11二、填空题1.若1)，，线性相关，则▁▁)T2,3)3,tTT123▁▁。2.n维零向量一定线性▁▁▁▁关。3.向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。4.若线性相关，则线性▁▁▁▁关。,,,s(3)12312s5.n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。6.设向量组,的秩为r,则中任意r个▁▁▁▁的向量都是,12s12s它的极大线性无关组。7.设向量0,1)T与T正交，则▁▁▁▁。aa)128.正交向量组一定线性▁▁▁▁。9.若向量组,与,的秩与的秩,,12s12t12s12t▁▁▁▁。10.若向量组,可由向量组,线性表示，则(,)▁▁r12s12t12s18▁▁。r(,)12t的T11.向量组a，a，a,1,1,0,0,1,1,0TT112233线性关系是▁▁▁▁。12.设n阶方阵,则▁▁▁▁.A,,...,,A12n123113.设，，若T是标准正交向量，则x(0,y,)(,0,0)和xT122和y的值▁▁▁▁.14.两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.三、计算题1.设，，，T,1)1,1)1,1)TT123(0,,)2T，问（1）为何值时，能由,,唯一地线性表示？1233（2）为何值时，能由,,线性表示，但表达式不唯一？12（3）为何值时，不能由,,线性表示？1232.设T，T，T，0,2,3)3,5)1,a2,1)1232,4,8)b3,5)aT，T问：4（1）（2）为何值时，不能表示为的线性组合？,,,a,ba,b1234为何值时，能唯一地表示为的线性组合？,,,12343.求向量组，，，T0,4)(2,5,6)2,5,2)TT123，的一个极大线性无关组，T2,0)(3,0,7,14)T4519并将其余向量用该极大无关组线性表示。4.设，，)t为何值时线性相tTTT,,123123关，t为何值时,,线性无关？1235.将向量组，，标准正交化。T2,0)(0,2)(0,1,2)TT123四、证明题1.设，试证线性相关。,,2,,1122213121232.设,,在n为奇数时线性无关；12n1223n1在n为偶数时线性相关。3.设,,,能由线,12s142s12s性表示且表示式唯一。4.设,,线性相关，不能由线性表示。,,,,1232341235.线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是,(s12s其余向量的线性组合。6.设向量组,中都不能由前个向量线性表示10i12s1i，求证,线性无关。(i3,...,s)12s7.证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8.设,,,...,,,也001020s012s线性无关。一、单项选择1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b15.a二、填空题1.52.相关3.4.相关5.无关6.线性无关7.-102018.无关9.相等10.14.对应分量成比例11.线性无关12.013.xy2三、解答题1.解：设xxx112233)xxx0123则对应方程组为)xxx123xx)x212311111其系数行列式A111(3)21（1）当时，，方程组有唯一解，所以可由唯一0,30,A12,3地线性表示;11101110（2）当时，方程组的增广阵，011100000A11100000，方程组有无穷多解，所以可由线性表示，r(A)r(A)13,12,3但表示式不唯一;（3）当时，方程组的增广阵321211101213，A13033(A)r(A)r129000所以不能由线性表示。,12,32.解以为列构造矩阵,,,,123421111011121101101111211a100123a24b35412a351a8000b4（1）当a且b0不能表示为,,,的线性组合；1234（2）当a1,b任意时，能唯一地表示为,,,的线性组合。12341211307101021112101000010003.解：(,,,,)11123450455262000,,为一个极大无关组，且,02124312451241114.解：，,,1235t12313t当时,,线性相关，当时,,线性无关。t5t51231235.解：先正交化：令1,2,0T11,T4,525=,2212211,1,,T1116=,,311322,,33136122再单位化：12T215T，22，1,,0,,1155222211T,,333666为标准正交向量组。,,123四、证明题1.证：∵3()4(2)01213∴∴5340123线性相关,,1232.证：设k(1)()kk()012223nn1则(kk)(kk)(kk)01n1122n1nn∵,,线性无关,12nkk01nk0k∴12kk0n1n1011001010010002,为奇数n其系数行列式=1(1)n10,n为偶数0001000011∴当n为奇数时，当n为偶数时，只能为零，,,线性无关；k,k,,k,12n12n可以不全为零，,,线性相关。k,k,,k,12n12n3.证：∵,,线性相关,,12s23∴存在不全为零的数使得k,k,,k,k12s0kkkk1122ss若，则）k00k,,,kkkkk1122ss12s与,,线性无关矛盾,12s所以k0kkk于是12s12skkk∴能由线性表示。,,,12s设①②kskk1122slsll1122s则①-②得(kl)(kl)(kl)0111222sss∵,,线性无关,12s∴kl0,(i1,2,,s)ii∴即表示法唯一kl,(i1,2,,s)ii4.证：假设能由线性表示,,4123∵,,线性无关，∴,线性无关23423∵,,线性相关，∴,线性表示，123123∴能由,线性表示，从而,,线性相关，矛盾423234∴不能由线性表示。,,41235.证：必要性24设向量组,,线性相关,12s则存在不全为零的数使得k,k,,k,kk0k12s1122sskkkk不妨设，则，k0121sssk12ks1sss即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组,,中至少有一个向量是其余向量的线性组合,12s不妨设kkks1122s1s1则，0kkk1122s1s1s所以,,线性相关。,12s6.证：用数学归纳法当s=1时，，线性无关，01当s=2时，∵不能由线性表示，∴线性无关，,2112设s=i-1时，,,线性无关,12i1则s=i时，假设可线性相关，线性无关，,,,,,,12i121ii由,,线性表示，矛盾，所以,,线性无关。得证,,12i112i7.,,（）,,,,212s1r线性相关，则存在不全为零的数使得k,k,,k,12r0kkk1122rr于是0k00kk1122rrr1s25因为0，┈，0不全为零k,k,,k,12r所以,,线性相关。,12s8.证：设()()()0kkkk00101202s0s则(kkkk)kkk0012s01122ss因,,,线性无关，,012skkkk0012sk01所以解得k020kkkks0120k所以向量组s线性无关。,,,,001020s一、单项选择题1．设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则r有非零解的充nAX0AX0分必要条件是（）(A)(B)rnrn(C)(D)rnrn2．设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（）AXbmnA(A)(B)r(A)nr(A)m(C)(D)r()r(A)nr()r(A)m3．设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，mnmnAXbAX0A则（）(A)必有无穷多解必有非零解(B)(D)必有唯一解必有唯一解AXbAX0AXbAX0(C)x2xx41234．方程组无解的充分条件是（）x2x223(2)x(3)(4)(1)326(A)1(B)2(C)3(D)4xxx11232xx25．方程组有唯一解的充分条件是（）23x34(1)x(3))(1))3(A)1(B)2(C)3(D)4x2xx11236．方程组有无穷解的充分条件是（）3xx223x(3)(4)(2)x23(A)1(B)2(C)3(D)47．已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，b是导出组,,AX1212的基本解系，为任意常数，则的通解是（）bAX0,kAXk12(A)(B)()()kkk12k12221121211212(C)8．设为(D)()()kkk12k122矩阵，则下列结论正确的是（）21121211212mnA(A)若(B)若(C)若(D)若仅有零解，则有非零解，则有唯一解有无穷多解仅有零解AX0AX0AXbAXbAXbAXb有无穷多解，则有无穷多解，则AX0有非零解AX0AX0(B)9．设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件为（）的列向量线性相关AmnA(A)(C)的列向量线性无关的行向量线性无关AA(D)的行向量线性相关Axxx112310．线性方程组（）2x3x0x1234x7x10x1123(A)无解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其导出组只有零解二、填空题271.设为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量，均有，则的AAXAX0秩为.kx2xx01232.线性方程组仅有零解的充分必要条件是.2xkx012xxx01233.设和均为非齐次线性方程组的解X,X,XcXcXcXsbAX12s1122s（.c,c,cccc12s12s4.若线性方程组的导出组与0(r(B)r)有相同的基础解系，则BXAXb.r(A)5.若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为m.AXbmn6.设矩阵的秩为，则的解向量组的秩为AX0.87.如果阶方阵的各行元素之和均为AA)n1AX0n0r的通解为.8.若元齐次线性方程组有个线性无关的解向量，则n.nAX0A1211x1239.设，若齐次线性方程组只有零解，A23a2,b3,xxAX001a2x则.a1211x110.设，若线性方程组无解，则AXbA23a2,b3,xx2301a2x.a11.阶方阵，对于，若每个维向量都是解，则n.A(A)nAX0r12.设54矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个不同的AXb3,,A123的通解AXb2(2,0,0,0),3(2,4,6,8)TT1231228为.13.设为矩阵，有个线mn(A)rm,n)AX0Ar性无关的解.三、计算题1.已知是齐次线性方程组的一个基础解系，问0,,AX123是否是该方程组的一个基础解系？为什么？,,122331543311201000101226560212.设，，已知的行向量都是线BAB32113101111112320性方程组什么？的解，试问的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为BAX0xx03.设四元齐次线性方程组为（12xx0241）求（）的一个基础解系2）如果k(0,1,1,0)k(1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组T12（）和（）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4.问a,bxaxxaxxbx41231231）2）xx1xbxxbax2123123xxaxaxx2x421231235.求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为12x11xx1c3c3.cc任意实数)2312123212922136.设，求一个矩阵，使得B，且。A42AB0r(B)29528参考答案一、单项选择题1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空题1.1002.3.14.5.m6.7k2且k3r7.（为任意实数）8.0k9.10.11.k或3a1aT0112.TT13.无穷，nr(,0,0,0)k(0,2,3,4),k任意实数2三、计算题1.是3.1）2.不能2）v(0,0,1,0),v(1,1,0,1)k((其中k为任意非零常数)TTT121a1(1a)24.1时有唯一解：）T；a2a2且a1（-,,2a2a2a当时有无穷多解：TTTa1(1,1,0)c(1,0,1)(1,0,0)(其中c,c为任意常数)c12122）当时，无解；当时有唯一解：b1b2且b4bb(2)42；当2时有无穷多解：（,,b1）4bTb1b1c(3,1,1其中c为(常,4TT5.9x5x3x512310016.11212521230一、单项选择题0011.设,则的特征值是()。AA010100(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102.设,则的特征值是()。AA101011(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,13.设为阶方阵,n,则()。AA2I(a)(b)的特征根都是1(c)A(d)一定是对称阵A|A|1r(A)n4.若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则A也x,x1kxkx21122是的特征向量的充分条件是()。A(a)(b)(c)(d)kk0k0且k0k0且k0k0且k0121212125.若阶方阵n的特征值相同,则()。A,B(a)(b)(c)与相似B(d)与合同ABAB|A||B|A6.设为阶可逆矩阵,是的特征值,则的特征根之一是()。nA*AA(a)1n(b)1(c)(d)||n||||||AAAA17.设2是非奇异阵的一个特征值,则A至少有一个特征值等于()。(A)213(c)1/2(a)4/3(b)3/4(d)1/48.设阶方阵的每一行元素之和均为n,则1有一特征值为EAa(a2A()。312(a)a(b)2a(c)2a+1(d)+1a9.矩阵A的属于不同特征值的特征向量（(a)线性相关(b)线性无关(c)两两相交(d)其和仍是特征向量10.是阶矩阵与相似的()。nAB|A||B|(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件11.阶方阵有个不同的特征根是与对角阵相似的()。nnAA(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件1100012.设矩阵与相似,则的值分别为()。A1B010,11002(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,113.设为相似的阶方阵,则()。nA,B(a)存在非奇异阵,使P(b)存在对角阵,使与都相似于DABD1BP(c)存在非奇异阵,使P(d)与有相同的特征向量BTPBA14.若阶方阵与某对角阵相似,则()。nA(a)(b)有个不同的特征值nr(A)nA(c)有个线性无关的特征向量(d)必为对称阵An15.若相似于,则()。AAB(a)(b)IB|IA||IB|IA(c)及与同一对角阵相似B(d)和有相同的伴随矩阵ABA10016.设,则与相似的矩阵是()。AA01000232110010002100020001101020001200011002(a)(b)(c)(d)17.下列说法不妥的是(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零（）(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵18.若，则下列结论错误的是（）AB(a)(b)ABEAEB(c)存在可逆矩阵，使P(d)1BP二、填空题1.n阶零矩阵的全部特征值为_______。2.设为n阶方阵，且A，则的全部特征值为_______。A2AAI3.设为n阶方阵，且A(m是自然数)，则的特征值为_______。Am04.若，则的全部特征值为_______。A2AA5.若方阵与相似，则_______。A4I6.若n阶矩阵有n个相应于特征值A_______。AA7.设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式A。A2AI8.设二阶矩阵满足2，则的特征值为A。AA3A2EO9.特征值全为1的正交阵必是10.若四阶矩阵阵。1111相似，的特征值为，则=。A与B,,,EAB12345123411.若，则x，=y。AByx33三、计算题1.若阶方阵的每一行元素之和都等于,试求的一个特征值及该特征值anAA对应的一个特征向量.2.求非奇异矩阵,使P为对角阵.P1112121121)2)A13A2013.已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为A,求矩阵.T,(,(ATT212314.设，有一个特征向量，求的值，并求出对应A5ab1ab,121于的特征值。33115.设6.设，有一个特征向量，求的值。st,At22213s3001有三个线性无关的特征向量，求满足的条件。Ax1yxy,100ab7.求正交阵，使P为对角阵，其中。P1Aba8.设三阶矩阵的特征值为-1,2,5，矩阵3AA2，求AB（1）的特征值；B（2）可否对角化，若可对角化求出与相似的对角阵；BB（3）求.B,A3E341112529.已知矩阵与相似，A24B233y（1）求；y（2）求一个满足的可逆阵。PP1B53210.设,求.A644A445四、证明题11.设是非奇异阵,是的任一特征根,求证是的一个特征根,并且AAA1A1关于的特征向量也是关于的特征向量.1A2.设,求证的特征根只能是.A1A2E3.设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵B相似于.BAnA4.证明:相似矩阵具有相同的特征值.5.设n阶矩阵，如果，证明：-1是的特征值。AAEr(AE)r(AE)n6.设，证明。kABABk7.设,是n阶矩阵分别属于的特征向量，且参考答案，证明不,11A12是的特征向量。2212A第五章一、单项选择题1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10.c11.b12.a13.a14.c15.b16.b17.a18.a二、填空题2.1,-11.03.04.0,15.4I6.7.78.1,29.单位10.24I11.-17,-12三、计算题35113020111.4.2.(1)(2)3.a,,1)211211320111125.6.ab0,1s9,26t0xy11,4ab02278.(1)-4,2,-10(2),P1APP2110ab1022111(3)89.（1）（2）特征值2,2,6；p102y01331002(2233110010010010010.2(234232(31001001001001002(32(13)231100100100一、单项选择题1．阶对称矩阵正定的充分必要条件是（nA存在阶阵C，使T(a)A0(b)ACC负惯性指数为零各阶顺序主子式为正(c)(d)2．设为n阶方阵，则下列结论正确的是（AA必与一对角阵合同若AA正定若A与(c)(a)(b)正定阵B合同，则A正定若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同(d)3．设A，则下列结论不正确的是（A可逆1正定A的所有元素为正任给(a)(b)(c)(d)AX(x,x,,x)0,均有XA0TT12n4．方阵A正定的充要条件是（A的各阶顺序主子式为正；1是正定阵；(a)(b)A36A的所有特征值均大于零；是正定阵。(c)(d)AAT5．下列为二次型的是（f(x,y,z)(a)(b)(c)(d)2222226．设A、B为n阶方阵，且则A=B的充要X(x,x,,x)TXXTT12n条件是（，，(a)r(A)r(B)(b)(c)(d)BBATABBATATT7．正定二次