理论和数字电路电子课件拷贝

§5.4卷积与零状态响应一.卷积积分：1.卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即:证明：∵§5.4卷积与零状态响应∵任意信号f(t)可以分解为宽度为的无穷多个窄脉冲信号的迭加信号迭加：响应迭加：当n→∞，或时，任意信号：任意信号产生的零状态响应：§5.4卷积零状态响应∵对于一切物理可实现系统（因果系统），t<0时，h(t)=0，而由于时，。∴积分上限应为t。又如果输入的信号是单边的，则积分下限应为t0（或0）§5.4卷积与零状态响应2.物理意义：

LTIS在任意时刻t对任意激励的零状态响应等于从激励函数开始作用的时刻（）到指定时刻（）区间内，无穷多个幅度不同，连续出现的冲击响应的总和。这就是说，输入f(t)从t=t0到t这段时间内电路的连续作用，可以用一序列冲击信号对电路激励去等效，每个冲击信号的强度为，相应的响应为，就是输入冲击信号的瞬间，而t可以理解为观察这个输入作用引起响应的瞬间。∵时刻作用的信号，到t时刻才观察到输出，这之间时间差值即为。即可以理解电路对输入作用的记忆时间。∵不能为负，∴积分上限只能取到t，而不能到∞。其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例，并赋予物理意义。§5.4卷积与零状态响应二.利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法：方法步骤:

（1）求出系统的冲击响应h(t)

（2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs(t)例1：已知图示电路，（1）输入为A电流，求响应iL(t)。（2）输入为A电流，求响应i’L(t)解:1.（1）求得电路的冲击响应：∵电路KCL：§5.4卷积与零状态响应（2）卷积求yzs(t)2.§5.4卷积与零状态响应例2.已知一LTI网络，冲击响应为，求当输入信号为矩形波时的零状态响应。解：∵输入信号f(t)=U(t)-U(t-1),（1）当U(t)激励时，其响应为yzs1(t)（2）求U(t-1)激励时的响应：根据延时不变性可得：§5.4卷积与零状态响应（3）求f(t)激励时的响应：根据LTIS的线性性：三.LTIS的完全响应：利用卷积求得系统零状态响应，再与系统零输入响应叠加，即求得系统的完全响应为：（设系统特征根互异）§5.4卷积与零状态响应四.卷积积分限的确定1.卷积的图形解释：卷积实际上是一种数学工具，我们可以用图解法来清楚的说明其含义。设：（1）褶叠：（将横轴t→，对褶过去）（2）平移（3）相乘积分§5.4卷积与零状态响应§5.4卷积零状态响应2.卷积积分积分限的确定原则：若函数的非零值左边界（即函数不为0的最小值）分别为tl1和tl2，其非零值右边界（即最大的值）分别为tr1和tr2，则积分下限为max[tl1,tl2]，上限为min[tr1,tr2]。即积分下限取它们左边界的最大者，而积分上限取它们右边界中的最小者。其余例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。解：（1）写出表达式：t<0t>0§5.4卷积与零状态响应（2）计算卷积积分：ⅰ.t<0，无重叠。

ⅱ.0≤t≤a，tl1=0,tl2=-∞,选tr1=a,tr2=t§5.4卷积零状态响应ⅲ.t≥a，tl1=0,tl2=-∞，tr1=a,tr2=t选tl1=0,tr=0§5.4卷积零状态响应五.叠加积分（杜阿美尔Duhamel积分）如果我们将LTIS任意激励信号分解为一系列阶跃函数，则我们可以用同样的方法推理得：定理：任一LTI电路系统的零状态响应是输入任意激励函数的导数f(1)(t)与系统阶跃响应g(t)的杜阿美尔积分。上式中，0－是为了表示被积函数f(1)(t)在t=0处的跳变，有跳变时:则：§5.5卷积的性质§5.5卷积的性质一.卷积代数1.交换律：物理意义：在卷积积分中的两个被积函数次序是可以交换的。§5.5卷积的性质2.分配律：（表并联）物理意义：若有两个系统并联，（其系统冲击响应为f2，f3）它在激励f1的作用下的零状态响应等于这两个系统分别与f1响应的叠加。即并联系统的冲击响应等于各并联子系统冲击响应之和.§5.5卷积的性质3.结合律：（表串联）证明：物理意义：串联系统冲击响应等于串联子系统冲击响应的卷积§5.5卷积的性质二.卷积的微分和积分：1.微分：物理意义：若系统冲击响应为f2(t)，激励为f1(t).则零状态响应yzs(t)=f1(t)*f2(t)，那么这个响应的导数，就应该是由冲击响应为的新系统在输入f1(t)作用下的零状态响应。这就是说，两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数之卷积。§5.5卷积的性质证明：同理可证第二等式§5.5卷积的性质2.积分这就是说，两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数之卷积。证明：§5.5卷积的性质3.高阶导数和多重积分设：则有：推论：例：§5.5卷积的性质

三、与冲击函数或阶跃函数的卷积

1、与冲击函数的卷积：这就是说函数与单位冲击函数的卷积仍然是函数本身证明：或写为抽样性§5.5卷积的性质

推论：

这就是说函数与延迟的单位冲击信号相卷积的结果，相当于把函数本身延迟了2、与阶跃信号的卷积：§5.5卷积的性质证：积分特性§5.5卷积的性质

对于一些简单情况，系统的零状态响应可由卷积积分直接求出，但对于复杂情况，积分还是困难的，但已制得了一些卷积积分表，可供查用，同时卷积积分还可以用近似的数值计算方法求得。这样就可用计算机计算。I/O时域分析愈来愈受重视例1、计算§5.5卷积的性质解：原式§5.5卷积的性质例2、图示系统是由几个子系统组成的，各个子系统的冲击响应分别为：若激励试求总系统的零状态响应

§5.5卷积的性质解（1）求h(t):对因果系统而言，串联系统的冲击响应等于各串联子系