2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）（附答案详解）

2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.复数z=（1+2/）的实部为（）

A.-2B.0C.1D.2

2.定义集合4-8={划乂€4且无08}.已知集合4={0,2,4,5},B={-1,0,3）,则4-

B=（）

A.{0}B.{-1,3}

C.{2,4,5}D.{-1,0,234.5}

3.若方程M+y2+6%+巾=o表示•一个圆，则ni的取值范围是（）

A.（―8,9）B.（―8,—9）C.（9,+oo）D.（―9,+8）

4.曲线y=%6一尢在点（1,0）处的切线方程为（）

A.y=4x-4B.y=5x-5C.y=6x—6D.y=7x-7

5.甲和乙约定周日早上在学校门口见面，当天先到者等未到者20分钟，超过20分钟

对方未到就离开.当天早上，乙将在6点40分到7点50分之间任意时刻到达学校门

口，甲于7点10分到达学校门口，则两人可以碰面的概率为（）

A.；B.|C.；D.|

7777

6.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元）对

年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销

售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为y=

bx-8.2,则下列结论错误的是（）

X4681012

yi571418

A.x,y之间呈正相关关系

B-b=2.15

C.该回归直线一定经过点（8,7）

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800

件

7.2sinl40°+cos700=()

A.V3sinll0°B.V3smll0°+2s比20°

C.V3cosll0°D.V3cosll00+2sin20°

8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则输入的实

数x的取值共有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

9.已知函数/(x)=lgx,现有下列四个命题:

①/(2),/(V10)，/(5)成等差数歹(I；

②f(2)，f(4),f(8)成等差数列;

③f(2),f(12),f(72)成等比数列;

④/(2)，f(4)，f(16)成等比数列.

其中所有真命题的序号是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

10.已知|而|=|荏|=2,|而|=1,贝市+3南|=()

A.2B.4C.V10D.715

11.函数/1(*)=4sin(3%+<p)(4>0,3>0,[*|<兀)的部分图象如图所示,现将/(%)

的图象向右平移汽单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在区间已知上

的值域为()

A.[―V2,2]D.[0,2]

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12.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16国cm2的正三角

形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯

可放置圆柱形冰块的最大体积为（）

A.3V3?rcm3B.8>/37rcm3C.25^^7rcm3D.9y/3ncm3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知f（x）为奇函数，当x>0时，/（%）=无：°2：至2'则箫=.

14.在四棱锥P-4BCC中，底面4BCD是矩形，P4_L底面4BCD,且P4=4B,AD=

痘AB，贝i」tan"lPC=.

15.△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4s讥=siMA,cosB="4>

16

<=——•

16.设P为椭圆M：=+y2=i和双曲线N：/一乃=i的一个公共点，且p在第一象限,

86

F是M的左焦点，则”的离心率为,|PF|=.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中阻隔口

腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩.按照我国医药行业标准，口罩对细菌的

过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品.某部门为了检测一批口罩

对细菌的过滤效率，随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照

[95,96）,[96,97）,[97,98）,[98,99）,[99,100]分成5组，制成如图所示的频率分布

直方图.

（1）求图中m的值及这200个口罩中优等品的频率；

（2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98,99）和[99,100]

两组中抽取21个口罩，已知过滤效率百分比低于99%的检测费为每个8元，不低于

99%的检测费为每个12元，求这21个口罩的检测总费用.

:狠率/组距

0.30

m

0.20

0.15

0.10

0

96979899100x(%)

22

18.已知I?+2+…+於=-n(n4-l)(2n+1),数列｛an｝满足an+i-an=n4-2n4-

1,%=1.

(1)求｛an｝的通项公式;

(2)设匕=悬，求数歹式*｝的前n项和及•

19.如图，在三棱柱中，点Bi在底面4BC内的射

影恰好是点C.

(1)若点。是4C的中点，且DA=DB,证明：AB1CCr.

(2)已知BiG=2,B]=2同求ABCQ的周长.

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20.已知函数/'(x)=——(a+1)仇x(a¥-1).

(1)当a=0时，求/'(X)的单调区间；

(2)若/'(%)>(a2-a)lnx^ixe(1,+8)恒成立，求a的取值范围.

21.已知直线1：x+2=0,M为平面内一动点，过M作/的垂线，垂足为N,且丽•而=

0(。为坐标原点)，动点M的轨迹记为2

(1)证明。为抛物线，并指出它的焦点坐标.

(2)已知P(0,l),直线x—丫+1=0«<0)与。交于4B两点，直线P4,PB与。的

另一交点分别是C,D,证明：AB//CD.

22.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有

笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点。为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心

型曲线，其极坐标方程为p=1-stn0(O<0<2n,p>0),

M为该曲线上一动点.

(1)当10Ml=3时,求M的直角坐标；

(2)若射线0M逆时针旋转5后与该曲线交于点N,求^OMN面积的最大值.

23.已知正数a,b,c,d满足/++c2+=i,证明:

(1)0<ac+bd<I；

If2)—十4-匕-2十+—c2十4--产一>36

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：丫z=i(l+2i3)=i+2i4=2+i,

•••z的实部为2.

故选：D.

根据已知条件，结合复数实部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了复数实部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解:已知集合2={0,2,4,5},B=[-1,0,3),

又集合4-B=(x\xG4且x0B},

则={2,4,5},

故选：C.

由集合a-B的定义求解即可.

本题考查了集合的运算，属基础题.

3.【答案】A

【解析】解：：x2+y2+6x+m=0表示一个圆，

•••(x+3)2+y2=9-m>0,解得m<9,

故m的取值范围是(-8,9).

故选：A.

运用配方法，结合圆的标准方程的特征，即可求解.

本题主要考查圆的一般方程，考查配方法，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为y'=6x5—i,

所以曲线y=x6-x在点(1,0)处的切线的斜率为6-1=5,

故所求切线方程为y=5x—5.

故选:B.

求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.

本题考查函数导数的应用，切线的斜率以及切线方程的求法，是中档题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意乙在6点50分至7点30分到达学校门口，两人可以碰面，

二两人可以碰面的概率为P=需=:

故选：C.

根据题意，利用几何概型的概率计算公式直接求解.

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由表中数据可得，1=2x(4+6+8+10+12)=8,3=：x(l+5+7+

14+18)=9,

故回归直线一定经过点(8,9),

故9=8b-8.2,解得b=2.15，故AB正确，C错误，

将x=20代入丫_2,15%-8.2,解得y=34,8,

故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，故

。正确.

故选：C.

根据已知条件，求出，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依次求解.

本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

7.【答案】A

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【解析】解:2sinl400+cos700=2stn(1100+30。)+cos700=V3sinll00+cosll00+

cos70°=V3sinll0°.

故选：A.

由已知结合两角和的正弦公式进行化简即可求解.

本题主要考查了两角和的正弦公式的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由程序框图可知，该循环需循环2次输出结果，

则输出S=(X2—I)2—1,令(%2—1)2—1=0,解得％-0或X=+V2,

故输入的实数x的取值共有3个.

故选：C.

由程序框图可知，0=(/一1)2一1,解出工,即可求解.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

9.【答案】D

【解析】解：对于①，/(2)+/(5)=1g2+lg5=IglO=1,2/(V10)=21g同=1,

故/(2),/(VlO),f(5)成等差数列，故是真命题；

对于②,f(2)+/(8)=lg2+lg8=lgl6,2/(4)=21g4=lgl6,

故f(2),f(4),f(8)成等差数列,故是真命题；

对于③，"2)③(72)=lg2-lg72<(0产)2=ig212=产①)，

故〃2),/(12),f(72)不成等比数列，故是假命题；

对于④，/(2)/(16)=lg2lgl6=4lg22=(2S2产=lg24=用(4),

故/(2)，f(4),f(16)成等比数列,故是真命题；

故选：D.

由对数运算及等比数列与等差数列的性质依次判断即可.

本题考查了等比数列及等差数列性质应用及对数运算性质的应用，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：由题意，可得|而|=|荏|=|而-福

即次?=(05-0^4)2=OB*2-*420^-05+O42，

又|配=2,\OB\=1,

代人可得4=1-2OX-OB+4，解得万-=1.

所以|云+3而|=J(OA+3OB)2=JoA2+6OAOB+9OB2=^4+6x|+9=

4,

故选：B.

^\OA\=\AB\=\OB-OA\,两边平方可得正•丽=也再由向量|以f+3丽|=

J(6?+3赤》展开代人求解即可.

本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题.

11.【答案】C

【解析】解：根据函数f(%)=Asin(cox+@)(4>

0,CO>0,\(p\<7T)的部分图象,

—rzpil27rUTT7n-

可得丁2737=I7N7一I行N，二3=3.

结合五点法作图，3x工+0=2兀，0=不故

/(%)=Asin(3x+》

再把点G，-1)代入，可得-1=Asi樗+》

/Z4

4=V2)/(x)=V2sin(3x+》

现将的图象向右平移J个单位长度，

得到函数y=g(x)=夜sin(3x-》的图象，

在区间吟，匀上，3%一"[0,兀],

g(x)=V2sin(3x-^)6[0,V2],

故选：C.

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由周期求出3,由五点法作图求出3的值，由特殊点坐标求出4可得函数的解析式.再

根据函数y=尔讥3%+9)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查由函数'=4S讥(3X+s)的部分图象求解析式，由周期求出3,由五点法

作图求出尹的值，由特殊点坐标求出4函数y=Asin(3x+s)的图象变换规律，正弦函

数的图象和性质，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为Rem,圆柱形冰块的底面圆半径为xcm,高为/icm,

由题意得更x(2/?)2=16曲,解得R=4,

h<tan^-(/?-%)=V3(4-%),(0<x<4),

设圆柱形冰块的体积为Vcm3,

则V<V3TTX2(4—%)(0<%<4),

设/(%)=V3TTX2(4—x),则((x)=V3TTX(8-3%),

当0V%<g时，/'(%)>0,当g<XV4时，，f(x)<0,

・•・f(%)=V37rx2(4—%)在％=|处取得极大值，也是最大值，

."丫、-f_2566兀

・・/\,X)max—/J1—27,

•••酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为史史史.

27

故选：C.

先求出圆锥的底面圆半径，设冰方法能为的底面圆半径为xcm,用x表达出冰块的体积，

利用导函数求出冰块体积的最大值.

本题考查酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积的求法,考查圆锥、圆柱的性质、导数性质、

函数极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】-3

【解析】解：根据题意，当x>0时，/(©=女工12，

则f(l)=21=2,/(4)=4+2=6,

又由/'(X)为奇函数，贝(1/(-4)=-/(4)=-6,

故篇=*-3

故答案为：一3.

根据题意，由函数的解析式求出/(I)和/(4)的值，结合奇偶性求出/(-4)的值，进而计

算可得答案.

本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

14.【答案】2

【解析】解：••・PAJ•底面4BCD,ACu底面4BCD,

PA1AC,

设力B=l,则P4=l,AD=y/3,AC=>JAD2+CD2=2,

AC

・•・tanz>lPC=—=2.

PA

故答案为：2.

推导出P力，AC,令4B=1,即可求出24,AC,再由锐角三角函数能求出结果.

本题考查空间角的正切值的求法，空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.【答案】|

【解析】解：因为4s讥2。=siMA,

所以由正弦定理可得4c2=Q2,可得Q=2C,

5

因为cosB=——=—，

16

4c2+c2-b25

所以—，

4c216

解得:=|.

b5

故答案为：|.

由已知利用正弦定理可得a=2c,进而根据余弦定理即可求解(的值.

本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

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16.【答案】理1+2企

4

【解析】解：M的离心率6=1-3=且；

784

设M的右焦点为『'，因为8-1=1+6,且M与N的焦点都在x轴上，

所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，

所以|PF|+\PF'\=2我=4V2,\PF\-\PF'\=2,

解得|PF|=1+2V2.

故答案为：江；1+2夜.

4

根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆

和双曲线的定义即可得出答案.

本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由图可知，m=1-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25,

这200个口罩中优等品的频率为0.25+0.1=0.35；

(2)因为zn=0.25,所以从［98,99)中抽取x21=15个，从［99,100］中抽取£^匚x

21=6个,

故这21个口罩的检测总费用为15X8+6X12=192元.

【解析】(1)由频率分布直方图求出第4组的频率，由此能求出从而可估计这200个

口罩中优等品的频率.

(2)先利用分层抽样，求出后两组中所抽取的人数，然后由过滤效率百分比低于99%的

检测费为每个8元，不低于99%的检测费为每个12元求解即可..

本题考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，是基础题，解题时要认真审题，注意

频率分布直方图、列举法的合理运用.

18.【答案】解：(1)因为叫+1-即="+2n+1=(n+1)2,

222

所以a?-Oi=2,a3-a2=3,---,an-an_x=n(n>2),

222

以上各式相加得，an-ar=2+3---1-n(n>2),

又%=1,所以即=I2+224---1-n2=-n(n+l)(2n+1),

6

当n=1时，ai=1=ix1x(1+1)x(2x1+1),满足上式，

6

nn

故｛an｝的通项公式为an=7(+1)(2几+1).

(2)由(1)知，砥=磊=3"«+1),

所以怖=就五=6y)，

^5n=6x(l-|+i-i+-+l-^)=6x(l-^)=^

【解析】⑴根据配方法，累加法，结合题目已知等式，可得解，注意检验n=l的情形；

(2)采用裂项求和法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握累加法与裂项求和法是解题的关

键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：••・点当在底面4BC内的射影是点C,

B]CJ_平面ABC,

vABu平面ABC,BrC1.AB.

在△4BC中，DA=DB=DC,：.BCLAB,

•••BCClBXC=C,481平面BCC®

vTlBlCCv

(2)解：(方法一)延长BC至点E,使BC=CE,

连接C】E,则BIG^CE，四边形BICECI为平行四边形，

则

由(1)知BiC_L平面4BC,J.GE_L平面ABC,

；•C\E1CE,CrE±BE,

C\E=B[C=2V3,CE=BC=BJCJ=2,BE=4.

2222

•••CCj=y/CE+CrE=4，BC]=y/C^E+BE=2夕,

BCG的周长为2+4+2近=6+2V7.

(方法二)在Rt△&CC1中，CCi=y/B^+B^=4,

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tan4B[CCi=衿=£则用道的=三

ojC3b

n,Tt2n

乙BCC]=~+~=~f

OZ3

・・•BC=B]C]=2,

二由余弦定理得BCi=(22+42-2x2x4cosy=2夕，

BCG的周长为6+2夕.

【解析】(1)推导出BiC1.平面ABC,BrCLAB.BCA.AB,从而4BL平面BC^Bi,由此

能证明ABICC].

(2)法一：延长BC至点E,使BC=CE,连接GE,推导出四边形BREG为平行四边形，

从而GE1平面ABC,GEJ.CE,CrE1BE,由此能求出△BCC】的周长.

法二：在Rt△BiCG中，=JBQ+Bi*=4,tan/BiCG=釜'=*则4口道6=

也由余弦定理求出BQ,由此能求出ABCQ的周长.

本题考查线线垂直的证明，考查三角形周长的求法，空间中直线与直线、直线与平面及

平面与平面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(l)f(x)的定义域为(0,+8)....(1分)

当a=0时，(无)=2x-i=...(2分)

当xe(0当时，f(x)<0,则"%)的单调递减区间为(0,果，……(4分)

当xeq,+8)时，f(x)>0,则/(x)的单调递增区间为(日,+8)…….(6分)

(2)由/(%)>(a2-Q)Znx对xG(1,+8)恒成立，得卢+i<今对％6(1,+8)恒成

立.....(7分)

设九(%)=^(x>1),则"(%)=*：；/).当工£(1,Vi)时，"(%)<0；当％e(yje,+8)时,

〃(x)>0...(9分)

所以=%(近)=23,(10分)

则小+1422,……(11分)

解得一-1WaW72e—1，

故a的取值范围是[T2e-1,、2"1]...(12分)

【解析】(1)当a=。时，求得/'(x)=宁。>0),进而可求得/(%)的单调区间；

2

(2)/(%)>(a2-a)lnx^txE(1,+8)恒成立一a24-1<对%€(1,+8)恒成立,构造

函数无(X)=条(%>1)，求导分析，可求得其最小值为2e,再解不等式。2+1<2e即可•

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力,

属于中档题

21.【答案】(1)证明：设M(x,y),则N(—2,y),OM=(x,y)>ON=(—2,y),

因为丽•而=0，所以—2x+y2=o,

则。的方程为y2=2x,

故。为抛物线，且焦点坐标为G，。)；

D

(2)证明：设4(%i，yi),8(*2，先)，。(右，乃)，(x4,y4),

联立2：；,,得y2—2y+2t=0,

则4=4—8t>0,yi+丫2=2,y1y2=23

直线PA的方程为y=/3》+1,

y1

联立]yi,得(yi-l)y2-yly+yf=0,

(y2=2x,

由韦达定理得为y,3=恶，

所以丫3=合，同理可得以=急，

“_、4一、3_九一为_2_2_2[yy-(yi+y2)+l]_2(2t-2+l)_1

则“CD一行一23一诉一汽+安-21y仍2-m+%一2X21一I，

22

得kcD=kAB=l，所以4B〃CD.

【解析】(1)设M(x,y),利用丽•丽=0得到方程，整理后得到答案；

(2)将直线x-y+t=0(t<0)与抛物线联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，

进而表达出直线P4与直线PB,联立抛物线方程后得到C,。点的纵坐标，求出直线C