2022年重庆市名校联盟高考数学第一次联考试卷（附答案详解）

2022年重庆市名校联盟高考数学第一次联考试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)

1.已知集合4={划―1<x<3},B={-1,0,2,3},则4nB=()

A.{-1,0,2,3}B.[0,3}C.[0,2}D.{0,2,3}

2.复数z满足z(l+i)=1-2为虚数单位)，则z的模为()

A.-gB.C.1D.V2

3.已知正方体4BC0-&81C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2,

则该球的表面积是()

A.67rB.127rC.187rD.247r

4.已知椭圆C：捺+，=1缶>6>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,离心率为争过Fz

的直线，交C于4、B两点，若AAFiB的周长为4b，则C的方程为()

A.互+叱=1B.比+y2=iC.比+叱=1D.式+廿=1

323J128124

5.设等差数列{即}的前n项和为，，若。5+。6=。2+4,则S】7=()

A.4B.17C.68D.136

6.函数/(x)=(右一1)5出工图象的大致形状是()

7.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不

排在两端，不同的排法共有()

A.1440种B.960种C.720种D.480种

8.若函数/(x)满足/(x)=/(x+2),且当xe时，/(x)=x2,则函数y=f(x)与

函数y=lg|x|的图像的交点个数为()

A.18个B.16个C.14个D.10个

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.若(x+》n的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项

为()

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

10.已知向量五=(2,1),K==(m-2,-n),其中771,71均为正数，且0-b)//cy

下列说法正确的是()

A.己与方的夹角为钝角B.向量五在市方向上的投影为噂

C.2m+n=4D.mn的最大值为2

11.如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪

些函数能与函数y=一工构成类偶函数对()

A./(x)=2*+xB./(%)=x2-x—3

C./(%)=Inx+2D./(x)=2+y/x+2

12.在平面直角坐标系中,0为坐标原点,抛物线y2=2Px(p>0)的焦点为F,点

4Q1，yi),8(亚,，2)都在抛物线上，且同+而+而=0»则下列结论正确的是()

A.抛物线方程为y2=2xB.尸是4ABM的重心

C.\FA\+\FM\+\FB\=6D.SlAF0+SlBF0+SlMF0=3

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设随机变量X服从正态分布N(2,M).若p(x>0)=0.9,则P(2<X<4)=.

14.已知cos0=-|,则cos2。的值为.

15.已知函数/(无)=-a,若/'(x)</在(1,+8)上恒成立，则实数a的取值范围是

16.已知直三棱柱的侧棱长为2,AB1BC,AB=BC=2,过AB,的

中点E,F作平面a与平面44GC垂直，则平面a与该直三棱柱所得截面的周长为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知等差数列｛0｝的前71项和为%,且£12=3,S$=25.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(U)设匕=an+2f求数列｛当｝的前n项和%.

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18.Ai48c中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且bsim4cosc=Q(遍cos4—

cosBstnC).

(1)求4

(2)若△口(；的外接圆半径为2,且6-。=会求UBC的面积.

19.如图，四边形ABCC是正方形，P41平面A8CD,

EB//PA,AB=PA=4,EB=2,F为P0的中点.

(I)求证：AFLPC；

(II)求证：BD〃平面PEC；

(HI)求二面角D-PC-E的大小.

20.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分

析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗

种子中的发芽数，得到如下资料:

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

温差x(°C)101113128

发芽数y(颗)2325302616

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性

回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

(I)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;

(II)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据,

求出y关于x的线性回归方程夕=bx+a；

幻_E之工4yt-"而A_A_

参考公式:%式XT2一%常-逐'a=y-bx-

21.已知椭圆C：捻+、=l(a>b>0)的离心率为右左、右焦点分别为％尸2,过点

P(0,3)的动直线［与C交于A,B两点，且当动直线Z与y轴重合时，四边形的

面积为2遍.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与△AB&的面积之比为2：1,求直线(的方程.

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22.己知函数/'(%)=1%2—/?x4-Inx.

(1)讨论函数/。)的单调性；

X

(2)设%1，X2(1<无2)是函数f(X)的两个极值点，若b>n且f(%l)-f(%2)N々恒

成立，求实数k的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4={x|-l<x<3},

B={-1,0,2,3},

AC\B={0,2].

故选：C.

利用交集的定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•・・z•(1+i)=1-i,

l-i(i-o2

:.z=—=——=—I,

1+i(l+t)(l-i)

|z|=1,

故选：C.

利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出.

本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：正方体ABCO-AiBiGDi的八个顶点在同一个球面上,

若正方体的棱长是2,

设外接球的半径为r,

则(2r)2=22+22+22=12,解得r=遮，

故球的直径为2次，

球的表面积为S=4X7TX(V3)2=127r.

故选：B.

首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.

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本题考查了正方体外接球表面积的计算，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基

础题.

利用AAFiB的周长为4次，求出a=遍，根据离心率为4，可得c=l,求出b,即可得

出椭圆的方程.

【解答】

解：的周长为4百，

且aAFiB的周长为+\AF2\+田&|+\BF2\=2a+2a=4a,

・•・4a=45/3»

:.a=遮，

•••离心率为立，

3

:.上=叵,解得c=l,

a3

:.b=y/a2—c2=V2，

椭圆C的方程为日+艺=1.

32

故答案选：A.

5.【答案】C

【解析】解：由｛an｝是等差数列，得+a6=a2+a9）

乂Q5+。6=。2+4，■（导。9=4，

所以S”=+a17）=17a9=17x4=68.

故选：C.

由题意易知。9=4,从而根据S17=17a9即可求解.

本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：/(%)=(上7-l)sin%=上三.sinx,

J'Kl+ex7l+ex

贝厅(一吗=-sin(-x)=•(-sinx)=需-sinx=/(x),

则/(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B,D,

当x=l时，/(I)=--sinl<0,排除4,

故选：C.

根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用〃1)的值的符号是否对应进行排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对

应性利用排除法是解决本题的关键.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了分步乘法计数原理，排列，捆绑法的应用，属于基础题.

因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所

以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，再将2位老人进行排列即可求解.

【解答】

解：可分3步.

第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有房=20种排法，

第二步，2位老人相邻，把2位老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有用=24种

排法，

第三步，2位老人之间的排列，有掰=2种排法，

最后，三步相乘，共有20x24x2=960种排法.

故选B.

8.【答案】A

【解析】解：因f(x+2)=f(x),

所以函数/(x)是以2为周期的周期函数,

又当时，/(x)=x2,

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则有函数y=f(x)与函数y=lg|x|都是偶函数，

在同一坐标系内作出函数y=/(x)(x>一1)与函数y=Zgx的图像，如图,

观察图像得，函数y=/(x)(x>0)与函数y=S工的图像有9个交点，由偶函数的性质知,

两函数图像在久<。时有9个交点，

所以函数y=/(x)与函数y=lg|x|的图像的交点个数为18.

故选：A.

根据给定函数等式推导可得/(x)的周期，再画出函数y=/(%)(%>一1)与函数y=Igx

的图像，借助图像及函数奇偶性质即可得解.

本题考查了函数的奇偶性、周期性及数形结合思想，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：展开式的第3项为73=喋/-2(》2,第&项为1=第P-《了，

则鬣=鬃，则n=9,

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项与第6项，

故选：BC.

求出展开式的第3项与第8项的系数，由此求出践的值，再根据二项式系数的性质即可求

解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】CD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,向量三=(2,1),b=(1,-1)，则=2—1=1>0，则方、方的夹角为锐角，

A错误；

对于B,向量五=(2,1),6=(1,-1))则向量a在b方向上的投影为需=孝，8错误；

对于C,向量3=(2,1),h=(1,一1),则五一石=(1,2),若位一方)〃乙则(一8)=2(m-2),

变形可得2m+zi=4,C正确；

对于。，由C的结论，2m+n=4,而m,n均为正数，则有?nn=(2m-n)<,(也罗7=2,

即mn的最大值为2,。正确；

故选：CD.

根据题意，对于力、B,由向量数量积的性质分析可得48错误，对于C,由向量平行的

表示方法(—n)=2(m—2),变形可得2ni+n=4,可得C正确，对于D,由C的结论，

2m+n=4,结合基本不等式的性质分析可得mn的最大值，可得。正确，综合可得答

案.

本题考查向量平行的坐标表示，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，函数丁=%与旷=-乂的图象关于y轴对称，若函数/(%)能与函

数y=-x构成类偶函数对，

则函数/(x)与函数y=x存在交点，

依次分析选项：

对于4,f(x)=2x+x,有号二。+”,联立可得2、+x=x,即尹=0,方程无解，

不能与函数y=-x构成类偶函数对，不符合题意；

对于8,/(%)=X2—x—3,有二:*3,联立可得%—3=%,即产—2x—

3=0,存在两个根，能与函数丁=-%构成类偶函数对，符合题意；

对于C,/(x)=Inx+2,有+联立可得m％+2=%,即lnx=2—x,在区

间(1,2)存在一个根，能与函数丫=-x构成类偶函数对，符合题意；

对于D，/(x)=2+〃+2,有,二j+"+之,联立可得2+Vx+2=x,变形可得

x2-5x+2=0(x>2),存在一个根，能与函数旷=一》构成类偶函数对，符合题意；

故选：BCD.

根据题意，由“类偶函数对”的定义依次分析选项中函数是否能与函数y=-x构成类

偶函数对，综合可得答案.

本题考查函数与方程的关系，注意理解”类偶函数对”的定义，属于中档题.

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12.【答案】BCD

【解析】解：对于4,由"(1,2)在抛物线上可得4=2p,即抛物线方程为y2=4x,故A

错误；

对于B,分别取AB,AM的中点。，E,则源+而=2而，FM=-2FD.

即尸在中线MD上，同理可得产也在中线BE上，所以F是AABM的重心，故8正确；

对于C,由抛物线的定义可得|启|=/+1，|而|=2，|而|=犯+1，

所以|可|+|前|+|而|=匕+&+4，

由尸(1,0)是AABM的重心，所以土产=1,即/+%2=2,

所以得|西|+|而|+|而|=%1+上+4=6，故C正确；

对于D,ShAF0=1\OF\\y1\,SlAF0=；yi=Xi，

同理S18F0=x2'S^MFO=1，

所S〃FO+S3FO+S&MFO=3,故。正确；

故选：BCD.

把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F是AABM的重心，利用抛物线的定义

可得|同|+|询|+|而|=6，利用三角形面积公式及与+上=2,可得％FO+

S^BFO+S友MF0=3.

本题考查了抛物线的定义，标准方程及简单几何性质，属于中档题.

13.【答案】0.4

【解析】解：•.•随机变量X服从正态分布N(2,02),

二该正态分布曲线的对称轴为x=2,即P(X<2)=P(X>2)=0.5,

又•••P(X>0)=0.9,

•••P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=0.4.

故答案为:0.4.

根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键,

属于基础题.

14.(答案1—

【解析】解：cosd=则cos2。=2cos2。-1=2x卷一1=一女，

故答案为：一

由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果.

本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

15.【答案】［-1,+8)

【解析】解：若f(x)<%2在(1,+8)上恒成立，

则等价为Inx-a<工2在(1,+8)上恒成立，

即"x—x2<a在(1,+8)上恒成立，

设/i(x)=Inx—x2,

则〃(x)=；-2x=亨，

当x21时，即九(无)在口,+8)上为减函数，

则当x>1时，h(x)<ft⑴=1-2=-1,

则a>-1,

故答案为：［—1,+8).

利用参数分类法，转化求函数的最值问题，构造函数求函数的导数，利用导数法进行求

解即可.

本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法是解决本题的关键.综合

性较强.

16.【答案】3或+巡

【解析】解：如图所示，取4C的中点D,连接8D,取&G的中点5，连接当5，

取4的中点G,连接EG,连接EF,

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B

分别取Ci5，BiCi的中点M,N,连接MN,FN,GM,

可得EG//BD,BD“B\Di，MN//BM，即有EG〃MN,

又由4B=BC,可得BDJLHC,

因为AG_L平面ABC,可得44i±BO,所以BD_L平面4&GC,

可得EGJ_平面A4[CiC,

由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF，平面A&CiC,

则平面EGMNF即为平面a,

由EG=抑。=曰,GM=V4+2=V6.M/V=物劣=曰,NF=VTTT=yf2,FE=V2.

可得所得截面周长为当X2+V6+V2X2=3A/2+V6.

故答案为：3&+e.

结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理,

作出平面a,运用勾股定理，计算可得所求值.

本题考查面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，考查学生的运算能力

及推理能力，属于中档题.

17.【答案】解：(I)设等差数列｛6｝公差为d,首项为的，

则有*七，,解得伸=J,

(5a3=5(%+2a)=25Id=2

所以an=a1+(7i—l)d=1+2(ri-1)=2n—1,

即数列｛即｝的通项公式的=2n—1；

(口也=即+2nt=(2n-1)+2f

所以％=幽t|0+W=层+2n—1.

【解析】（1）设等差数列｛a九｝公差为d,首项为由,根据条件列出方程组求解的,d,代

入通项公式可得结果；

（口）采用分组求和法求和即可.

本题考查了等差数列通项公式，分组求和的知识，属于基础题.

18.【答案】解：（1）由已知及正弦定理得sinBs讥AcosC=遍cosA—cosBs讥C），

又AG（0,7T）,

・•・sinAH0,

・•・sinBcosC=陋cosA—sinCcosB^

:.sinBcosC4-cosBsinC=遍cosA,

・•・sin（B+C）=ypicosA,即sinA=V5cosA,

・•・tanA=V3»

又A6（O,TT）,

7r

•••4=-.

⑵・・•△48c的外接圆半径R=2,

:.a—2RsinA=4sin^=2A/3,

Ah-c=-=V3,

2

由余弦定理得a?=Z）2+c2—2bccosA=b2-Vc2—be=（b—c）2+be,即12=34-be,

则be=9,

・•・△力8C的面积S=-besinA=ix9x—=—.

2224

【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式结合

sinA0,可得的值，结合范围AE（0,几），可得4的值.

（2）由已知利用正弦定理可求a,b-c的值，进而根据余弦定理可求尻的值，利用三角

形的面积公式即可求解^的面积的值.

本题这一次考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，

三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.【答案】（I）证明：依题意，P4_L平面ABCD.

如图，以A为原点，分别以同、AB.都的方向为%轴、y轴、z轴的正方向，建立空间

直角坐标系.

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Zk

依题意，可得4(0,0,0),8(0,4,0),C(4,4,0),

D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2).

因为方=(2,0,2)，PC=(4,4,-4).

所以存•无=8+0+(-8)=0.

所以AF1PC.

(II)证明：取PC的中点M,连接EM.

因为M(2,2,2),'EM=(2,-2,0).BD=(4,-4,0).

所以前=2前，所以BD〃EM.

又因为EMu平面PEC,BD<t平面PEC,

所以BD〃平面PEC.

(W)解：因为4F_LP。，AF1PC,PDCPC=P,PD,PCu平面PCD,

所以4F，平面PCD,故存=(2,0,2)为平面PC。的一个法向量.

设平面PCE的法向量为元=(x,y,z),

因为定=(4,4,-4),PE=(0,4,-2).

所以爆涮:二方1

令y=-1,得％=—1,z=-2,故记=(-1,—1,—2).

仃「|、|『\---0-4V3

所以.IP.〃)=----~—=,

\/2v^\/62

由图可得二面角。-PC-E为钝二面角，

所以二面角。—PC—E的大小为

6

【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，二面角的大小的求法，考查空间中线线、

线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

(I)依题意，P4_L平面4BCD.以4为原点，分另IJ以而、AB,存的方向为％轴、y轴、z轴

的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明力FPC.

(11)取。。的中点“，连接EM.推导出BD〃EM,由此能证明BD〃平面PEC.

(HI)由AF_LPD,AF1PC,得4F_L平面PCD,求出平面PCD的法向量和平面PCE的法

向量，利用向量法能求出二面角。一PC-E的大小.

20.【答案】解：(1)设抽到不相邻两组数据为事件4

从5组数据中选取2组数据共有第=10种情况，

每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种,

所以p(a)=i_2=|

(2)由数据，求得土=1。+11+；3+12+8=12,923+25+:+26+16=

由公式，求得

2

a=y—ax=—3;

所以y关于x的线性回归方程为:=|x-3.

【解析】(1)根据题意，由组合数公式计算出从5组数据中选取2组数据的情况数目，分

析可得抽到相邻两组数据的情况的基本事件个数，再由对立事件概率公式求出答案；

(2)由表中数据，求出x,y的平均数，代入回归直线系数计算公式，可得［、；的值，即

可求出回归直线方程.

本题考查等可能事件概率的计算与用最小二乘法求线性回归方程，计算量比较大，注意

准确计算即可.

工可得炉=-a2,

21.【答案】解：(1)椭圆的离心率e24

当动直线1与y轴重合时,则|/8|=2b,这时

S四边形幺与"2=12c,2b=2bc=2聒,

所以b2c2=3,c2=a2-b2X

解得a?=4,b2=3,

所以椭圆是方程为：-+^=1;

43

(2)设直线l的方程为丫=kx+3,k手0,则直

线，与x轴的交点N(-，0),

由⑴可得焦点月(-1,0),F2(l,0),

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△ABFi与△ABF2的面积之比为2：1，

可得缈网•|力一词=2-^\F2N\■\yA-yB\,

可得|F】N|=2|F2W|,即号+1=2|一:1|=2?+1],

即-£+1=2《+1)或-/1=-2(^+1),

解得k=-9或k=-1,

所以直线[的方程为：y=-9x+3或y=-x+3,

即直线，的方程为x+y-3=0或9x+y-3=0.

【解析】(1)由椭圆的离心率可得a，b的关系，再由当动直线，与y轴重合时，四边形4F1BF2

的面积为2g可得b,c的关系，由椭圆的a,b,c之间的关系可得a,b的值，进而求出

椭圆的方程；

(2)设直线/的方程，可得直线(与x轴的交点N的坐标，由△力B&与△ABF2的面积之比为

2：1,可得伊/|=2岛川，则N在Fi的右边，可得一：+1=2|-?-1|=26+1],去

掉绝对值有两种情况，可得直线1的方程.

本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，三角形的面积的关系与线段的关

系的应用，属于中档题.

22.【答案】解：(1)八>)=[/一人+)工,则[(%)=%-6+：=