备战2022年高考数学名师预测模拟卷（上海专用）模拟卷四（解析版）

备战2022年高考名师预测模拟卷(4)

填空题(共12小题)

1.函数=的定义域为_(0,+oo)_.

【分析】先将函数解析式化为根式，进而可得要使函数有意义只要满足x>0即可.

.11

【解答】解：“=》2=十，

使函数有意义只要满足x>0即可，

故函数y=x2的定义域为：(0,+oo)；

故答案为：(0,+a>)

2.若一个圆锥的轴截面是面积为46的等边三角形，则该圆锥的表面积为

【分析】设等边三角形的边长为。，根据三角形的面积求出a的值，再计算该圆锥的表面积.

【解答】解：设等边三角形的边长为a,

则等边三角形的面积为上〃8%60。=且“2=46,解得〃=4,

24

所以该圆锥的底面圆半径为r=2,母线长为，=4,

所以圆锥的表面积为S=S底面+S侧=万•厂2=»x2?+4X2x4=12乃.

故答案为：12万.

3〃〃、5

3.lim(H----)——

?J—>OC2n—\n+\~2~

【分析】把要求极限的式子通分，然后分子分母同除以则极限可求.

【解答】解：•••3"1〃_3"("+1)+〃(2"-1)5〃、2〃

2〃―172+1(2n-1)(〃+1)2n2+〃-1

2

「z3nn...5n+In-5+5

二.hm(-----+----)=hm——；------=lim------.

2n-\n+\"T8+〃一1n12

故答案为：

2

4.已知。£{一2,-1,1,2,3},若嘉函数/0)=/为奇函数，且在(0,+oo)上递

22

减，则。=—1

【分析】由帮函数/(x)=j为奇函数，且在(0,内)上递减，得到。是奇数，且a<0，由此

能求出a的值.

【解答】解：•••ae{-2,-1,I,2,3),

22

幕函数为奇函数，且在(0,+OO)上递减，

是奇数，且avO，

故答案为：-1.

5.设嗨h兀，不等式8一一(8sina)x+cos2a..。对xwA恒成立，则a的取值范围为—[Or

【分析】由题意可得，△=64sin2Q-32cos2a,,0即2sin2a-(1一2sin2。),,0,解不等式结合

0效卜乃可求a的取值范围.

【解答】解:由题意可得,△=64sin2a-32cos2a„0,

得2sin2a-(l-2sin2a),,0

sin2a,,—，

4

1网-1

——娜ina一,

22

演h冗

「.aw[0,—>乃]-

故答案为：[O，划.

6.己知/(x)是定义域为R的偶函数，当X..0时，f(x)=x2-4x,那么，不等式/(x+2)<5

的解集是_(-7,3)_.

【分析】由偶函数性质得：/(|x+2|)=/(x+2),贝i」f(x+2)<5可变为/(|x+2|)<5,代入

己知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可.

【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(|x+2|)=/(x+2),

则/(x+2)<5可化为/(|x+21)<5,

|x+2「—4|x+2|<5,(|x+2|+1)(|x4-21-5)<0,

所以|x+2|<5,

解得-7<x<3,

所以不等式“X+2)<5的解集是(一7,3).

故答案为：(-7,3).

7.设实数x,y满足臻Ik/8,4麴E9,则£■的最大值是足.

y)

【分析】首先分析题目由实数X，y满足条件3和炉8,4麴]巨9.求W的最大值的问题.根

y)

丫2111封

据不等式的等价转换思想可得到：(二>£[16,81],代入—求解最大值即可得

yxy83y

到答案.

【解答】解：因为实数X,y满足3领b：814麴占9,

y

2

r111

则有：(一)2G[16,81]，一,

>,肛83

再根据三•=(二)2・‘？e[2,27],即当且仅当x=3,y=l取得等号，

yy外

即有二■的最大值是27.

y

故答案为:27.

8.小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若

这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为-.

~9~

【分析】将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为

空.

【解答】解：将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、内三个盒子，且盒子不

能为空.

将10个小球排好，有9个空隙，

从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分成3份，

分类方法共有C；=36种，

甲盒有1个小球的情况有8种，分别为：

(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(1,8,1),(1,7,2),(1,6,3),

(1,5,4),

甲抢到1分钱的概率为P=&=2.

369

故答案为：-

9

9.函数y=———在［-2,」］上单调递增，则实数。的取值范围是」一

x-ax-a22

【分析】由复合函数的单调性可建立关于a的不等式组，解出即可.

【解答】解；由复合函数的单调性可知，y=v一如一。在"2,-；］上为减函数，且此时

X2-0¥-。>0恒成立，

」£

.「J"2，解得

112

—+—。一。>0乙

［42

故答案为：

2

10.若集合{a,b,c,J}={1,2,3,4),且下列四个关系：

①a=l；②〃N1；③c=2；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(“，b,

c,d)的个数是6.

【分析】利用集合的相等关系，结合①a=l；②b/1；③c=2；④d/4有且只有一个是

正确的，即可得出结论.

【解答】解：由题意，a=2时，b=\,c=4,4=3；h=3,c=\,d=4；

a=3时，b=l,c=4,<7=2；/?=1»c=2,d=4；b=2,c=1»d=4；

a=4时，b=1,c=3,d=2；

符合条件的有序数组(a，b,c,d)的个数是6个.

11.已知常数a>0,函数/(幻=一二的图象经过点P(p,3、。(《一3,若2E=16pq,

2+ax55

贝！Ja=4

【分析】将P,。坐标带入，结合2小=16〃入可得。的值

【解答】解：函数/(刈=’^的图象经过点P(p/、,

2+ax55

可得9==1_,即义=一1……①；

52,+即2°6

由①x②可得：a2pq=2p+<l

2p+q=16pq,

:.16pq=a2pq,而a>0,

解得：a=4

故答案为：4.

12.设正四面体［鸟鸟鸟在空间直角坐标系中点勺的坐标为（芍，y,z,.）（/=1-2,3,4）,

集合A={y|存在ie{l,2,3,4},使得y=yj,则集合A的元素个数可能为2、3或4

种（写出所有可能的值）

【分析】正四面体耳£68在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合A中

只有•个元素，则々《A《在同一个垂直于y轴的平面内，故不可能，从而解得.

【解答】解；正四面体46A舄在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，

若集合A中只有个元素，则《《右鸟在同•个垂直于y轴的平面内，

故不可能，

当正四面体<乙《鸟的底面在坐标平面xoz内时，集合A中有2个元素，

改变止四面体QgAE在空间直角坐标系放置，可知集合A中也可能有3或4个元素，

故答案为：2、3或4.

二.选择题（共4小题）

13.方程2sin（2x+2）=l在区间［-2万，2球上的解的个数是（）

6

A.4B.6C.8D.9

【分析】利用三角函数值对应三角函数的图象中的角度即可求解.

【解答】解：求方程2sin（2x+马=1在区间［-2万，2万）上的解；

6

则有：sin（2%+—）=—»

62

即：2x+工=乙+2k兀,左wZ,或2工+工=—+2k几，%wZ,

6666

所以：x=k7T,kcZ,或1=四+%乃，kcZ,当X在区间［一2%，2万）上时.讨论AseZ的

3

值即可：

X为：一2万，,-n,0,乃，他，共8个，

3333

故选：C.

14.关于x、y的方程组|"俨+?)'=。有无穷多组解，则下列说法错误的是()

[a2x+b2y=c2

伪+

=O

打

一

qaGa

rc,b,cb,

D.a.———-+b.—2——-=c.

qb}q仇

a2b2a2b2

【分析】根据关于X、y的方程组+=q有无穷多组解，得到3=她，aO=ag,

[a2x+b2y=c2

b}c2=b2c]H解决此题.

【解答】解：根据关于X、y的方程组{：：：?：二:有无穷多组解，得到“我=%4,

A中等式计算可得。邑=49，故不选A：

B中等式计算可得(a1b2-a2bt-afy+a2h2)-(“在一-岫+a2b2)=0,等式成立，故不选

B；

C中等式计算可得4色+々。2+44-(4自+与。1+4。2)=0，成立，故不选C；

。中等式算式中分母为0,错误，故选O.

故选：D.

15.已知函数f(x)=F'*'°,g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则。的取值范

[lnx,x>0

围是()

A.[-1,0)B.[0,+00)C.[-1,+8)D.[1,-KO)

【分析】由g(x)=O得f(x)=-x-。，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数

零点之间的关系进行转化求解即可.

【解答】解：由g(x)=O得f(x)=-x-a,

作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：

当直线y=-x—a的截距-4,1,即a…-1时，两个函数的图象都有2个交力:，

即函数g(x)存在2个零点，

故实数。的取值范围是[-1,+00),

故选：C.

16.设集合A={(x,y)|x-y..l,ar+y>4,x-ay„2},贝U()

A.对任意实数a,(2,1)eAB.对任意实数a,(2,1)eA

C.当且仅当a<0时，(2,1)eAD.当且仅当q,』时，(2,1)eA

2

【分析】利用a的取值，反例判断(2,1)wA是否成立即可.

【解答】解：当a=-l时,集合A={(x,y)|x-y..l,ax+y>4,x-ay京叫={(x,y)|x-y1,

-x+y>4,x+y„2],显然(2,1)不满足，-x+y>4,x+y„2,所以A不正确；

当a=4,集合A={(x,y)|x-y..1,ar+y>4,x-ay^}={(x,y)Ix-J71>4x+y>4,

x-4y”2},显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以8不正确；

当a=l,集合A={(x,y)|x-y..l,ar+y>4,x-ay京必}={(x,y)|x-y1,x+y>4,

x-y,,2},显然(2,l)s?A,所以当且仅当a<0错误，所以C不正确；

故选：D.

三.解答题(共5小题)

17.如图，已知四棱锥的底面A3CZ)是边长为2的正方形，P£)_L底面,

PD=l.

(1)求直线尸3与平面PC£)所成的角的大小;

(2)求四棱锥的侧面积.

【分析】(1)证明BC_L平面PCD，在RtAPBC中讳算NBPC；

(2)由线面垂直可知棱锥的四个侧面都是直角三角形，求出棱锥的侧棱长，再计算侧面积.

【解答】解：(1)•.•P£)'平面438，8Cu平面438，

:.PDLBC,

•.•底面ABCD是正方形，:.BCVCD,

又「Du平面PCD,CDu平面PC£),PD^CD=D,

8C_L平面PCD.ZBPC为直线依与平面PCD所成的角.

•/PC=y/PD2+CD2=y/5,BC=2,

:.tanNBPC=咤=巫.

PC5

直线尸8与平面PCD所成的角的大小arctan―丫一.

5

(2)由(1)可知3C_L平面PCD,/.BC.LPC,

同理可得AB_LB4,

=S^PAD=—x2xl=l,S^pBC=S^PAB=—x2x>/5=>/5

/.四棱锥P-ABCD的侧面枳为2x14-2x75=2+275.

18.已知函数/(x)=2sin(@x),其中常数0>0.

(1)若y=f(x)在上单调递增，求。的取值范围；

(2)令刃=2,将函数y=f(x)的图象向左平移工个单位，再向上平移1个单位，得到函

6

数〉=8(幻的图象，区间［a,b］(a,beR且。<打满足：y=g(x)在切上至少含有30

个零点，在所有满足上述条件的［a,们中，求人-a的最小值.

7t7t

---CD...---

42

【分析】(1)依题意可得.解之即可.

247t

一叫—

32

(2)由条件根据函数丁=Asin(〃>+0)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，令g(x)=O,

即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若最小，则〃和b都是零点，此

时在区间他，〃吻+aJ(/neN*)恰有2加+1个零点，所以在区间[“，14》是恰有29个零

点，从而在区间(14万+a,司至少有一个零点，即可得到a,b满足的条件.进一步即可得

出6—a的最小值.

【解答】解：(1)因为。>0，y=f(x)=2sin0x在[一生，生]上单调递增，

43

n7t

------------①…--------------

.42,解得0〈磔，3.

24乃4

一①,,—

32

二。的取值范围为(0，1].

(2)令0=2,将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移二个单位长度，可得函数

6

jrjr

y=2sin2(x+—)=2sin(2x+—)的图象；

63

再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=2sin(2x+$+l的图象，

jr1

令g(1)=。»求得sin(2x+§)=-e，

2x+—=Ikn+—,或2x+工=2攵7+,kez,

3636

S万TT

求得工二人乃+2—或无=左1+2-,kez,

124

故函数g(x)的零点为工=2%+葛或x=Z;r+日，kez

/.相邻两个零点之间的距离为二或二.

33

若6-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a,7r+a],[a,2K+a],...,[a,

/wr+a](meN")分别恰有3,5.....2〃z+l个零点，

所以在区间[a,14i+a]是恰有29个零点，从而在区间(14/+〃，切至少有一个‘零点,

3

另一方面，在区间［红，14万+生+包］恰有30个零点，

12312

因此b—a的最小值为14万+四=丝生.

33

19.有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于

是，菜地分别为两个区域就和邑，其中R中的蔬菜运到河边较近，邑中的蔬菜运到产点较

近，而菜地内。和工的分界线C上的点到河边与到尸点的距离相等，现建立平面直角坐标

系，其中原点。为的中点，点F的坐标为(1,0),如图

(1)求菜地内的分界线C的方程；

(2)菜农从蔬菜运量估计出5面积是S2面积的两倍，由此得到加面积的经验值为|.设M

是C上纵坐标为1的点，请计算以E"为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形

EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.

【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.

(2)设〃(x0,%),则%=1,分别求出对应矩形面积，五边形尸0MG”的面积，进行比

较即可.

【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x+lbj(x—l)2+y2，得y=24,

(喷火1),

(2)设%),则%=1，

-_2£-1

x一4~4

・•.设所表述的矩形面积为S,,则S3=2x(；+1)=2x；=|,

设五边形EMOGH的面积为邑，则5$=53-5M种+54MG"=|-；x；xl+［xjxl=:

。。85111811

o.—5,=----=­，o.-5.=-----=­V—,

133264143126

五边形EMOGH的面积更接近S,的面积.

20.已知常数p>0,抛物线r：y2=2px的焦点为尸.

（1）若直线x=2被「截得的弦长为4,求°的值：

（2）设E为点尸关于原点。的对称点，P为「上的动点，求股！的取值范围；

IPFI

（3）设0=2,直线4、4均过点尸，且4U，4与「相交于A、3两点，4与「相交于C、

。两点，若AC_L8C,求四边形ACM的面积.

【分析】（1）把x=2代入抛物线的方程，得丫=±21，又直线x=2被「截得的弦长为4,

可得方程2]x2=4,再解出..

（2）由E点是F关于原点。对称点，得E点坐标，设过点E的直线y=,

A=tana（Q,a<乃），联立抛物线的方程，得关于x的一元二次方程，由直线与抛物线相切

得△=（）,解得过点E作x轴的垂线，为抛物线的准线，过点尸作准线的垂线，垂足为。，

由抛物线的定义可得些=吧=—!—,即可得出答案.

|PF\|PD\cosa

（3）设直线《的方程可设为y=k（x-l），由《_U?,得直线/,的方程为y=—1（x-l），设4（占，

k

yj,B（X2,%），C（*3，%），D（x「必），联立直线《与抛物线的方程，结合韦达定理可

得西+刍，占々，由弦长公式可得|AB|,|C£）|,由RtAAFCsRtACFB，得|CP『=|AF||,

解得刍，为，代入丁二以，解得公=」，再计算四边形ABCD的面积，即可得出答案.

【解答】解：（1）由x=2,得y=±2],

因为直线x=2被「截得的弦长为4,

所以2，^x2=4,解得p=l.

(2)E点、是F(g0)关于原点。对称点，则凤,，0),

设过点E的直线y=k(x+-^),Z=tana(0,,a<7i)，

联立抛物线方程得公V+(/p-2p)x+止=0,

4

由直线与抛物线相切，得△=(Fp-2P)2-/p2=O,Ar=±l,

过点E作x轴的垂线，则该垂线为抛物线y2=2px的准线,

过点P作准线的垂线，垂足为D，

由抛物线的对称性，不妨取左=1可得切线的倾斜角为?，则取aw[0,7],

\PE\\PE\11

由抛物线的定义，可得

|PF|一|P£＞「sin(9O°-a)cosa

因为ae[0,-],所以也别cose1,即掇卜L血，

42cosa

所以踹的取值范围为口，8

(3)由题知抛物线V=4x,焦点F(l,0),且直线小4的斜率都存在且不为0,

所以直线人的方程可设为y=1),

因为《，,则直线/2的方程为y=--U-1),

k

设4%，X),8(*2，%)，c(x3'%)，D(X41K)，

由(y=k(x-1),得公*2_(2公+4*+公=0,

[y=4x

广广।।4+2k~

助■以西+9=一乒—，XjX,=1,

所以IA81=Jl+T\x2-xt|=4]+公出;—尸_4=,