复数【解析版】-2022年浙江省高考数学命题规律大揭秘

《2022年浙江省高考数学命题规律大揭秘》

专题02复数

【考点展示】

【真题体验】

1.(2021年浙江省高考数学试题)已知aeR,(l+m)z=3+z,(i为虚数单位)，则4=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】

首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数。的值.

【详解】

[l+ai^i—i-a—-a+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：一a=3,;.a=-3.

故选：C.

2.（2020•浙江省高考真题）已知adR,若a-l+（a-2）/为虚数单位）是实数，则所（)

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

因为（a—+为实数，所以a—2=0,r.a=2，

故选：C

3.（2018年浙江卷）复数三（i为虚数单位）的共轨复数是（）

1-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

化简可得z=—守"=i+i

・・.z的共辗复数为1-i.

故选：B.

4.（2019年浙江卷）复数z=—!—（i为虚数单位），则|z|=.

1+i

【答案】旦

2

【解析】

II_1一1

闫=两=正一

5.(2017年浙江卷)已知a,beR,(a+bi.)=3+4i（i是虚数单位）则a?+b2=

【答案】5,2

【解析】

由题意可得小-b2+2abi=3+4i,则"fe273,解得=f，则M+b2=5,ab=2.

1ab=2kb2=1

【考试要求】

1.理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.

2

2.了解复数的加、减运算的几何意义.

3.掌握复数代数形式的四则运算.

【命题导向】

1.通过方程的解，认识复数.

2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共朝复数，复数的模等概念的认识，凸显

逻辑推理、数学运算的核心素养.

3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养.

【高考预测】

对复数的考查中断两年后，近几年连续的进行考查.考查的方向有两个，•是复数的概念及运算，如复数的

实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共规复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，

如复数对应的点的位置(坐标)，复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多.本专题在高考中分值为

5分左右，属于中低档题.预测2022年保持稳定.

【模拟演练】

一、单选题

1.(2019•全国高考真题(理))设z=-3+2i,则在复平面内［对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

先求出共辄复数再判断结果.

【详解】

由z=-3+2，，得』=-3-2i,贝丘=-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C.

2.(2021•北京高考真题)在复平面内，复数z满足(l-i)z=2,贝ljz=()

A.2+iB.2—zC.1—ZD.l+i

【答案】D

【解析】

由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】

3

22(1+z)_2(l+z)

由题意可得:z------=,=l+i

1-z(1-z)(l+z)2

故选：D.

3.（2021♦江苏高考真题）若复数z满足（l+i）z=3—i,则z的虚部等于（）

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】C

【解析】

利用复数的运算性质，化简得出z=l-2i.

【详解】

若复数z满足（l+i）z=3-i,则

3-i_(3-i)(l-i)

所以Z的虚部等于-2.

故选：C.

4.（2021•全国高考真题）己知z=2—i,则z（5+i）=（)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

利用复数的乘法和共甄复数的定义可求得结果.

【详解】

因为z=2—i,故W=2+i,故zC+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i—2『=6+2i

故选：C.

5.(2021•全国(文))已知(l—i)2z=3+2i,则2=()

A.-1--ZB.—14--/C.--+/D

222-4

【答案】B

【解析】

3+2/

由己知得z=--,---根--据复数除法运算法则，即可求解.

-2;

4

【详解】

(1-I)2Z=-2«Z=3+2Z,

3+2i(3+2i)J-2+3z,3.

z=----=--------=------=-l+-z.

-2i-2ii22

故选：B.

6.(2020•全国高考真题(文))若z=l+2i+i3,则0=()

A.0B.1

C.72D.2

【答案】C

【解析】

先根据i2=-1将z化筒，再根据复数的模的计算公式即可求出.

【详解】

因为z=l+2i+尸=l+2i-i=1+i，所以|z|=V12+12=>/2.

故选：C.

7.(2020•全国高考真题(理))若z=l+i,则|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】D

【解析】

由题意首先求得z2-2z的值，然后计算其模即可.

【详解】

由题意可得：z2=(1+/)2=2/,z2-2z=2/-2(1+z)-2.

故.一2#卜2|=2.

故选：D.

8.(2019•全国高考真题(理))设复数z满足z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.U+1)2+/=1B.(x-l)2+y2=1C./+(丫-1)2=1D./+()，+1)2=]

【答案】C

【解析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点(x,y)和点(0,1)之间的距

5

离为1,可选正确答案c.

【详解】

z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-/j=,]x2+(y-\)2=1,则/+(y-l)2=1.故选C.

9.(2021•浙江高三其他模拟)已知加eR,若丝虫是纯虚数，则，〃的值为()

1

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

先利用复数的乘除运算对空生化简，再根据实部为0,虚部不为0即可求解.

1

【详解】

因为=("：+>(「)=_i是纯虚数,

11x(-1)

所以m=0.

故选：A.

10.(2021•全国高考真题)复数片在复平面内对应的点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

利用复数的除法可化简彳2-i，从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i由1r仙—

----=-~------=-----=——，所以该复数对应的点为|，

l-3i10102U2)

该点在第一象限，

故选：A.

11.(2021•全国高考真题(理))设2(z+.+3(zi)=4+6i,则2=()

A.1-2/B.l+2zC.1+iD.1-z

【答案】C

【解析】

设2=。+万，利用共规复数的定义以及复数的加减法可得出关于“、〃的等式，解出这两个未知数的值，即

6

可得出复数z.

【详解】

设z=〃+。"则1=则2（z+z）+3（z-z）=4a+6bi=4+6i,

14a=4,

所以，I»解得。=b=l,因此，z=1+z.

[6b=6

故选：C.

12.（2020.北京高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i.z=（）.

A.l+2zB.-2+iC.1-2/D.-2-i

【答案】B

【解析】

先根据复数几何意义得z,再根据复数乘法法则得结果.

【详解】

由题意得z=l+2i,/.iz=i-2.

故选：B.

二、填空题

13.（江苏高考真题）己知复数z=（5-2i『（i为虚数单位），则复数z的实部是.

【答案】21

【解析】

由题意z=（5+2/）2=25+2x5x2/+（2z）2=21+20/,其实部为21.

14.（2020•江苏高考真题）已知i是虚数单位，则复数z=（l+i）（2-i）的实部是.

【答案】3

【解析】

根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】

•••复数z=（l+，）（2-i）

/.z=2-i+2i-i2=3+i

二复数的实部为3.

故答案为：3.

7

15.(湖北高考真题)若宁=〃+4(4/为实数，1为虚数单位)，则a+b=.

【答案】3

【解析】

因为学=〃+从，所以3+万=(4+万)(1一，)=4+6+e一0》.又因为。,6都为实数，故由复数的相等的充要

1-Z

〃+b=3,a=0,

条件得｛,八解得｛,。所以。+。=3.

b-a=b,b=3,

16.(2019•江苏高考真题)己知复数3+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是.

【答案】2.

【解析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.

【详解】

•e,(a+2/)(1+i)=«+a/+2i+2i2=a-2+(a+2)i,

令a—2=0得a=2.

17.(2020•全国高考真题(理))设复数4，与满足㈤=优|=2,4+4=百+i,则|z「Z2l=.

【答案】26

【解析】

方法r令4=a+bi,(awR,bwR),z?=c+di,(ceR,deR),根据复数的相等可求得ac+〃=—2,代入复

数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数z「Z2所对应的点为2I42,而=玄|+无2,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边

形OZ/Z?为菱形，|丽卜|OZj=|OZ21=2,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算％=2I.

【详解】

方•法一：设Z]=a+bi,(aeR,bwR),z2=c+di,(cwR,deR),

Z]+z2=a+c+(力+d)i=G+i，

：产，所以〃2+/=4，22

X|Z,|=|Z2|=2,C+J=4,

b+d=1

.,.(〃+c)2+S+d)2+C1+kr+d2+2(ac+bd)=4

..."+仇/=—2

8

••Ki-z2|=|(。-c)+S-d)i\=y](a—c)2+(b—d)2=J8-2(ac+bd)

=J8+4=2A/3.

故答案为：2G.

方法二：如图所示，设复数4*2所对应的点为Z「Z2,而=反1+无2，

由已知|丽卜历F=2=|OZ,|=|OZ2|,

・・・平行四边形OZ/Z2为菱形，且△OPZ.OPZ2都是正三角形，・・・/Z0Z2=12O。,

22222

IZ.Z,I=1OZtI+1OZ21-21OZ,IIOZ21cos1200=2+2-2•2•2•(-1)=12

\zl-z2\=\ZlZ2\=2>/3.

【点睛】

方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档

题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为儿何问题求解

18.（2021•巴南区♦重庆市实验中学高二月考）i是虚数单位，复数4=I+i,复数z满足|z-zj=l,当日取

最大时，复数z=.

【答案】（l+*）+（l+*）i

【解析】

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内表示以A（1,D为圆心，半径为1的圆，利用圆的性质，得到忖的

最大值为0+1，结合图形，即可求解.

【详解】

如图所示，复数4=l+i,且z满足|z-zj=l,

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内表示以41,1）为圆心，半径为1的圆,

9

的圆心到原点的距离为应，所以目的最大值为a+1,

此时可行点Z（l+#,1+*）,所以对应的复数为z=（l+*）+（l+

故答案为：（1+4）+（1+孝）i.

三、双空题

19.（2021.浙江高三其他模拟）已知二=1-4,其中a,beR,i是虚数单位，则。=,b=

【答案】21

【解析】

根据复数除法运算，可得言=]-g，根据复数相等的条件，即可求得答案.

【详解】

巴=1

7

根据复数相等的条件可得：，解得。=2,6=1.

2

故答案为：2；1

23-i

20.（2021•浙江高三其他模拟）设复数z=l-i（,•是虚数单位），则*+z=；——=—

zz

【答案】2石

【解析】

第一空利用复数的除法以及加法运算即可求出结果；第二空根据复数的模长公式即可求出结果.

【详解】

因为z=l-i,

10

222(1+0r2(