空间向量期中复习学案

空间向量

基础知识：

1.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(bro),a〃b的充要条件是

2.共面向量:称平行于同一平面的向量为共面向量.

共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实

数对x,y,使p=xa+yb.

3.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,C不共面，那么对空间任一向量p,存在一个

唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zC.该定理表明：在空间，任意一个向量都可以

由三个不共面的向量表示(生成)，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫

基向量.

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数

-->-->-->-->

X,y,z,使0P=x0A+yOB+zOC.

4.两个向量的数量积:空间两个向量非零向量a,b的夹角定义与平面向量类似，但记作

<a,b>,通常规定04<a,b><n.

TT

a*b=|a||b|cos<a,b>.当,b>=5时，称向量a与b互相垂直，记作alb.

5.空间向量的坐标运算:设Q=(a15a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有

a±b=；Xa=；

a•b=；a/7b=

a1b<=>；|a|=

cos<a,b>==..

在空间直角坐标系中,若设A(a］，a2,a3),B(b1,b2,b3),

则AB两点之间的距离dA,B=.

1、用向量描述空间线面关系

设空间两条直线K的方向向量分别为H，两个平面外,%的法向量分别为

nx,n2,则由如下结论

平行垂直

e\-1-，2

h与右elIIe2

/］与因

et±n}%〃〃[

%与附nIIn_L〃2

}2n}

7、向量法在求点到平面的距离d

设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为平面的法向量为7,则

P到平面的距离d等于［在7方向上正射影向量的模。d=

例题解析

例1设0为空间任意一点，点G是AABC的重心，设O/Ua,OB=b,OC=c,

---11

求证：OG=§（a+b+c）.

例1如图1,棱长为1的正方体ABC。-A4GA,«是灰的中点,

产是棱曲上的动点（非G〃两点），设二面角G-E/的大小为

e.试确定尸点的位置.，使得cos6=J.

3

图1

如图2,建立空间直角坐标系，

1.给出下列关于互不相同的直线机、/、”和平面a、B的四个命题:

①若加uca=A,点A生则/与相不共面；

②若机、/是异面直线，且〃_L〃z,则〃_La；

③若///a,m//p,a///3,则/〃m-,

④若/ca,mcza,l(~\m=点4,/〃人〃z〃/，则a〃夕.

其中为假命题的是()

A.①B.②C.③D.@

3.已知直线m、n与平面a,£,给出下列三个命题：

①若m//a,n〃a,则加〃n;

②若m//a,n±a,则〃±m;

③若〃z±a,加〃△则a1(3.

其中真命题的个数是

()

A.0B.1C.2D.3

9.在下列关于直线/、m与平面a、p的命题中，真命题是)

A.若lu。且a_Lp,则l_La.B.若1_L|3且a〃0,则lj_a.

C.若1"L0且aJ_。,则l〃a.D.若an(3=m且l〃m,则l〃a.

19.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC中，ABLBC,

AB=BC=-PA,点。，D分别是AC,PC的中点，。尸上底

2

面ABC.

(I)求.证。£>〃平面PA6；

(II)求直线。。与平面P8C所成角的大小。

14.如图，ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PA=AD=a,AB=E,E是线段PD

PEBF

上的点,F是线段AB上的点，且£*=匕=/1(/1>0).

EDFA

(1)当时，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值;

2

(2)是否存在实数4,使异面直线EF与CD所成角为60。？若存在

试求出4的值，.若不存在，请说明理由.

18.空间四边形OABC中，M,N分别是边OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,

用基底｛OA,OB,OC｝表示向量OG.

5.设Z=(x,3),b=(2,-1),若1与B的夹角为钝角，求x的取值范围。

2.(B级)若。=(儿一1,0),。=(3,1,9)的夹角为钝角，求实数x的取值范围。

例3已知向量a=(2,2,-1),求与a平行的向量的单位向量.

1.在下列命题中：①若「、》共线，则1、「所在的直线平行；②若1、7所在的直线是

异

面直线，则。、工一定不共面；③若Q、h>C三向量两两共面，则。、7、。三向量一

定也共面；④已知三向量1、b,C,则空间任意一一个向量》总可以唯一表示为

p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为

()

A.0B.iC.2D.3

4.已知〉=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),1=(7,5,人),若a、b>c三向量

共

面,则实数人等于

)

626365

A.B.C,竺D.

7T77

7.若a、b均为非零向量，贝ljab=p||b|是1与%共线的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

10.已知方二(1,2,3),砺二(2,1,2),而=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当)•西

取得最小值时点Q的坐标为

()

A-4昔1?3n,447、

(53/c-(rrl)D.口英)

12.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点,

^BD=xAB+yAC+zAS,则x+y+z=

13.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线,

G为aABC的重心，E是BD上一点，BE=3ED,

以｛赤，/，AD｝为基底，则立=

1.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是(C)

5.已知非零向量m=(a2,2,a2+c2),n="2,—a?b,1),则m_Ln的充要条件是(C)

13.求同时垂直于向量a=(2,1,3),b=(0,-5,1)的单位向量Co.

例3在空间四边形OABC中，若OA、OB、0C两两垂直，求证：AABC是锐角三角形。

例4已知m、n是空间两个单位向量，它们的夹角为60°,设a=2m+n,b=—3m+2n.

⑴求向量a与b的数量积；⑵求向量a与b的夹角。

例5如图，已知线段AB在平面a内，线段AC_La,

线段BDLAB,线段DD」a,ZDBD=30°,如果AB

=a,AC=BD=b,求C、D间的距离。

例6已知平行六面体ABCD—ABCD,中，AB=4,AD=3,AA'=5,ZBAD=90°,Z

BAA'=ZDAA'=60°,求AC的长。

4.已知,现给出以下几个命题；

—*—•—♦—*—•—♦—♦—♦—»—♦—♦—♦—*—►—♦—►—♦—♦

®a-b=a-c=>b=c；②。•/?=0na=0或5=0；③(。力)・。=。・(。・。)；

@a-b'=(a-b)2；⑤,+年卜-)=/一亡；其中正确命题的个数是

5.正三棱柱ABC—A4G中，AB=AA,,则AG与平面8s℃所成角的正弦值为

(.)

A.------D.--------L.------

254

14.如图1,在四棱锥P—A8CO中，底面A8C。为矩形，侧棱PAL底面A8CO,

A6=VJ,BC=1,PA=2,E为的中点.

（1）求直线AC与尸6所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N,使面PAC,并求出N点到直线A3和AP的距离.

4.如图1,直三棱柱ABC—A4G中，NACB=90°,

AC=1,CB=e,侧棱A41=l,侧面A4£8的两条对角线交点为

。，则面B/O与面CB。所成二面角的余弦值等于（）

一娓V3

AA.——aB.------BD.

33c3T

答案：D

14.如图3,直二面角。-AB—E中，四边形ABC。是边长为2的正方形，AE=EB,

产为CE上的点，且平面ACE.

（1）求证：AEJ.平面；

（2）求二面角8—AC-E的大小；

（3）求点。到平面4CE的距离.

解：（1）平面ACE,/.BF1AE.

•.•二面角。—AB—E为直二面角，且C8_LAB,

.•.CB，平面A6E.

15.如图4,正方形SQG2G3中，E,尸分别是GO?，G2G3的中点，。是Eb的中点,

现沿SE,及E尸把这个正方形折成一个四面体，使GyG2,G3三点重合，重合后的

点记为G.

（1）求证：平面ESG工平面FSG；

（2）求二面角G—SE—P的余弦值.

（1）证明：正方形SQG2G按题意折成的四面体如图所示,

折叠后，有SG1GE,SGIGF,EGIGF,

图

SGHGF^G,4

EG1•平面FSG,

又EGu平面ESG,

例1已知平行六面体ABC。-49C。'（如图），化简下列向量表达式，并

标出化简结果的向量：

⑴AB+BC；

(2)AS+AD+A4*；(3)/15+AD+^CC'

(4)1(AB+AD+AA)..:］一

例1.已知A,3,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件

—■1—­2—•2―-

OP=-OA+-OB+-OC,

555

试判断：点P与A,8,C是否•定共面？

2、例2(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点,

CA=CB=CD=BD=2

AB=AD=-Ji./X.

(I)求证：AOI平面BCD；/

(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;

(III)求点E到平面ACD的距离。/°X.

BEC

16.(本小题满分14分)在正四面体以8c(四个面都是全等的等边三角形的四面体)中，若

E、F分别在棱PC、48上，==-

|FC|\AB\3

⑴设方=1,而=B,定=2,试用G、B、Z表示而和屁；⑵求异面直线PF与BE所

成的角的余弦值.

E

AC

20.(本小题满分16分)

如图，在长方体ABCD-A]B|GD],中，AD=AA|=1,AB=2,点E在棱AD上移动.

(1)证明：D|E_LA|D；

TT

(2)AE等于何值时，二面角Di—EC—D的大小为一.

4

3、例3(2005福建卷理第20题)如图，直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2

的正方形，AE=EB,F为CE上的点，且BF_L平面ACE.

(I)求证：AE_L平面BCE；

(II)求二面角B-AC-E的大小；

(III)求点D到平面ACE的距离。

2、例4已知E,F分别是正方体ABC。-A坊GR的棱8c和C。的中点，求:

（1）AQ与EF所成角的大小；

（2）A/与平面SE8所成角的大小;

（3）二面角C-Rd的大小。

课堂训练

1.设a=(3,2,4),b=(2,0,1),C=(-l,-l,2).贝I」3a-4b-2c等于(A)

(A)(3,8,4).(B)(4,1,6).(C)(3,4,4).(D)(-l,8,4).

2.给定点A(3,-1,0)和向量AB=(2,5,-3),则点B的坐标是

(B).

(A)(1,-6,3).(B)(5,4,-3).

(C)(-l,6,-3).(D)(2,5,-3).

3.如图ABCD-AiB|GD|是平行六面体，给出下列命题：

（第3题）

(1)Aq=AD+DC+CC,.(2)ACj=AB+AD+AA].

——》―—»——»―—>

(3)AQ=AC+CD+DCj.(4)AC]=AB]+B]D+AA].

其中真命题的个数是（A）

(A)4(B)3(D)2(D)l

4.在平行六面体ABCD-A|B|GD|中，必有(C)

(A)A?1=CA].(B)---->---->

AC,+CA1=0.

—>—>

(C)AC]+CA]=BD]+DB].(D)AC1+CA1=BD]+B[D.

—T--->--->

5.如图：已知ABCD是平行四边形，点0为空间任意一点，设OA=a,OB=b,0C=

c,则向量06用a、b、C表示为（A）.

(A)a-b+c.(B)a-b-c.

(C)-a-b+c.(D)-a+b-c.

（第5题）

6.已知三个力F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,

-1),则这三个力的合力为(A).

(A)(2,2,3).(B)(0,0,0).(C)后.(D)0.

7.在下列给出的各组向量中，向量a与b共线的一组是(c)

(A)a=(l,-3,2),b=(-3,2,l).(B)a=(4,-12,3),b=(-l,3,l).

(C)a=(-1,1,2),b=(-^-，―,1).(D)a=(-V2,5/2,3V2),b=(-；，5，g).

8.已知向量a=(-2,5,-4),b=(6,0,-3),贝ka,b＞的值等于(B)

9.已知向量a=87+3〃，b=-/+习-4〃，则a・b等于(A)

(A)-20.(B)7.(C)11.(D)23.

13

10.已知a=(1,2,3),b=(3,0,—1),c=(——,1,——),则在以下结论中：

(1)|a+b+c|=|a-b-c|；(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2；

(3)(a・b)・c=a・(b-c)；(4)(a+b)-c=a-(b-c),不正确的有(A).

(A)4个.(B)3个.(C)2个.(D)l个.

II.已知向量a=(2,-4,3),b=(7,-1,-2),则a-b=(53-5).

12.已知点O是正方体ABCD-A1B1GD1的中心，若AB=a,AD=b,AA|=C，则

---11

AO=-(Q-b+C).

一2

13.已知ABCD-AiBiCQi是平行六面体，若All=a,AD=b,AA,=C,贝ijBR=

b+c-a.

14.已知向量a=(8,-4,1),b=(2,2,1)，.则<a,b>的值等于

7

arccos—.

27―

15.平行六面体ABCD-A|B|C|D|中，AB=AD=AA,=1,ZBAD=ZBAA'=ZDAA'

=60°,则AG的长度等于y[6.

16.已知点P(2,-5,3),求

(1)点P在三坐标轴上射影的坐标；

⑵点P在坐标面xOy,yOz,zOx上射影的坐标.

(⑴x轴(2,0,0);y轴(0,—5,0);z轴(0,03).(2)xOy:(2,-5,0);yOz:(0,-5,3);

zOx:(2,0,3).)

17.用向量证明顶点为A(5,2,-1),B(1,-3.4),C9-2,1,3),D(2,6,-2)的四边形是平

行四边形.

18.空间四边形OABC中，M,N分别是边OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,

-->-->-->-->

用基底｛OA,OB,OC｝表示向量OG.

—>1—>1—>1—>

(OG=-OA+1OB+AOC)

633

IT

19.(1)已知|a|=3,|b|=2,<a,b>=§,求a・b.(3)

(2)已知a=(1,3,5),b=(-l,-3,4),求a・b.(10)

课后练习

1.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是(C)

(A)V65.⑻(C)4.(D)8.

2.在单位正交基底｛i,j,〃｝下，点A(-2,3,1),且存在唯一的有序实数组(7,-2,3)使

得向量OB=7/-2，+3〃，则向量AB=(A)

(A)(9,-5,2).(B)(-9,5,-1).(C)(-2,3,1).(D)(7,-2,3).

o

3.若向量a=(1,入,2),b=(2,-i,2),cos<a,b>=则实数大的值为(D)

22

(A)2.(B)-2.(C)-2或万.9)2或-豆.

4.下列各组向量中，向量a,b,C共面的一组是(B)

(A)a=(4,2,l),b=(-l,2,2),C=(-1,1;5).

(B)a=(l,2,-3),b=(-2,-4,6),C=(1,0;5).

(C)a=(0,0,1),b=(-1,0,0),C=(0,-1;0).

(D)a=(-2,3,l),b=(3,-2,-2),C=(-l,0;2).

5.已知非零向量m=(a2,2,a2+c2),n=(b2,-a2b,1),则mln的充要条件是(C)

(A)a=c=0且b=l.(B)a=0或c=0且b=1.

(C)a=0或b=l且c=0.(D)c=0或b=l且a=0.

6.如图,ABCD-A|B|GD|是平行六面体，则下列错误的一个命题是(B)

---->---->---->

(A)存在唯一的实数对(x,y)使得AC1=xAB+yAD.

(B)存在唯一的实数对(x,y)使得AC=xAB+yAA1.

(C)存在唯的有序实数组(x,y,z),使得AC|=

(第6题)

xAB+yAD+zAA,.

(D)存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得AC=xAB+yAD+zAA].

7.已知向量a=(1,3,2),b=(1,0,1),p=ka-2b,q=3a+4b,若p//q,则实数k=

9

~4'

8.空间三点A(1,-l,a),B(2,a,0),C(1,a,—2),若(AB-2AC)与BC垂直，则实数

9

a等于=-.

9.已知两空间向量a=(cos0,1,sin0),b=(sin0,1,cos0),则a+b与a-b的夹角的度

数是90。.

10.在平行六面体ABCD-AiBCQi中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹

角都为60°,贝力花|=