2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期

末数学试卷

1.已知i是虚数单位，复数zi=—3+2i,z2=1-4i,则复数z=z1+z?在复平面内

表示的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列命题正确的是（）

A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面

3.抛掷一颗骰子，出现的点数是3的概率为（）

A.1B.-C.1D.i

3456

4.在△ABC中，角4,8,C所对的边分别是a",c,a=衣,b=2,4=3则sinB=（）

4

A.-B.--C.-D.--

3333

5.已知向量五=（1,1）,方=（2,—1）,若（4五+另）〃@一2尤），则实数；1=（）

A.-B.--C.2D.—2

22

6.沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,

下列说法中错误的是（）

月

A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元

B.这一年的总利润超过400万元

C.这12个月利润的中位数与众数均为30

D.7月份的利润最大

7.甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷

达发现的概率为（）

A.0.72B.0.26C.0.7D.0.98

8.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件2=｛两弹都击中飞

机｝,事件B=｛两弹都没击中飞机｝,事件C=｛恰有一弹击中飞机），事件。=｛至

少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确的是（）

A.4U。B.BCIO=0

C.4UC=DD.AIJB=BUD

9.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的联赛中，甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛

进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为

0.3.下列说法正确的个数为（）

①甲队的技术比乙队好；

②乙队发挥比甲队稳定；

③乙队几乎每场都进球；

④甲队的表现时好时坏.

A.IB.2C.3D.4

10.已知正方体4BCD-中异面直线4修1与4C所成角为（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

11.在AABC中，下列命题错误的是（）

A.若4>B,则sinA>sinS

B.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形

C.若a2+b2=c2,则△ABC一定为等腰三角形

D.若三角形的三边满足a?+X>c2,则该三角形的最大角为钝角

12.在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是正方形，PAABCD,PA=AB,截面

BZJE与直线PC平行，与PA交于点E,则下列判断正确的是（）

A.E为尸A的中点

B.PB与CO所成的角为g

C.BD，平面PAC

D.三棱锥C—BDE与四棱锥P—4BCD的体积之比等于1：4

13.已知点4=（3,2）,B=（-1,6）,则|屈|=.

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14.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

12512012210513011411695120134

则样本数据落在［114.5,124.5）内的频率为.

15.某校有高一学生450人，高二学生420人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的

方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从高一学生中抽取15

人，则n=.

Q+2A+3c

16.在△ABC中，乙4=60。，b=1,且面积为旧，求

sin4+2sin8+3sinC

17.已知：复数z=（l+i）2+M，其中i为虚数单位.

(1)求Z及团:

(2)若z?+az+b=2+33求实数a,〃的值.

（团）试估计测评成绩的75%分位数；

（团）已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人

数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.

19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已

知甲每次击中目标的概率为|,乙每次击中目标的概率为年

（团）求甲两次都没有击中目标的概率；

（团）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率.

20.如图，在正方体中，点E,尸分别是棱8当，口劣的中点.

（团）求证：BD〃平面AEF；

（回）求证：EF1平面力CGa；

（团）判断点C］是否在平面AE尸内，并说明理由.

21.在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sim4=BsinC,B=150,

8c的面积为次.

（回）求a的值；

（团）求sinA的值；

（团）求sin（24+m）|的值.

22.如图，在四棱锥P—4BCD中，四边形A8CD为平行四边形，4P为直角三角形

且D4=DP,AABP是等边三角形.

(1)求证：PA1BD-,

（2）若BA=BC=2,求二面角。-PC-B的正弦值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析1解:因为Z]=—3+23Zi—1—4i>

则复数z=zx+z2=-2-21,

其对应的点(-2,-2)在第三象限.

故选：C.

直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由平面的公理2及推论可知：不共线的三点可以确定一个平面，故A不正

确；

直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；

四边形可以为空间四边形，故C不正确；

两条相交直线可以确定一个平面，故。正确.

故选D.

不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；直线和直线外的一点可以确定一个平面,

故8不正确；四边形可能为空间四边形，故C不正确；两条相交直线可以确定一个平

面，故。正确.

本题为命题真假的判断，正确理解并应用平面的公理是解决问题的关键，属基础题.

3.【答案】D

【解析】解：出现3的事件个数为1个，事件总个数为6个.

故出现的点数是3的概率为P=i

6

故选：D.

根据古典概型求解即可.

本题主要考查古典概型，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由正弦定理可得：目=目，

sinAsinB

则黑=高，所以sinB=§衿=4，

sm-sinfiV63

4

故选：A.

利用正弦定理化简即可求解.

本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.

由向量共线的坐标运算即可得解.

【解答】

解:由向量五=(1,1),方=(2,-1),

则;I五+3=(2+-1),a-2b=(-3,3),

又(2苍+石)〃0—23),

则3(2+4)=—3(4—1),解得％=-

故选：B.

6.【答案】B

【解析】解：由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，故A正确,

由图可知，1-12月份的利润表，

月份123456789101112

利润/

203020103030604030305030

万元

故1-12月份的总利润为20+30+…+50+30=380<400,故8错误，

由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30,故C正确，

由利润表可知，7月份的利润最大，故。正确.

故选：B.

由图可知，月收入的最大值为90万元,最小值为30万元，即可判断A选项,再求出1-12

月份的利润表，即可依次求解.

本题主要考查折线图的应用，考查数形结合的思想，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件8表示“乙雷达发现飞行目

标”，

甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,

P(A)=0.9,P(B)=0.8,

飞行目标被雷达发现的概率为：

PG4UB)=PQ4)+P(B)-P(4B)=0.9+0.8-0.9x0.8=0.98.

故选：D.

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设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件8表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目

标被雷达发现的概率为PQ4UB)=P(4)+P(B)-P(48),由此能求出结果.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,

“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，

AUB力BUO.

故选：D.

“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一

弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，由此能求出结果.

本题考查互斥事件、对立事件的应用，涉及到互斥事件、对立事件等基础知识，考查应

用意识等数学核心素养，是基础题.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查方差与标准差，考查平均数，这是对于两组数据最常考查的内容，平均数可以

反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定程度，一般从这两个方面来把握数据.

根据甲对比乙队平均每场进球的个数多，得到甲队的技术比乙队好，根据两个队的标准

差比较，甲队不如乙队稳定，乙队几乎每场都进球，甲队表现时好时坏，选出正确的说

法.

【解答】

解：•••甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,

二甲队技术比乙队好，故①正确，

•••甲全年比赛进球个数的标准差为3；

乙全年比赛进球个数的标准差为0.3.

二乙队发挥比甲队稳定，故②正确，

乙队标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3,

说明甲队表现时好时坏，故③④正确,

综上可知有4种说法正确，

故选：D.

10.【答案】B

【解析】解：如图，连接AC,AB.,

易证41cJ/4C,

••・异面直线41cl与&C所成角即为乙4cBi或其补角，

又易知4c=CBi=.,.△4CB］为等边三角形，

•，•44cBi=60°>

••・异面直线A1G与B1C所成角为60°.

故选：B.

将两异面直线平移成相交直线，再解三角形即可得解.

本题考查异面直线所成角，属基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解:对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得：A>BQa>b=sinA>sinF,

故A选项正确；

对于B选项，由于sin24=sin2B=sin（7T—2B）,

又A,B是三角形的内角，

所以22=2B,或24=兀-28,即4=8或4+B=泉

因此△4BC可能为等腰三角形或直角三角形，

故2选项错误；

对于C选项，若AABC中，a=3,b=4,c=5,可得a2+b2=c2,△ABC不是等腰

三角形，故C选项错误；

对于。选项，因为a2+/）2>c2,

所以cosC=a：b『c2>0,可得C为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故。选项

2ab

错误.

故选：BCD.

根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解.

本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属

于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

在4中,连结AC,交BD于点F,连结EF,则平面P4CCI平面BOE=EF,推导出EF〃PC,

由四边形ABC。是正方形，从而4F=FC,进而4E=EP；

在8中，由C0〃4B,得NPB4（或其补角）为PB与C£>所成角，推导出P41AB,从而

PB与CD所成角为£；

在C中，推导出ACJLBD,PA1BD,由此能证明BD1平面PAC；

在。中，设4B=P4=x,则Vp_4BC0=：xAB?xPA=,x=:7，VC_BDE=

VE-BCD=三刖->1F=|X|X2.|X=由此能求出三棱锥。_BDE与四棱锥P-

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ABCD的体积之比等于1：4.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力.

【解答】

解：在A中，连结AC,交BD于点F,连结EF,则平面PACA平面BDE=EF,

•••PC//¥ffiBDE,EFu平面BOE,PCPAC,

•••EFI/PC,

r四边形4BCZ）是正方形，［力F=FC,二4E=EP,故A正确；

在8中，vCD//AB,•••"BA（或其补角）为PB与CD所成角,

vPA_L平面ABCD,ABu平面ABCD,•••PALAB,

在RMP4B中，PA=AB,：­/.PBA=

4

•••PB与CD所成角为£,故B错误；

4

在C中，•.•四边形ABC。为正方形，•••4CJLBD,

vPA1平面ABCD,BDu平面ABCD,：.PA1BD,

■■■PA[}AC=A,PA.ACPAC,

BD，平面PAC,故C正确；

在。中，设4B=P4=x,则48co=：XAB?xP4=.%=17,

111,11,

Vc-BDE=VE-BCD=%SABCD-AE=-xl--x=—Xs.

^C-BDE-Vp-ABCD=盍＞：=1：4.故。正确.

故选：ACD.

13.【答案】4V2

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算和模的计算，属于基础题.

根据点的坐标求出向量的坐标，再用模长公式运算求解即可.

【解答】

解：由题，A=(3,2),B=•••荏=(—4,4),

|AB|=J(-4)2+42=4V2.

故答案为：4V2.

14.【答案】0.4

【解析】解：••,在12512012210513011411695120134十个数据中，

样本数据落在［114.5,124.5）内的有116,120,120,122共有4个，

二样本数据落在［114.5,124.5）内的频率为喜=0.4,

故答案是0.4.

从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样

本容量，得到要求的频率.

本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会

出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中.

15.【答案】29

【解析】解：由题意可得，解得几=19.

n450+420

故答案为：19.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

16.【答案】等

【解析】解：1S=bcs\r\A=遮，c=4.

由余弦定理得M=62+c2-2bccosA=13,Aa=V13,

a+2b+3caV132V39

sinA+2sinB+3sinCsinA遮3'

T

故答案为：等.

根据面积公式求出C,利用余弦定理求出4,利用正弦定理得出一，芸笠

sin^+2smB+3smC

本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(l)z=(1+i)2+在=2i+=2i+i—产=1+3i,

贝ij|z|=Vl2+32=V10.

(2)由(1)得:(1+3i)2+ci(l—3i)+b=-8+6i+a—3cii+b=(Q4-b-8)+(6—

3a)i=2+33

北+厂屋2,解得｛广；

(6—3Q=3lb=9

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【解析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

（2）根据已知条件，结合共辄复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解.

本题主要考查共腕复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题.

18.【答案】解：（回）样本中分数在［40,50）的学生有5人，

由频率分布直方图得［20,50）的频率为1一（0.01+0.02+0.04+0.02）x10=0.1,

••・估计总体中分数小于40的人数为：

400x（0.1-0.05）=20人.

（团）［20,70）的频率为1-（0.04+0.02）x10=0.4,

［70,80）的频率为0.04x10=0.4,

二估计测评成绩的75%分位数为：70+咤券x10=78.75.

0.4

（助•••样本中分数不小于70的频率为0.6,样本中分数不小于70的男女生人数相等，

二分数不小于70的男生的频率为0.3,

•.•样本中有一半男生的分数不小于70,

・•・男生的频率为0.6,则男生的人数为0.6X100=60,

.•.女生的频率为0.4,则女生的人数为0.4x100=40,

.・・估计总体中男生和女生人数的比例为3：2.

【解析】⑻样本中分数在［40,50）的学生有5人，得到［40,50）的频率为0.05,由频率分

布直方图得［20,50）的频率为0.1,由此能估计总体中分数小于40的人数.

（图）先求出［20,70）的频率和［70,80）的频率，利用频率分布直方图能估计测评成绩的75%

分位数.

（团）根据样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相

等，分别求出男生、女生的人数，由此能估计总体中男生和女生人数的比例.

本题考查频数、分位数、男女生比例的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：（1）设甲两次都没有击中目标为事件A,

则p（4）=（l-1）（1—|）=/

（2）设甲、乙恰好各击中一次目标为事件3,

•••甲恰好击中一次目标的概率为2x=x（l-；）=［,

乙恰好击中一次目标的概率为2x：x（l—3=|,

448

••・甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p（B）=x1i

【解析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式,

属于基础题.

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可.

（2）分别求出甲，乙恰好击中一次目标的概率，再相乘即可.

20.【答案】解：（团）因为在正方体[中,点E,尸分别是棱的

中点，

所以BE〃DF,BE=DF,

所以四边形为平行四边形，所以BD〃EF,

又因为BDC平面AEF,EFu平面AEF,

所以BD〃平面4EF.

（图）因为在正方体ABC。-4iB[CiDi中，44iL平面ABCD,

所以4411BD,

因为四边形ABCO为正方形，所以4C_LB0,

又由（国）知BD〃EF,

所以EF_LA4i，EFLAC,

又因为4CD441=4,

所以EF_L平面4CC1公.

（团）点G在平面AEF内，理由如下：

取CCi中点G,连接G8,FG,EJ,

因为在正方体48。。一4181601中，点6,尸分别是棱。。1，

DDi的中点，

所以£）F〃CG,DF=CG,

所以四边形。CGF为平行四边形.所以FG〃DC,FG=DC,J

又因为4B〃0C,AB=DC,

所以4B〃FG,AB=FG,

所以四边形A8G尸为平行四边形.所以4/7/BG,

因为在正方体4BCD-41B1GD1中，点E,G分别是棱CQ的中点,

所以BE〃GG，BE=GJ,

所以四边形BGQE为平行四边形.所以BG〃EQ,

所以EG〃4F,

故点G在平面AEF内.

【解析】（回）由已知利用正方体的性质可证BD〃EF,根据线面平行的判定即可得解.

（团）利用线面垂直的性质可证4aliBD,利用正方形的性质可证AC180,又由国）知

BD//EF,可证EFJ.441，利用线面垂直的判定即可证明EF1平面ZCG4.

（团）取CG中点G,连接G8,FG,EQ,由正方体性质可证。F〃CG,DF=CG,通过证

明四边形OCGF为平行四边形.可证尸G〃DC,FG=DC,通过证明四边形A8G/7为平

行四边形，可证4F〃8G,利用正方体的性质可证8E〃GC],BE=GC],通过证明四边

形BGC】E为平行四边形，可证BG〃EC「通过证明ECJ/AF,可得点口在平面AE尸内.

本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑

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推理能力，属于中档题.

21.【答案】解：(/)由sin4=KsinC,・•.由正弦定理得a=V5c,又△48C的面积为旧.

・•・Iacsinl50°=V3,解得c=2,••・Q=2A/3；

(〃)由余弦定理有力2=a2+c2-2accosl50°,・,・b=2夕，

由正弦定理有‘彳=号，••.sin4=g*t=等；

smAs\nB2V714

(///)v5=150°,A<90°,又由(2)知sin/=答，・•・cos/=当，

・•・sin2/l=2sin/cos4=2x—x—=—,cos2力=2cos2i4—1=2(—)2—1=—,

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