2021-2022学年湖南省益阳市中考数学测试模拟试卷（5月）含解析

2021-2022学年湖南省益阳市中考数学测试模拟试卷（5月）

一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）

1.----的值是（）

3

-11

A.3B.—3C.—D.

33

【答案】c

【解析】

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值，依据定义即可求解.

【详解】在数轴上，点到原点的距离是

33

所以，—•的值是!，

33

故选：C.

【点睛】本题考查值，掌握值的定义是解题的关键.

2.下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【详解】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称

图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合.因此，

A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；

B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；

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D、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意.

故选B.

3.某种细胞的直径是0.00000095米，将（）.00000095米用科学记数法表示为（）

A.9.5X107B.9.5X108C.0.95X107D.95X108

【答案】A

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义，即可得到答案.

［详解］0.00000095=9.5X---------------=9.5X107,

10000000

故选A.

【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义：aXIO"（l^|a|<10,n为整数），

是解题的关键.

4.下列运算正确的是

A.x2+x3="x5"B.x8jx2="x4"C.3x-2x="l"D.（x2）3=x6

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：根据合并同类项，同底数幕的除法，幕的乘方运算法则逐一计算作出判断:

A、X2与X3没有是同类项没有能合并，故选项错误；

B、x8^x2=x8-2=x6^x4>故选项错误；

C、3x-2x=（3-2）x=x,故选项错误;

232X36

D.（X）=X=X,故选项正确.

故选D.

5.Z是实数，同之0”这一是（）

A.必然B.没有确定C.没有可能D.随机

【答案】A

【解析】

【分析】根据必然、没有确定、没有可能、随机的定义判断即可.

【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义，由a是实数，得同加恒成立,

因此，这一是必然.故选A.

【点睛】本题考查必然、没有确定、没有可能、随机的判定.熟练掌握定义是解题的关键.

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6.下列几何体中，同一个儿何体的主视图与俯视图没有同的是（)

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、主视图是矩形，俯视图是矩形，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题

息；

B、主视图是正方形，俯视图是正方形，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题意；

C、主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，主视图与俯视图没有相同，故本选项符合题意；

D、主视图是圆，俯视图是圆，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题意.

故选：C

【点睛】本题考查三视图.

7.如图，己知点A、B、C、D在。。上，圆心。在ND内部，四边形ABCO为平行四边形，

则NDAO与NDCO的度数和是（）

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：连接

V四边形ABCO为平行四边形,

:.NB=NAOC,

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・・•点4B.GO在。。上，

.•・Z5+Z^Z）C=180°,

由圆周角定理得，ZADC=-ZAOC,

2

・•・ZADC+2ZADC=180\

解得，ZADC=60\

•；OA=OD,OD=OC,

：.ZDAO=ZODA,ZODC=ZDCO,

・..ZDAO+ZDCO=60\

故选A.

点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

8.如图，在aABC中，NACB=90。，AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点，且NECF=45°,

过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论：①AB=&：

②当点E与点B重合时，MH=y；③AF+BE=EF；@MG«MH=y,其中正确结论为（）

A.①②③B.①③④C.①®®D.①②③④

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析：①由题意知，AABC是等腰直角三角形，

22

：.AB=ylAC+BC=V2-故①正确；

②如图1,当点E与点B重合时，点H与点B重合，

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VMG1AC,

JZMGC=90°=ZC=ZMBC,

・・・MG〃BC,四边形MGCB是矩形，

・・・MH=MB=CG,

VZFCE=45°=ZABC,ZA=ZACF=45°,

・・・CF=AF=BF,

.♦.FG是AACB的中位线，

AGC=yAC=MH,故②正确；

③如图2所示，

图2

VAC=BC,ZACB=90°,

AZA=Z5=45°.

将ZkACF顺时针旋转90。至ZkBCD,

贝I」CF=CD,Z1=Z4,ZA=Z6=45°；BD=AF；

VZ2=45°,

r.Zl+Z3=Z3+Z4=45°,

・・.NDCE=N2.

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在^ECF和AECD中，

CF=CD

{Z2=ZDCE,

CE=CE

/.△ECF^AECD(SAS),

・・・EF=DE.

VZ5=45°,

AZDBE=90°,

.*.DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;

@VZ7=Z1+ZA=Z1+45°=Z1+Z2=ZACE,

VZA=Z5=45°,

AAACE^ABFC,

♦AE_AC

•.=,

BCBF

/.AE«BF=AC«BC=1,

由题意知四边形CHMG是矩形，

；.MG〃BC,MH=CG,

MG=CH,MH〃AC,

CH_AECGBF

BC~AB'AC-AB

MGAEMHBF

~TF1F

MG=—AE；MH=—BF,

22

MG«MH=—AEx—BF=。AE«BF=。AC・BC=；

22222

故④正确.

故选C.

【点睛】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判

定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，

相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度.

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二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

9.16的平方根是.

【答案】±4

【解析】

【详解】由(±4)2=16,可得16的平方根是±4,

故答案为：±4.

10.某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机了10名学生，绘成如图所示的

条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是()

【答案】B

［解析］

【详解】根据题意得：(Ixl+2x2+4x3+2x4+lx5)+10=3(小时)，

答：这10名学生周末学习的平均时间是3小时；

故选B.

11.若点A(31-4)、8(-2,"?)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为___.

【答案】6

【解析】

【分析】设反比例函数解析式为尸根据反比例函数图象上点的坐标特征得到仁3、(-4)

X

=-2加，然后解关于加的方程即可.

k

【详解】解：设反比例函数解析式为尸一，

x

根据题意得A=3x(-4)=-2m,

解得加=6.

故答案为6.

【点睛】考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

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12.已知一元二次方程x2-4x-m=0有两个实数根，m的取值范围是—

【答案】m2-4

【解析】

【详解】试题解析：：一元二次方程一一4》-〃?=0有两个实数根，

，△=(一4)一一4x1x(-/??)=16+4/w>0,

解得：w>-4.

故答案为mNY.

13.如图，在AABC中AC=3,中线AD=5,则边AB的取值范围是一

【答案】7<AB<13

【解析】

【详解】试题解析：如图，延长月。到E,使得DE=4D=5,连接EC

\"AD=DE,NADB="EDC,BD=DC,

：.AADBmAEDC,

：.EC=AB,

AE-AC<EC<AE+AC,^"J<EC<U,

7<48<13.

故答案为7<N8<13.

点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.

2

14.函数y=~7一中,自变量x的取值范围是.

7x—2

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【答案】x>2

【解析】

【详解】解：根据题意得，x-2K)且x-2#),解得x>2.

故答案为x>2.

【点睛】本题考查函数自变量的取值范围.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=10ji，一圆弧过点B和点C,且与AD相切，则图中阴

影部分面积为.

D

【解析】

【详解】设圆弧的圆心为0,与AD切于E,

连接0E交BC于F,连接OB、0C,

设圆的半径为x,则0F=x-5,

由勾股定理得，OB2=OF2+BF2,

即x2=(x-5)2+(5^/3)2解得，x=10,

则/BOF=60°,ZBOC=120°,

则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积-(扇形B0CE的面积-aBOC的面积)

=10百x5—空伫史+L106X5

3602

=754一次

3

故答案是：75百-吨.

3

16.若一个圆锥的底面半径为2,母线长为6,则该圆锥侧面展开图的圆心角是'

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【答案】120

【解析】

【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2nx2=4n(cm),

设圆心角的度数是n度.

解得：n=120.

故答案为120.

17.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则4ABC的面积为

【答案】-

4

【解析】

【详解】试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图,

•..一个正方形和一个等边三角形的摆放，

，四边形DBEC是矩形，

/.CE=DB=y,

/.△ABC的面积=；AB・CE=；xix；=L

,z24

考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质；3.含30度角的直角三角形.

18.如图，AABC的三个顶点和它内部的点P，把AABC分成3个互没有重叠的小三角形；

△ABC的三个顶点和它内部的点Pi、P2,把aABC分成5个互没有重叠的小三角形；4ABC

的三个顶点和它内部的点Pi、P2、P3,把aABC分成7个互没有重叠的小三角形；……，4ABC

的三个顶点和它内部的点Pi、P2、Pa……Pn,把AABC分成个互没有重叠的小三角形.

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A

【答案】3+2(n-1)

【解析】

【详解】试题分析：由题及图象可知，当三角形内部有一个点时有3个三角形，以后三角形内

部每增加一个点，就

会多两个三角形，所以当内部有n个点时共有3+2(n-1)=2n+l个互补重叠的三角形

考点：规律题

三、解答题(本大题共有10小题，共86分)

19.(1)计算：tan60°-(a2+l)°+|2-V3|--^27：

a24)a+2

(2)计算:-----------1-----------H--------------

—22-aJ2a

【答案】(1)4,(2)2a.

【解析】

【详解】试题分析：(1)原式项利用角的三角函数值计算，第二项利用零指数嘉法则计算，第

三项利用值的代数意义化简，一项利用立方根法则计算即可得到结果；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即

可得到结果.

试题解析：(1)原式=JJ—1+2—JJ+3=4.

(2)原式=(卫-----"2,

a-2a-22a

(a+2)(a-2)2a

a—2a+2

=2a.

20.(1)解方程：x2+3x=10；

3x+1<2(x+2)

(2)解没有等式组1x5x△

——<—+2

33

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【答案】-lWx<3

【解析】

【详解】试题分析：（1）因式分解法解方程即可.

（2）根据没有等式的性质求出每个没有等式的解集，然后找出它们的公共部分即可.

试题解析：（1）x2+3%=10,

原方程可化为：X2+3X-10=0,

（x+5）（x-2）=0,

x+5=0,x-2=0,

x{=-5,x2=2；

‘3x+l<2（x+2）①

⑶—上生+2②

33

,:由①得x<3,

由（2）得x2—1,

二没有等式组的解集为:一1<x<3.

21.为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传

到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.

（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；

（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

【答案】（1）见解析；（2）-；（3）乙脚下的概率大.

4

【解析】

【分析】（I）根据题意画出树状图，得出所有的可能情况；

（2）根据树状图得出传到甲脚下的概率；

（3）根据树状图得出传到乙脚下的概率，然后进行比较大小，得出答案.

【详解】（1）三次传球所有可能的情况如图：

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开始甲

21

⑵由图知：三次传球后'球回到甲的概率为P（甲尸G

3

（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）=?

O

••♦P（乙）＞p（甲）...是传到乙脚下的概率大.

考点：概率的计算

22.某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水没有超出基本用水量的

部受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为地决策，自来水公司随机抽取部分用

户的用适量数据，并绘制了如下没有完整统计图（每组数据包括右端点但没有包括左端点），请

你根据统计图解决下列问题:

用户用水量扇形统计图

（1）此次抽取了多少用户的用水量数据？

（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨〜30吨”部分的圆心角度数；

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水

全部享受基本价格？

【答案】（1）100户（2）直方图见解析，90。（3）13.2万户

【解析】

【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“0吨〜10吨”部分的用户数和所占百分比

即可求得此次抽取的用户数.

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(2)求出用水“15吨〜20吨”部分的户数,即可补全频数分布直方图.由用水“20吨〜300吨”

部分的户所占百分比乘以360。即可求得扇形统计图中“25吨〜30吨”部分的圆心角度数.

(3)根据用样本估计总体的思想即可求得该地20万用户中用水全部享受基本价格的用户数.

【详解】解：⑴VI0-10%=100(户)，

...此次抽取了100户用户的用水量数据.

(2)；用水“15吨〜20吨”部分的户数为100-10-36-25-9=100-80=20(户)，

据此补全频数分布直方图如图：

用户用水量融分布直方图

25

扇形统计图中“25吨〜30吨”部分的圆心角度数为——X360°=90°.

100

.....10+20+36

\3/•x20=13.2（万户）.

100

:.该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格.

【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，频数、频率和总量的关系，求扇形圆心角,

用样本估计总体.

23.如图，的对角线/C,8。相交于点O.E,尸是/C上的两点，并且/E=CF,连接

DE,BF.

(1)求证：△OOE四△8OF；

(2)若BD=EF,连接。E,BF.判断四边形的形状，并说明理由.

【答案】(2)证明见解析；(2)四边形E8FO是矩形.证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据SAS即可证明;

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（2）首先证明四边形EBRD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明;

【详解】（1）证明：•.•四边形是平行四边形，

：.OA=OC,OB=（）D,

*：AE=CF,

：.OE=OF,

在△OEO和△80尸中，

OD=OB

<NDOE=NBOF,

OE=OF

:ADOE出ABOF.

（2）结论：四边形E8ED是矩形.

理由：'：OD=OB,OE=OF,

.••四边形EBFD是平行四边形，

•:BD=EF,

二四边形E8FD是矩形.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相

关的基本知识.

24.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定

时间内可以多生产300个零件.

（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.

（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人

生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原

计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，

求原计划安排的工人人数.

【答案】（1）2400个，10天；（2）480人.

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【解析】

【分析】(1)设原计划每天生产零件X个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=

实际生产(24000+300)个零件所用的时间”可列方程把9=2400°+30°,解出苫即为原计

xx+30

划每天生产的零件个数，再代入生叩即可求得规定天数；

X

(2)设原计划安排的工人人数为y人，根据“(5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原

计划每天生产的零件个数)x(规定天数-2)=零件总数24000个”可列方程[5x20x(1+20%)

2400

x----+2400]x(10-2)=24000,解得y的值即为原计划安排的工人人数.

y

【详解】解：(1)解：设原计划每天生产零件X个，由题意得，

2400024000+300

=9

xx+30

解得尸2400,

经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.

规定的天数为24000+2400=10(天).

答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；

(2)设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，

2400

[5x20x(1+20%)x-----+2400]x(10-2)=24000,

y

解得，y=480.

经检验，y=480是原方程的根，且符合题意.

答：原计划安排的工人人数为480人.

【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检

验.

25.如图，在一笔直的海岸线上有/,8两个观测站，/观测站在8观测站的正东方向，有一艘

小船在点P处，从4处测得小船在北偏西60。方向，从B处测得小船在北偏东45。的方向，点P

到点8的距离是3&千米.(注：结果有根号的保留根号)

(1)求4,8两观测站之间的距离；

(2)小船从点尸处沿射线/尸的方向以百千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达

点C处，此时，从8测得小船在北偏西15。方向，求小船沿途考察的时间.

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p

、夕\60°

BA

【答案】（1）（3+3G）千米；（2）3小时.

【解析】

【详解】试题分析：（1）过点P作PD_LAB于点D,先解Rt^PBD,得到BD和PD的长，再解

RtAPAD,得至1JAD和AP的长，然后根据BD+AD=AB,即可求解；

（2）过点B作BF_LAC于点F,先解RtaABF,得出BF和AF的长，再解RtABCF,得出CF的

长，可求PC=AF+CF-AP,从而求解.

试题解析：（1）如图，过点P作PD1AB于点D.

在RtaPBD中，ZBDP=90°,ZPBD=90°-45°=45°,

3/A

；.BD=PD=r^km.

2

在RtZ\PAD中，ZADP=90",NPAD=90°-60°=30°,

/.AD=73PD=^^km,PA=3几.

2

；.AB=BD+AD=+km；

22

根据题意得：NABC=105。，

在RtZ\ABF中，ZAFB=90°,ZBAF=30°,

•BF」AB-/直+90)eAF-&AB-(90+9"

・•Dr-rAD—\---------->----------/KlTl,Mr----------MD-\-----------十------------/KiTl.

244244

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在AABC中，ZC=1800-ZBAC-ZABC=45".

在RtZ\BCF中，ZBFC=90",ZC=45\

，3布90、।

.«CF=BF=（----+----）km,

44

9V2

PC=AF+CF-AP=km.

2

故小船沿途考察的时间为磋千百=之匹小时.

22

考点：解直角三角形的应用-方向角问题.

26.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每

天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件

（1）写出商场这种文具，每天所得的利润”（元）与单价X（元）之间的函数关系式；

（2）求单价为多少元时，该文具每天的利润；

（3）商场的营销部上述情况，提出了小B两种营销

A：该文具的单价高于进价且没有超过30元；

B：每天量没有少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种的利润更高，并说明理由

【答案】（1）w=-10x2+700x-10000；（2）即单价为35元时，该文具每天的利润；（3）4利

润更高.

【解析】

【分析】（1）根据利润=（单价-进价）x量，列出函数关系式即可；

（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求值；

（3）分别求出A、8中x的取值范围，然后分别求出A、8的利润，然后进行比较.

【详解】解：（1）由题意得,*=250-10（x-25）=-10x+500,

则w=（x-20）（-1Ox+500）

=-10x2+700x-10000；

（2）w=-10/+700x-10000=-10（x-35>+2250.

v-10<0,

函数图象开口向下，w有值，

当x=35时，w最大=2250,

故当单价为35元时，该文具每天的利润；

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(3)A利润高.理由如下：

A中：20<x,30,

故当x=30时，w有值，

此时叼=2000；

(-10X+500,J0

“中：［x-20...25，

故x的取值范围为：45“厂49,

・••函数w=—10(x—35)2+2250,对称轴为直线x=35,

.•.当x=45时，W有值，

此时wB=1250,

,­,WA>WB'

利润更高.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握利润的问题常利用函数的

增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优.其中要

注意应该在自变量的取值范围内求值(或最小值)，也就是说二次函数的最值没有一定在

x=----时取得.

2a

27.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中，AF,BE

是aABC的中线，AF1BE,垂足为P,像AABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,

AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当NABE=45。，c=2jl时，a=,b=；

如图2,当/ABE=30。，c=4时，a=,b=:

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利

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用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

（3）如图4,在oABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE1EG,AD=2亚，

AB=3.求AF的长.

【答案】⑴2^5,275;2屈,277；（2）a2+b2=5c2i（3）AF=4.

【解析】

【详解】（1）【思路分析】由题可知力尸、8E是A/BC的中线，因此EF即为A/BC的中位线，

由此可得AEPPSABPZ,且EF的长是的一半，题中已知乙48E的度数和边48的长，利

用相似三角形的性质和勾股定理即可得解；

解：（1）2vL2VL2拒，2币.

解法提示：由题可得EF即为△NBC的中位线，

：.EFHAB,且ER=LAB,

2

.,.△EPFs^BPA,

,PEPFEF_{

ZABE=45°,c=2/时，

NAPB=90°,

PA=PB=2,

PF=PE=1,

则在放△PE8中，FB=>I^=亚，

NAPE=NBPF，

:JPE知BPF，即AE=BF=B

:.a=b=2FB=2A/5；

②当48E=30°,c=4时，

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PA=2,PB=2下，

PF=1,PE=Q，

则在RtAPFB和Rt^PEA中，

用=小+(2可=疝E4=J(6/+22="，

a=2FB=2713,6=2口=2近・

(2)【思路分析】连接EF,由(1)中相似三角形可知PE与尸8、P尸与我的比例关系，设

PF=m,PE=n,由此可得AP、PB的长,依次将线段长代入RMAPB、Rt^APE和Rt^BPF

中，即可求解；

解：猜想片,b\C?三者之间的关系是：a2+b2^5c2.

证明如下：如解图①，连接EF,

,：AF,BE是ANBC的中线,

尸是△NBC的中位线.

:.EF//AB,且EF=LZ8=LC.

22

:AABPS^FEP,

图①

方法一：设PF=m,PE=n,则/P=2掰，PB=2n,

在RfAAPB中,（2加）2+（2〃『=。2①;

（2〃2『+〃2=0②;

在处ANPE中,

在Rt^BPF中,m2+（2n）2③;

由①，得加2+〃2=£_.

4

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由②度，得5(川+/)=(」；").

a1+b2-5c2•

方法二：在RsAPE和RMBPF中,

♦;AE2=AP2+EP2,BF2=BP2+FP2，

AE2+BF-=AP2+EP2+BP2+FP2

=(AP2+BP2)+(£P2+FP2).

：.AE2+BF2^AB2+EF2-

+［；")="+(；0)，即/+62=5。2.

(3)【思路分析】求Z尸的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，BELEG,设4尸、

3E交于点P,取的中点”,连接尸4/C,平行四边形的性质可证得△力8R为“中垂三角形”,

利用“中垂三角形”的三边关系即可求解.

解：设/尸，BE交于点、P.

ED

图②

如解图②，取的中点，，连接FH,AC.

G分别是40,CQ的中点，尸是8c的中点,

：.EG!IACIIFH.

又•；BELEG,

FHLBE.

:四边形48。是平行四边形，

AD//BC,AD=BC=2卡，

:.AE=BF=亚，AE//BF,:.4P=FP，

:.AABF是''中垂三角形”，

AB2+AF2=5BF2，即32+Z产=5(，

/.AF=4.

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Il

图③

一题多解：如解图③，连接/c,CE,延长CE交的延长线于点，.

:在△4C。中，E,G分别是/。、8的中点，

：.EGIIAC.

•：BEVEG,

ACVBE.

又•.•□488中，AE/IBC,AD=BC,BC=2AE,

:ZLAESAHBC.

:.BE,。是AHBC的中线,

.•.△"SC是"中垂三角形”，

HB2+HC2=5BC2.

-：AB=3,AD=275,:.HB=6,BC=2卡，

62+HC2=5X（2V5）\即〃C=8.

是的中位线，

AF=-HC=4.

2

难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与P8、尸尸与以的比例关系后，利用勾股定

理将其转换为Y、/、/三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性

质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解.

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-8〃ir+4〃?+2（加〉2）与V轴的交点为月，

与x轴的交点分别为3（4，0）,C（x2,0）,且々一再=4,直线力。〃x轴，在x轴上

有一动点E（/,0）过点E作平行于夕轴的直线/与抛物线、直线4D的交点分别为尸、Q.

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(2)当0<正8时，求2\/PC面积的值；

(3)当f>2时，是否存在点尸，使以4、P、。为顶点的三角形与A/OB相似？若存在，求出

此时,的值：若没有存在，请说明理由.

]1632,

【答案】(1)y——X?—2x+3；(2)12；(3)t=—或片—或z=M.

433

【解析】

【分析】(1)首先利用根与系数的关系得出：玉+%=8,条件/-演=4求出均々的值，然

后把点区C的坐标代入解析式计算即可；

(2)分0Vt<6时和6WW8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的值；

(3)分2V二6时和/>6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解.

【详解】解：(1)由题意知》、工2是方程加炉-8朋x+4m+2=0的两根，

%,=2

解得：《

x2=6

：.B(2,0)、C(6,0)

则