2021-2022学年湖南省长沙市某中学中考一模数学试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市明德天心中学中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知二次函数y=x2-4x+机的图象与x轴交于4、B两点,且点A的坐标为（1,0）,则线段A8的长为（）

A.1B.2C.3D.4

3

2.若*=-2是关于x的一元二次方程/十二收一，=0的一个根，则”的值为（

2

A.一1或4B.一1或一4

C.1或一4D.1或4

3.计算-5+1的结果为（）

A.-6B.-4C.4D.6

4.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形.该小正方形的序

号是（）

A.①B.②C.③D.@

5.cos30。的值为（）

1

A.1B.-C.3D.坦

232

6.如图是用八块相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（）

主w粕方向

B,±1

D.

C出

7.若△ABC与ADEF相似，相似比为2：3,则这两个三角形的面积比为（）

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

8.每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m,

该数值用科学记数法表示为（）

A.l.OSxlO5B.0.105x104C.1.05x105D.105x107

9.关于x的一元一次不等式二二三S-2的解集为x>4,则m的值为（）

3

A.14B.7C.-2D.2

10.已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC的中点，以点B为圆心，BA的长为半径画圆，交BC于点F,再

以点C为圆心，CE的长为半径画圆，交CD于点G,则Si-S2=（）

A.6B.6+——万C.12--7TD.12——n

444

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在RtAABC中，NA=90。，AB=AC,BC=&+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点，沿MN所在的

直线折叠NB,使点B的对应点B，始终落在边AC上，若△MB，C为直角三角形，则BM的长为

12.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上，则NAEB=.

13.双察下列等式：匕一上=叵,…则第〃个等式为___.（用含〃的式子表示）

\242\393V4164

14.抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线.

15.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0c,“刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径。C是直角边5c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是一.

16.近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了

“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下:

成绩（分）60708090100

人数4812115

则该办学生成绩的众数和中位数分别是（）

A.70分，80分B.80分，80分

C.90分，80分D.80分，90分

三、解答题（共8题，共72分）

91

17.（8分）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：--+3=--.她把这个数“？”猜成5,

x-22-x

请你帮小华解这个分式方程；小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方程无解”，请你求

出原分式方程中“？”代表的数是多少？

18.（8分）如图是8x8的正方形网格，A、5两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出

一个以4,B,C,。为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等.

19.（8分）计算：卜一6卜（兀-3）°+3tan30°—

20.（8分）我校春晚遴选男女主持人各一名，甲乙丙三班各派出一名男生和一名女生去参加主持人精选。

（1）选中的男主持人为甲班的频率是

（2）选中的男女主持人均为甲班的概率是多少？（用树状图或列表）

21.（8分）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角

a为45。，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角0为30。.已知树高EF=6米，求塔

CD的高度（结果保留根号）.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数%=奴+伏。彳0)的图象与)'轴相交于点A,与反比例函数

k

必=*(攵H0)的图象相交于点B(3,2),C(-l,n).

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出其〉见时，x的取值范围；

(3)在y轴上是否存在点P,使△PA3为等腰三角形，如果存在，请求点P的坐标，若不存在，请说明理由.

23.(12分)如图，已知AB为。O的直径，AC是OO的弦，D是弧BC的中点，过点D作。O的切线，分别交AC、

AB的延长线于点E和点F,连接CD、BD.

(1)求证：ZA=2ZBDF；

(2)若AC=3,AB=5,求CE的长.

24.2018年4月12日上午，新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行，中国人解放军海军多艘战舰、

多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式，已知战舰和战机总数是124,战数的3倍比战机数的2倍少8.问有多少

艘战舰和多少架战机参加了此次阅兵.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

先将点4(1,0)代入yux2-4X+MI,求出m的值，将点4(1,0)代入-4x+/",得到Xi+X2=4,XI»X2=3,即可解

答

【详解】

将点4(1,0)代入了=/-4x+"i,

得到m=3,

所以y=x2-4x+3,与x轴交于两点，

设A(X1,Jl),b(X2,J2)

.-.X2-4x+3=0有两个不等的实数根，

.♦.Xl+X2=4,X1,X2=3,

，2

•.AB=|xI-X2|=>/(XI+X2)4-4A-1X2=2；

故选8.

【点睛】

此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.

2、C

【解析】

2

试题解析：•••x=-2是关于X的一元二次方程无2+-ax-a=0的一个根，

2

3

(-2)2+—■ax(-2)-a2=0,RPa2+3a-2=0»

2

整理，得(a+2)(a-1)=0,

解得ai=-2,a2=l.

即a的值是1或2

故选A.

点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有

一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

3、B

【解析】

根据有理数的加法法则计算即可.

【详解】

解：-5+1=-(5-1)=-1.

故选B.

【点睛】

本题考查了有理数的加法.

4、B

【解析】

根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑

②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。

【解析】

cos30°=—.

2

故选D.

6、B

【解析】

根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的视图，对各个选项中的图形进行分析，即可得出答案.

【详解】

左视图是从左往右看，左侧一列有2层，右侧一列有1层1,选项B中的图形符合题意，

故选B.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，理解掌握三视图的概念是解答本题的关键.主视图是从物体的正面看得到的视图，左

视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

7、C

【解析】

由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3,根据相似三角形的性质，即可求得答案.

【详解】

,.•△ABC与△DEF相似，相似比为2：3,

,这两个三角形的面积比为4：1.

故选C.

【点睛】

此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.

8、C

【解析】

试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO?与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.所以0.0000105=1.05x10-5,故

选C.

考点：科学记数法.

9、D

【解析】

解不等式得到x>-m+3,再列出关于m的不等式求解.

2

【详解】

m-2x

一…

m-lx<-6,

-lx<-m-6,

1

x>—m+3,

2

•.•关于X的一元一次不等式竺-1的解集为x>4,

—m+3=4,解得m=l.

2

故选D.

考点：不等式的解集

10、D

【解析】

根据题意可得到CE=2,然后根据S1-S2=S矩形ABCD-S扇形ABF-S扇形GCE,即可得到答案

【详解】

解：；BC=4,E为BC的中点,

/.CE=2,

.•52=3x4-驷旦一曲必T，

360360

故选D.

【点睛】

此题考查扇形面积的计算，矩形的性质及面积的计算.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、¥+；或1

【解析】

图1,NBWC=90。，5'与点A重合，M是的中点，所以BC=，

222

图2,当N/W夕C=90。，NA=90。，AB=AC,

NC=45°,

所以RtACMB是等腰直角三角形，所以8M=亚+1,所以5M=正+1,

图2

【详解】

请在此输入详解!

12、75

【解析】

因为△AEF是等边三角形，所以NEAF=60。，AE=AF,

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,ZB=ZD=ZBAD=90°.

所以RtAABE0RSADF(HL),所以NBAE=NDAF.

所以NBAE+NDAF=NBAD-ZEAF=90°-60°=30°,

所以NBAE=15°,所以NAEB=90°-15°=75°.

故答案为75.

⑶P_______二二近

\n+1(n+1)2n+1

【解析】

探究规律后，写出第〃个等式即可求解.

【详解】

1_品

则第n个等式为

(71+1)271+1

11_4n

故答案为:

n+1(n+1)2n+\

【点睛】

本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.

14、x=l

【解析】

把解析式化为顶点式可求得答案.

【详解】

解：Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,

二对称轴是直线x=L

故答案为x=l.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴为x=h,顶点

坐标为(h,k).

15、60.

【解析】

首先设半圆的圆心为O,连接OE,OA,由题意易得AC是线段03的垂直平分线，即可求得NAOC=N43C=60。，

又由AE是切线，易证得R3AOEgRtAAOC,继而求得NAOE的度数，则可求得答案.

【详解】

设半圆的圆心为0,连接OE,OA,

'：CD=2OC=2BC,

：.OC=BC,

,.,ZACB=90°,BPAC1OB,

OA--HAf

：.ZAOC=ZABC,

VZBAC=30°,

：.ZAOC=ZABC=GO0,

,：AE是切线，

...NAE0=90。，

：.ZAEO=ZACO=90°,

•:在RtAAOE和RtAAOC中，

AO^AO

OE=OC'

.'.RtAAOE义RtAAOC(HL),

：.ZAOE=ZAOC=60°,

：.ZE0D=1800-Z,AOE-NAOC=60。，

•••点E所对应的量角器上的刻度数是60。，

故答案为：60.

A

【点睛】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

16>B.

【解析】

试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的

众数为80分：

中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此这组40个按大

小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20,21个数的平均数，而第20,21个数都在80分组，故这组数据的

中位数为80分.

故选B.

考点：1.众数；2.中位数.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.

【解析】

（1）“？”当成5,解分式方程即可，

（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【详解】

（1）方程两边同时乘以（x-2）得

5+3（%-2）=-1

解得x=0

经检验，x=0是原分式方程的解.

（2）设？为团，

方程两边同时乘以（％-2）得

m+3（x-2）=-l

由于尤=2是原分式方程的增根，

所以把x=2代入上面的等式得

加+3(2-2)=7

m--\

所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.

【点睛】

本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增

根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

18、见解析

【解析】

根据菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，可以根据正方形的四边垂直，将小正方形的边作为对角线画菱

形；也可以画出以AB为边长的正方形，据此相信你可以画出图形了，注意：本题答案不唯一.

【详解】

如图为画出的菱形：

图1图2图3图4

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图

方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步

操作.本题掌握菱形的定义与性质是解题的关键.

19、273-4.

【解析】

利用特殊角的三角函数值以及负指数幕的性质和绝对值的性质化简即可得出答案.

【详解】

解：原式=6-1-l+3x立一2

3

=273-4.

故答案为26-4.

【点睛】

本题考查实数运算，特殊角的三角函数值，负整数指数惠，正确化简各数是解题关键.

20、(1)1(2)图形见解析.

【解析】

(1)根据概率的定义即可求出；

(2)先根据题意列出树状图，再利用概率公式进行求解.

【详解】

(1)由题意P(选中的男主持人为甲班)

(2)列出树状图如下

女女女女女女女女女

【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意列出树状图进行求解.

21、(6+26)米

【解析】

根据题意求出/BAD=NADB=45。，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD,在RtAPEH中，利用特殊角的三角函

数值分别求出BF,即可求得PG,在RtAPCG中，继而可求出CG的长度.

【详解】

在RtAPEH中,

・・EH5

・tanp=---=

PHBF

5

，BF=下＞=5垂),

:.PG=BD=BF+FD=573+6,

CG

Vtanp=----

PG

ACG=(3)4=5+2G,

.*.CD=(6+273)米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度.

22、(1)y=2x—4；y=-(2)—I<x<0或x>3；(3)存在，P(0,—4+36)或P(0,-4—36)或P(0,8)或

X;

小

【解析】

(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点c坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)利用图象直接得出结论；

(3)分BP=BA、BP=BA、卜4=三种情况讨论，即可得出结论.

【详解】

(1)•.•一次函数乂=以+〃与反比例函数丁=或，相交于点3(3,2),C(-l,n),

X

.•.把B(3,2)代入y=&得：2=与，

x3

:•k=6,

...反比例函数解析式为y=9,

X

把。(一1,")代入y=9得：〃=二,

X-1

:.〃=—6,

・••点C的坐标为(-1,-6),

2=3k+b

把8（3,2）,。（一1,一6）代入y=ax+〃得：〈

-b^-k+b'

k=2

解得：<

b=-4

...一次函数解析式为y=2%-4；

（2）根据函数图像可知：

当-l<x<0或x>3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方,

.,.当-l<x<0或x>3时，X>%;

⑶存在P（0,-4+3石）或P（0,-4-3石）或P（0,8）或《0,一；）时，△RW为等腰三角形，理由如下:

二令x=0得，y=-4,

...点A的坐标为(0,T),

•.•点B的坐标为8(3,2),

...点D的坐标为0(0,2),

•*-AB=J(3-0>+(2+4)2="+62=3A/5，

①当时，则AP=3«,

•••40,-4),

.,.点P的坐标为：6（0,-4+3石）、鸟（0,T-3石）;

②当3P=84时，

•.•△BAP是等腰三角形，BD±AP,

.,.8D平分AP,

.•.OA=DP=2-(-4)=6,

•.•点D的坐标为ZX0,2),

.•.点P的坐标为(0,2+6),即1(0,8)；

③当=时，如图：

设B4=P3=x,

则DP=ZM-e4=67,

♦.在中，£)8=3,DP=6—x,PB=x,

由勾股定理得：

PB2=DB2+DP2>

X2=32+(6-x)2,

解得：x=¥，

4

."(0,—4),

.••点P的坐标为|。,-4+弓］，即月(。,一；1,

综上所述，当P(0,-4+3石)或P(0,-4-36)或2(0,8)或「(0,一；1时，APA