湘教版初中数学九年级下册全册教案

反比例函数教案

课题：1.1反比例函数

教学目标：

1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其

中的反比例函数.

2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.

3.能判断•个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，

体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量

与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.

教学重点：反比例函数的概念

教学难点：反比例函数的概念，学生理解时有一定的难度。

教学过程：

知识回顾：

什么是函数？一次函数？正比例函数？

一、创设情景探究问题

情境1：

当路程•定时.，速度与时间成什么关系？（vt=s）

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思

考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比

例关系，如xy=m（m为•个定值），则x与y成反比例。（小学知识）

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km）,全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的

变化而变化.

问题：

（1）你能用含有v的代数式表示t吗？

（2）利用（1）的关系式完成下表：

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？

v（km/h）608090100120

t（h）

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？

［说明］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式

s=vt,指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.

（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学

生用语言描述.

3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y

（万元）随还款年限X（年）的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000n?,向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）

的变化而变化；

（4）实数m与n的积为一200,m随n的变化而变化.

问题：

（1）这些函数关系式与我们以前学习的•次函数、正比例函数关系式有什么不同？

（2）它们有一些什么特征？

（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？

一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成

V

y=：（k为常数，kWO）

的形式，那么称y是X的反比例函数，其中X是自变量，y是因变量，y是X的函数，k

是比例系数.（有的书上写成丫=1«一1的形式.）

反比例函数的自变量x的取值范围是所有非零实数（不等于。的•切实数）（为什么？），

但在实际问题中，还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围。

［说明］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比

例函数的关系式进行类比，找由不同点，进而发现特征为：（1）自变量x位于分母，且其次

数是1.（2）常量kW0.（3）自变量x的取值范围是xWO的一切实数.（4）函数值y的取值范围是非

零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统

性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为丫=1«7（14为常数，kWO）的形式，

并结合旧知验证其正确性.

二、例题教学

例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

x2yli1"\/2+1x

（l）y=7T；（2）y=-7;（3）y=-；（4）y=--3；（5）y=-^—；（6）y=T+2；

1-zX1A.AAJ

一1

⑺y=M.

［说明］这个例题作了一些变动，引导学生充分讨论，把函数关系式如何化成y=§或

y=kx+b的形式了解函数关系式的变形，知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符号，

会与一次函数的关系式进行比较，若对反比例函数的定义理解不深刻，常会认为（2）与（4）

也是反比例函数，而（2）式等号右边的分母是x-l,不是x,（2）式y与x-l成反比例，

它不是y与x的反比例函数.对于（4）,等号右边不能化成的形式，它只能转化为

的形式，此时分子已不是常数，所以（4）不是反比例函数.而（7）中右边分母为2x,看上

去和（2）类似，但它可以化成一，即1<=一；，所以（7）是反比例函数.通过这个例题

X4

使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.

221

例2：在函数y=：-1,y=777>y=xy=y;中，y是x的反比例函数的有___个.

XXT1/X

［说明］这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别

72一x

一些反比例函数的变式，如y—kx1的形式.还有y=~—1通分为y=y一，y、x都是变量,

2

分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y+l=(可说成(y+1)与x成反比例，

例3：若y与x成反比例，11x=-3时，y=7,则y与x的函数关系式为.

［说明］这个例题弓I导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步

感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即

只需已知组对应值即可求比例系数.

三、拓展练习

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果是,

指出比例系数k的值.

(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化；

(2)某村有耕地面积200ha,人均占有耕地面积y(ha)随人口数量x(人)的变化而

变化；

2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？

22

(1)y=gx；(2)y=—；(3)xy+2=0；

2

(4)xv=O；(5)x=­.

-3y

3、已知函数丫=(m+1)x"-?是反比例函数，则m的值为.

［说明］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例

系数.

第3题要引导学生从反比例函数的变式y=kxT入手，注意隐含条件kfO,求出m值.

四、课堂小结

这节课你学到了什么？还有那些困惑？

五、布置作业：书P3—4A组

教学后记：

课题：1.1反比例函数(2)

教学目标：

1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.

2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境，体会反比例函数的意义，理解比

例系数的具体的意义.

3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量

的值解决一些简单的问题.

重点：用待定系数法求反比例函数的解析式.

难点:例3要用科学知识，又要用不等式的知识，学生不易理解.

教学过程：

一.复习

1、反比例函数的定义：

判断下列说法是否正确(对"J",错"X")

(1)一矩形的面积为20c,“2,相邻的两条边长分别为x(c〃?)和y(on),变量y是变量x的反比例函数

(2)圆的面积公式s=加〃中，s与厂成正比例

(3)矩形的长为%宽为b,周长为C,当C为常量时，a是b的反比例函数.

(4)一个正四棱柱的底面正方形的边长为x,高为y,当其体积V为常量时，y是x的反比例函数

⑸当被除数(不为零)一定时，商和除数成反比例.

(6)计划修建铁路1200批,则铺轨天数y(d)是每日铺轨最伏〃?/d)的反比例函数.

2、思考:如何确定反比例函数的解析式？

(1)已知y是x的反比例函数，比例系数是3,则函数解析式是

(2)当m为何值时，函数，=/_是反比例函数，并求出其函数解析式.

关键是确定比例系数！,=苫方

二.新课

1.例2：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式和自变

量的取值范围。

小结：要确定一个反比例函数y=&的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量

x

与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。

2.练习：已知y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=2,求这个函数的解析式和自变量

4

的取值范围。

3.说•说它们的求法：

(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.

⑵已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时产9,写出y与x之间的函数解析式.

4.例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻为R(Q),通过电流的强度为

KA)o

(1)已知一个汽车前灯的电阻为30Q,通过的电流为0.40A,求I关于R的函数解析式，

并说明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新灯泡的电阻大于30Q,那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么

变化？

在例3的教学中可作如下启发：

(1)电流、电阻、电压之间有何关系？

(2)在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？

(3)前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？

先让学生尝试练习，后师生一起点评。

三.巩固练习：

1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=l.98kg/m3

(1)求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

(2)求V=9m3时，二氧化碳的密度。

四.拓展:

1.已知y与z成正比例,z与x成反比例，当x=-4时,z=3,y=-4.求：

(1)Y关于x的函数解析式；

(2)当z=-l时,x,y的值.

2.已知y=%+>2，%与工成正例，乃与工成反比例，并且%=2与x=3时,y的

值都等于10,求y与尤之间的函数关系。

五.交流反思

求反比例函数的解析式•般有两种情形：•种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函

数关系，如例2：另•种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的/=3

R

由欧姆定律得到。

六、布置作、也：P4B组

教学后记:

课题：1.2反比例函数的图像和性质(1)

［教学目标］

1、体会并了解反比例函数的图象的意义

2、能列表、描点、连线法画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质

［教学重点和难点］

本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质

由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点

［教学过程］

1、情境创设

可以从复习•次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一

步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图

象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？

2、探索活动

2

探索活动1反比例函数y=—的图象.

x

2

由于反比例函数y=—的图象是曲线型的，且分成两支.对此，学生第诙接触有定

x

的难度，因此需要分几个层次来探求：

(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、

下降等)；

(2)方法与步骤——利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值？——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，

但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

描点：依据什么(数据、方法)找点？

连线：怎样连线？——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把

所描的点连接起来。

2

探索活动2反比例函数y=—-的图象.

x

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：

(1)可以用画反比例函数y=*2的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；

x

(2)可以通过探索函数y=士2与y=-士2之间的关系，画出y=—2±的图象.

XXX

探索活动3反比例函数y=-2*与〉，=2*的图象有什么共同特征？

xx

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特

征.(即双曲线)

反比例函数(k#0)的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当左〉0时，

x

图象在第一、第三象限内，函数值y随自变量x取值的增大而减小：当女＜0时，图象在第

二、第四象限内，函数值y随自变量x取值的增大而增大。

反比例函数y=&(kWO)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

X

反比例函数y=月与〉，=一8(kWO)的图象关于直角坐标系的X轴成轴对称。

XX

3,学生练习

课本P9作出y=-‘3的图象

x

4、应用知识，体验成功

练笔：课本P101.2.

5、归纳小结，反思提高

用描点法作图象的步骤

反比例函数的图象的性质

6、布置作业

书PIOA组1、2

教学后记：

课题：1.2反比例函数的图像和性质（2）

教学目标：

1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。

2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。

教学重点：

通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

教学难点：

由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又山于反比例函数图像分成两条分支，给

研究函数的增减性带来复杂性。

教学设计：

一、复习：

1.反比例函数的图象经过点（一1,2）,那么这个反比例函数的解析式

为，图象在第象限，它的图象关于成中心对称.

2.反比例函数的图象与正比例函数的图象，交于点A（1,m）,

则m=,反比例函数的解析式为，这两个图象的另一个交点坐标

是.

3、画出函数y=0和y=—幺的图像

XX

二、讲授新课

1、引导学生观察函数），=9和y=-9的表格和图像说出y与X之间的变化关系;

XX

6

⑴y

x

X,-6-5-i123456

y・-1-1.2-66321.51.21

⑵y

x

X.-6-5-4・3-2-1123456

y.11.21.5236-6-3-2-1.51.2-1

2、做一做：

1.用“>”或“V”填空:

3

(1)已知修，月和x,y是反比例函数y=—的两对自变

22x

量与函数的对应值.若演</<0，则0—%—>'2.

(2)已知X],为和戈2，%是反比例函数y=的两对自变

量与函数的对应值.若%>%2>0，则o_%一%.

2.已知(为，x),(x2,y2).(x3,y3)是反比例函数

_-2的图象上的三个点,并且y>%>%>0，则X],x2,x3

'x的大小关系是()

(A)<x2<x3；(B)x3>^1<x2；

(C)>jr2>x3；(D)jt]>x3<x2.

3.已知a,必),(3,y2),(一2,%)是反比例函数y=—的图象上的三个点，则

%的大小关系是•X

4.已知反比例函数5.(1)当x>5时，0y1；

y=-

x

(2)当xW5时，贝Uy1,或y<(3)当y>5时，x的范围是。

3、讲解例题

例下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的

时间为时，平均速度为千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。

(1)求v关于t的函数解析式和自变量t的取值范围：

(2)画出所求函数的图象

(3)从杭州开出一列火车，在40分内(包括40分)到达余姚可能吗？在50分内(包括

50分)呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？

小结：(1)自变量t不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问题中的具

体意义及附加条件。

(2)对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。

(3)一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二是利用图解法。

练习：课本第16页课内练习第3题

三、小结：

本节课我学到了……我的困惑……

四、比较正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数反比例函数

解析式y=kx(Zw0)>-=--0)

X

图像直线双曲线

k>0,一、三象限；k>0,一、三象限

位置k<0,二、四象限k<0,二、四象限

k>0,在每个象限y随x的增

k>0,y随x的增大而增大大而减小

增减性k<0,y随x的增大而减小k<0,在每个象限y随x的增

大而增大

五、布置作业：书Pl2A组3,4B组1,2,3

教学后记：

课题：1.3实际生活中的反比例函数

教学目标：

1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程

2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结

合的数学思想。

3、培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。

教学重难点：

重点是运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用

反比例函数的图像及性质解决问题。

难点是例2中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析、整合的基础

之上，过程较为复杂。

教学设计：

一、创设情境、引入新课

如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后

气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。

（1）请根据表中的数据求出压强p（kpa）关于体积V（ml）函数解析式。

（2）当压力表读出的压强为72kpa时，气缸内的气体压缩到多少ml?

体积V(ml)压强p(kpa)

10060

9067

8075

7086

60100

分析：（1）对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理?

（2）能否用图像描述体积V与压强p的对应值？

（3）猜想压强p与体积V之间的函数类别？

师生•起解答此题。并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：

（1）山实验获得数据（2）用描点法画出图像（3）根据图像和数据判断或估计函数的类别

（4）用待定系数法求出函数解析式（5）用实验数据验证

指出：山于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是近似地刻

画了两个变量之间的关系。

二、动脑筋（请自学书P13—14）

问1、使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

问2、小明的妈妈给他作布鞋时，纳鞋底时为什么用锥子，而不用小铁棍？

三、巩固练习

课本第14页练习

四、说一说：

请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.

五、作业

1、练一练

设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则

需工人y名。

（1）求y关于x的函数解析式。

（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做

这种工艺品的工人多少人？

2,书P15A、B组

教学后记：

课题：第一章反比例函数复习（1）

女比例褊破槐念复司

【蕤孽€杼］

1、进•步认识成反比例的量的概念。

2、结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

3、掌握反比例函数的解析式，会求反比例函数的解析式。

［教学重点和难点】

重点：反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式。难点：目标2。

［教学设计】

一、知识要点：

1、•般地，形如y=-（k是常数,k=0）的函数叫做反比例函数。

x

注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

k

（A）y=—（kW0），（B）xy=k（kW0）（C）y=kx「'（kWO）

x

2、自学书P16--17

二、例题讲解：

1.、在下列函数表达式中,X均为自变量期E些y是X的反比例函数?每一个反比例函数相应的

k值是多少？

（l）y=~；（2）y=—;（3）y=：;（4）xy=2.

xx2

（5）y=-6x+3;（6）xy=-7;（7）y=与;（8'=Jx.

x5

（9）y=-2x-l（10））,=击

2、.若尸3X，T是反比例函数，则2=。

3.、若产（a+2）x或g“为反比例函数关系式，贝加=。

4、如果反比例函数尸二竺的图象位于第二、四象限，那么m的范围为

x

5、下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是

X1234

y6897Xi234

y8543

X1234Xi234

y5876yi1/21/31/4

6、回答下列问题：

(1)当路程s一定时.，时间t与速度v的函数关系。

(2)当矩形面积S-定时，长。与宽6的函数关系。

(3)当三角形血积S一定时，三角形的底边y与高x的函数关系。

(4)当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。

7、实践应用

例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a(cm),这条边上的高为h(cm),

⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；

⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数

⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。

例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R(Q),电水壶的功率

为P(W)„

(1)已知选用电热丝的电阻为50。，通过电流为968w,求P关于R的函数解析式，并说

明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新电热丝的电阻大于50Q,那么与原来的相比，电水壶的功率将发生什么变

化？

例3、(1)y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=0.6；求函数解析式和自变量x的取值

范围。

(2)如果一个反比例函数的图象经过点(-2,5),(-5,n)求这个函数的解析式和n的值。

(3)y与x+1成反比例，当x=2时;y=-l,求函数解析式和自变量x的取值范围。

(4)已知y与x-2成反比例，并且当x=3时，y—2.求x=1.5时y的值.

(5)如果y是〃2的反比例函数，是x的反比例函数，那么y是x的()

A.反比例函数B.正比例函数C.•次函数D.反比例或正比例函数

三、布置作业：见书P171--4

教学后记：

课题：第一章反比例函数复习(2)

教学目标：

1、通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律

2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，并解决厉它们有关的简单的实际问题

3、让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决

问题的能力。

教学重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。

教学难点：运用函数的性质对图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信一息,

灵活的运用数学思想方法。

教学过程：

-、知识回顾

1、什么是反比例函数？

2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗？与同伴交流。

2

1、反比例函数广-士的图象是,分布在第.象限，在每个象

x

限内，y都随x的增大而；若pl(xl,yl)>p2(x2,y2)都在第二象限1xl<x2,

则y>_________

0)在同一坐标

3、己知反比例函数y=L,若XI<x2,其对应值yl,y2的大小关系是

x1k

4、如图在坐标系中，直线产x+±k与双曲线y=巴在第一象限交与点A,与x轴交于点

2x

C,AB垂直工轴，垂足为B,且SZ\AOB=1

1)求两个函数解析式

2)求/A8C的面积

5、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗

透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条

的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反

比例函数，其图象如图所示。

(1)写出y与s的函数关系式；

(2)求当面条粗1.6mm2时，

面条的总长度是多少？

6,已知反比例函数y=&的图象经过点(4,,)，若一次函数y=x+l的图象平移后经过该反

x2

比例函数图象上的点B(2,m),求平移后的一次函数的图象与x轴的交点坐标。

三、小结：

1、本节复习课主要复习本章学生应知应会的概念、图像、性质、应用等内容，夯实基础提

高应用。

2、充分利用“图象”这个载体，随时随地渗透数形结合的数学思想.

四、作业

书P18--19

教学后记：

课题：反比例函数测试

基础达标验收卷

一、选择题：

1.己知反比例函数y=±的图象经过点(1,2),则函数y=-H可确定为(

X

A.y=_2xB.y=-5%C.y=D.y=2x

2.如果反比例函数的图象经过点(3,2),那么下列各点在此函数图象上的是()

A.(-V2,3拉)B.(9,1)C.(-V3,273)D.

如右图，某个反比例函数的图象经过点P,则它的解析式为(

A.y=—(x>0)B.y=--(x>0)

XX

X的函

数），=々。-1）和丫=-&awo）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）

8,如图，点A是反比例函数丫=三4图象上一点，A8J_y轴于点8,则△AOB的面积是（）

A.1B.2C.3D.4

9、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流/（A）与电阻R（Q）

成反比例.右图表示的是该电路中电流/与电阻R之间的图象，则

用电阻R表示电流/的函数解析式为（）

二、填空题:

1.我们学习过反比例函数.例如，当矩形面积S一定时，长。是宽b的反比例函数，其函

数关系式可以写为a=*(S为常数，SWO).

a

请你仿照上例另举•个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并

写出它的函数关系式.

实例：;

函数关系式：.

2.右图是反比例函数y=X的图象，那么A与0的大小关系是《0.

X

3.点(1,6)在双曲线)，=k*上，则h.

4.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦

距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是.

5.已知反比例函数y=--的图象经过点P(2,a),则a=.

X

三、解答题:

1.已知一次函数y=h+A的图象与反比例函数y=-»的图象在第一象限交于点

X

8(4,n),求女，n的值.

2.己知反比例函数y=右的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点(2,1).

X

(1)分别求这两个函数的解析式.

(2)试判断点尸(-1,-5)关于x轴的对称点P'是否在一次函数y=kx+m的图象上.

3.反比例函数y=A的图象经过点A(2,3).

x

(1)求这个函数的解析式：

(2)请判断点8(1,6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

4.在压力不变的情况下，某物承受的压强P(Pa)是它的受力面积S(n?)的反比例函数,

其图象如右图所示.

(1)求P与S之间的函数关系式：

(2)求当S=O.5m2时物体所受的压强P.

如图，反比例函数y=-§与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点.

5.

X

(1)求4、8两点的坐标；

（2）求AAOB的血枳.

能力提高练习

学科内综合题

1.如右图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点尸,

它的解析式是.

2.已知反比例函数），=£伏。0）和一次函数y=-x-6.

X

（1）若一函数和反比例函数的图象交于点（-3,m）,求m和k的值.

（2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？

（3）当k=-2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B,试判断A、B两点

分别在第几象限？NA08是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

二、学科间综合题

3.若一个圆锥的侧面积为20,则下图中表示这个圆锥母线长/与底面半径r之间函数关系

的是（）

三、实际应用题

4.某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大

厅内修建一个60平方米的矩形健身房48CD该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅

的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装

修）墙壁的费用为80元/平方米.设健身房的高为3米，一面

旧墙壁48的长为x米，修建健身房的总投入为y元.

（1）求y与x的函数关系式：

（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8WxW12.当

投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少

米？

5、为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立

方米空气中的含药量y（毫克）与时间x分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例

（如图所示）.现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克.请根据

题中所提供的信息，解答下列问题:

(1)药物燃烧时,关于x的函数关系式为：

,自变量工的取值范围是：

：药物燃烧后)，关于x的函数关

系式为：;

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6

毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少

需要经过儿分钟后，学生才能回到教室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3

毫克目.持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀

火空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什

么？

二次函数教案

课题：2.1二次函数

教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之同的二次函数关系的过程，进一步

体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小

明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计

算篮球达到最高点时的高度?

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书

课题)

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示卜列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

(1)面积y(cm?)与圆的半径x(Cm)

(2)王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定

期，设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的

尺寸如图,设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

(1)y=irx2(2)y=2000(1+x)2=20000x2+40000x+20000

(3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-l12

(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,aWO)的形式.

板书：我们把形如y=ax4bx+c(其中a,b,C是常数，aWO)的函数叫做二次函数(quadratic

funcion)

称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

(二)做一做

1、卜列函数中，哪些是二次函数？

,1,

(1)y=x"(2)y=--(3)y=2x"—x-l(4)=x(l-x)

x~

(5)y=(JC-1)2-(^+l)(x-l)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)y-x2+1(2)y-3x2+1x-\2(3)y=2x(l-x)

3、若函数y=(加2—1)£"~'为二次函数，则111的值为。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数y=./+px+q当x=l时，函数值是4：当x=2时，函数值是-5。求

这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书

示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数y=法+c,当乂=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。

求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张iE方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部

分)。设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cn?),求：

(I)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2)当x分别为0.25,0.5,1.5,1.75时,对应的四边形EFGH的面积,并列表表示。

方法：

(1)学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

(2)对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=iE方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH?

(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

(4)对于第(2)小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y之间数值的对应关

系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图)，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

⑵当x=3时,矩形的面积为多少？

四、归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获?

五、布置作业

课本作业题

课题：2.2二次函数的图像（1）

教学目标；

1、经历描点法画函数图像的过程；

2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；

3、掌握丁=。炉型二次函数图像的特征；

4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

教学重点：

y=aN型二次函数图像的描绘和图像特征的?!|纳

教学难点：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

教学设计：

一、回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先

《用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）

引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y入手。

因此本节课要讨论二次函数），二。/（。了0）的图像。

板书课题：二次函数），=在代（awO）图像

二、探索图像

1、用描点法画出二次函数），=/和〉=一/图像

（1）列表

1

X…-2-1--1012…

2-222

XJ一V2J_

V-A…42-102-12-4+♦♦

444

一丫2]_

…-4-2--10-2--4+♦♦

4~4'44

引导学生观察上发，思考一下问题:

①无论x取何值，对于y=/来说,丫的值有什么特征？对于）,=-x2来说，又有什么特征？

②当x取土±±1....等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？

2

（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.

（3）连线,用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y=/和y=-炉

的图像。

2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y=2『和),=_21的图像。

学生画图像，教师巡视并辅导学困生。(利用实物投影仪进行讲评)

3、二次函数旷二"『(。"0)的图像

由上面的四个函数图像概括出：

(1)二次函数的y=图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

(2)这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

(3)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

(4)当。M。时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图