2021-2022学年江西省宜春市高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（附答案详解）

2021-2022学年江西省宜春市上高二中高三(上)第四次

月考数学试卷(文科)

1.己知集合4={幻Z4},B={x\x2-2%-3<0},则4n(CRB)等于()

A.{x\x>3]B.(x\x>3}

C.{x|-1<%<3}D.{x\x>3或x4—1}

2.在下列函数中，既是奇函数并且定义域为(-8,+8)的是()

A.y=tanxB.y=cosxC.y=ex-e~xD.y=%-1

3.若基函数y=(7^+36+3)》而+2血-3,且关于原点对称，则()

A.m=—2B.m=—1

C.m=-2或ni=-1D.-3工W—1

xX

4.已知命题p：VxG/?,2+^>2,命题q：9x06(0,+oo),2»=则下列判断

正确的是()

A.pAq是真命题B.(1p)A(-)q)是真命题

C.(p)A(「q)是真命题D.(-ip)A(q)是真命题

5.已知函数/(%)的定义域为[一1,2],则函数g(x)=/(2%)+JT基的定义域为()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[-pl]D.[-1,0]

6.角a终边上有一点P(m,2),则"cosa=-["是"m=-乎"的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.函数f(x)=(3x-x3)sinx的部分图象大致为()

A.(—8,—2)B.(—8,—2]C.(—2,+8)D.[-2,+8)

9.已知sin(a+三)+sina二名则sin(2a—5的值是()

336

A.-B.--C.-

999

10.设函数/(%)的定义域为R,/(-%)=/(©,。(%)=/(2-%),当工€［0,1］时，f(%)=

/.则函数g(%)=|COS(7TX)|-/(X)在区间［一谷］上的所有零点的和为()

A.7B.6C.3D.2

11.已知函数f(x)=blnx+一Q%有两个极值点看，X?，且W(0,1)，x2G(1,2),

则空的取值范围为()

a

A.(1,5)B.(|,5)C.G，|)D.(|,+oo)

12.已知a,匕为正实数，直线y=x—a与曲线y=ln(x+b)相切，则心的取值范围是

()

A.(0,+oo)B.(0,1)C.(0,|)D.［l,+oo)

13.已知非负实数x、y满足2x+yN1,则巨誓的最小值为.

14.若函数/(%)=logi(-x2+4%+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增，则实数m的

2

取值范围为.

I_寸、.彷cos400+sin500(l+btam00)_

‘/1且：sin70°>/l+cos^------------->

16.已知函数/(%)=Inx-mx+1,g(%)=x(ex-2),若对其定义域内任意x,f(x)<

g(x)恒成立，则机的取值范围为.

17.已知函数f(x)=。+1|+|%-3|.

(1)求不等式/(%)>6的解集；

(2)设函数/(x)的最小值为f,已知a?+炉+c2=t,求a+2b+3c的最大值.

18.在直角坐标系xO)，中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点。

为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(e+》=1.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C交于M,N两点，设P(2,0),求高+高的值.

19.已知锐角AABC中，角A,8,C所对的边分别为a,6,c,sim4=cosC(sinF+V3cosB).

(1)求C的值；

(2)若c=V5,求△ABC面积S的取值范围.

20.已知函数/(%)=4sin(3x+(p)(xR,A>0,a)>0,0<cp<；)的部分图象如图所

示尸是图象的最高点,Q为图象与x轴的交点,0为坐标原点.若0Q=4,0P=后，

PQ=V13.

(1)求函数y=/(%)的解析式；

第2页，共15页

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象，当xG

(一1,2)时,求函数九(x)=f(x)-g(x)的值域.

21.如图，在多面体A8CDEF中,A8CQ是正方形,BF1平面ABCD,DEABCD,

BF=OE,点M为棱4E的中点.

(1)求证：平面8MD〃平面EFC；

(2)若4B=1,BF=2,求三棱锥4-CEF的体积.

22.已知函数/'(*)=4/+(8—a)x—alnx.

(1)求/'(x)的单调区间；

(2)当a=2时,证明：/(x)>4x2—2ex+6%+4.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础

题.

求出A中不等式的解集确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,求出B的补集，找

出A与8补集的交集即可.

【解答】

解：由A中不等式变形得：2X-X>4=22,

即X—122,解得：x>3,即4={x|x23},

由3中不等式变形得：(%-3)(x+1)<0,

解得：—l<x<3,即8={x[—1<x<3},

•••CRB=[x\x<-1或x>3},

贝UACKCRB)=[x\x>3},

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：y=tanx的定义域{x|xH/c7r+],keZ},A不符合；

y=cosx为偶函数，不符合题意；

了=1-3一为奇函数且定义域为/?,符合题意；

y=的定义域{x|x#0},不符合题意.

故选：C.

结合基本初等函数的奇偶性及定义域分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了函数定义域及奇偶性的判断，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：幕函数y=(m2+3m+3)xm2+2m-3,且关于原点对称，

m2+3m+3=1

■,(m2+2m-3是奇数

解得m=-2.

故选：A.

利用基函数的定义和性质列方程组，能求出结果.

本题考查某函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】C

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【解析】解：•.,命题p：VxGR,2x+^>2,则：2X>0,2x+^>22x-^=2,

p为真，

命题q：3x0e(0,+oo)H^,2*>1恒成立，2%=5故q为假，

则(P)A(rq)是真命题.

故选：C.

根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假，再确定命题「q，-1P的真假，然后逐项判

断即可.

本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p,夕的真假是解

决本题的关键，比较基础.

5.【答案】D

【解析】解：因为函数/。)的定义域为[—1,2],

所以在函数g(x)=/(2x)+下中，令51家*?2,

IJ.一ZNU

解得卜54*41,BP-i<x<0,

lx<02

所以函数g(x)的定义域为[一10].

故选：D.

根据函数/(x)的定义域，结合题意列出使函数g(x)有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了求抽象函数的定义域应用问题，是基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，任意角的三角函数的定义，属于基础题.

根据任意角的三角函数的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：①由cosa=—得了与：.m=一3，.•.充分性成立，

3V7n2+432

②若m=■•容贝忏=](_号)2+22=学,二cosa=：=—%.•.必要性成立，

•••cosa=-[是爪=一当的充要条件.

故选：C.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的图像与性质，一般可以从函数的单调性，奇偶性或特殊点出的函数值等

方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

根据函数奇偶性的概念可判断/"(x)为偶函数，排除选项B;再对比剩下选项，需考虑0<

x<%和b<x<n■时，f(x)与0的大小系即可作出选择.

【解答】

解：/(—X)=(—3%+x3)sin(-x)=(3x—x3)sinx=f{x},

・・•/(%)为偶函数，排除选项C；

当0<x<H时，，3%—x3>O,sinx>0,•••/(x)>0,排除选项。；

当■时，3刀-二<0,3%—%3<0,sinx>0,/(x)<0,排除选项B.

故答案选：A.

8.【答案】B

【解析】解：当％<。时，f(x)=x2-2x+2=(%-I)2+1,此时函数/1(%)单调递减，

当x>0时，由复合函数的单调性可得函数f(x)单调递减；

且。2-2x0+2>logi(0+1)即整个函数单调递减

2

・・,不等式/(%4-a)>/(2a-%)在［a,Q+1］上恒成立

%+a<2a-工恒成立，

即Q>2%恒成立，

•・•xE［a,a4-1］,

•b•(2x)max=2(a+1)=2a+2,

即a>2a+2,

解得a£—2,

即实数a的取值范围是(一2-2］.

故选：B.

根据二次函数的单调性容易判断出函数"X)在R上单调递减,所以根据题意得到％+a<

2a-x,即2%Wa在［a,a+1］上恒成立，所以只需满足2(Q+1)Wa,解该不等式即得

实数。的取值范围.

本题主要考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法,

函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性.

9.【答案】B

［解析］解：•・,sin(a+§+sina=y,

・•・-sina+—cosa+sina=—,即sin(a4-

22316，3

:.cos(2a+§=1—2sin2(a+2)=1—2x^=(，

IT71TCTC7

•••sin(2a--)=sin(2a-2+3)=-cos(2a+3)=~g-

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故选：B.

根据已知条件sin(a+9+sina=,运用三角函数的恒等变换，可得sin(a+?=；,

3363

再结合三角函数的二倍角公式和诱导公式，即可求解.

本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的二倍角公式和诱导公式，需要学

生熟练掌握公式，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解:/(x)=/(2-x),/(%)关于x=1对称，

,•./(一x)=/(x)，:/(x)根与x=0对称，

・••/(x)=/(2-x)=/(x-2)./(x)=f(x+2)，

・•・/(x)是以2为周期的函数，

.••/(X)在［一:卷］上共有3条对称轴，分别为久=0,x=1,x=2,

又y=|cos(7rx)关于％=0,x=1,x=2对称，

A%=0,x=1,x=2为g(%)的对称轴.

作出y=|COS(TTX)|和y=/在［o刀上的函数图象如图所示：

由图象可知g(x)在(0,今和&1)上各有1个零点.

又g⑴=0,.•.g(x)在［心,|］上共有7个零点，

x

设这7个零点从小到大依次为%1，%2»…久6，7-

则g关于％=0对称，右关于％=1对称，％4=LX6f%7关于％=2对称.

・•・+%2=%3+%5=

0，2,%6+%7=4,

・•・Xi+冷+%3+%4+%5+%6+%7=7.

故选：A.

根据/(%)的对称性和奇偶性可知f(x)在［一发|］上共有3条对称轴,x=0,x=l,x=2,

根据三角函数的对称性可知y=|COS(TT%)|也关于x=0,%=1,x=2对称，故而g(%)在

［一:月上3条对称轴，根据/(x)和y=|cos(g)|在［0,1］上的函数图象，判断g(x)在［，|］

上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和.

本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于中档题.

11.【答案】A

【解析】解：f'Cx)=^+x-a,

34=0.；,.心+1=0

因为/(%)=b\nx+|x2-ax有两个极值点%,

X29

所以f'(%)=g+X-Q="一：”=0的两个

零点%16(0,1),X26(1,2),

令9(%)=x2—ax+b,则

(。(0)=b>0

[g(l)=l-a+b<0,

(g(2)=4—2a+b>0

作出平面区域，如图所示，

由于誓的几何意义是平面区域内的点(a,b)

与M(0,—5)的连线斜率，4(1,0),C(2,0),8(3,2),

结合图形可知AMA=5,kMB-p

故等的取值范围为G，5).

故选：A.

先对函数求导，然后结合极值存在条件转化为g(x)=x2-ax+b有两个零点/e(0,1),

x2G(1,2),然后结合二次函数的实根分布可求关于a,。的二元一次不等式组，结合直

线的斜率的几何意义可求.

本题主要考查了导数与极值关系的应用，还考查了二元一次不等式组表示平面区域，体

现了数形结合思想的应用.

12.【答案】C

【解析】解：函数y=ln(x+b)的导数为y'=系=1,x=1-b,切点为(1-b,0),

代入y=x-Q,得a+b=l,

•••a、b为正实数，a€(0,1),

令刎=痣则或砂=翟等>。，

则函数g(a)为增函数，

a21

二口6(°磅

故选：C.

求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可.

本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解

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决本题的关键.

13.【答案】于

4

%>0

【解析】解：由题意可得，实数X、y满足yNO

.2%+y-1>0

其中直线2x+y-l=0与x轴，)，轴的交点分别为©,0),(0,1),

令z=殁巴，则z的几何意义为可行域中的点到直线x+y+1=0的距离，

由图可知，点G，0)到直线x+y+l=0的距离最近，

故z的最小值为身券=平，

<24

所以空沪的最小值为乎.

V24

故答案：平.

4

先作出X,y满足的可行域，然后利用强里的几何意义，将问题转化为点到直线x+y+

1=0的距离，再利用点到直线的距离公式求解即可.

本题考查了线性规划的简单应用，解题的关键是正确作出可行域，将所求式子转化为可

行域中的点到直线x+y+1=0的距离，考查了数形结合思想，属于中档题.

14.【答案】E，2)

【解析】

【分析】

本题考查对数函数的性质，涉及复合函数的单调性和不等式组的解法，属于中档题.

先由对数函数和二次函数的性质易得函数/(%)的单调递增区间，再根据题意可得，〃的不

等式组，解不等式组可得.

【解答】

解：函数f(%)=logi(-x2+4x+5),

2

则一X2+4X+5>0,解得一1〈尤<5,则函数/(x)的定义域为(一1,5),

又可得二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为％=--^-=2,

由复合函数单调性可得函数/'(x)=10gi(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5),

2

要使函数f(x)在区间(3加一2,血+2)内单调递增，

(3m—2>2fm>-

则血+245,BP<m<3，则长2,

v3m-2Vm+217n<?

故实数"?的取值范围为2).

故答案为E，2).

15.【答案】V2

［解析］解：cos*鬻登+空的

sm70°“+cos40°

cos400+sin500(l+

sin70°Vl+Zcos^O"-1

71co.2sin50°cos50°

c°s4°+coslO。

cos20°V2cos20°

cos40°+1

V2cos220°

2cos220。

V2cos220°

=V2.

故答案为：y/2.

由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得.

本题考查三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，属中档题.

16.【答案】［1,+8)

【解析】解：因为函数/(%)=In%+1,5(x)=x(ex-2),定义域为(0,+8)；

不等式/(%)<g(x)恒成立，即Inx-mx+1<x(ex-2)在(0,+8)上恒成立，

所以TH-2>二竺-e”在(0,+8)上恒成立，

设以切=等_/，则◎，(%)=邑雾_蜻=_立泮，

设九(x)=x2ex+In%,则九'(%)=(%2+2x)ex+§>0,

所以九(%)在(0,+8)递增且九g)vo,/i(l)>0,

所以h(X)有唯一零点质旦焉e4+lnx0=0,

Xo

B|Jx0e=匚些，两边取对数得g+lnx0=ln(-lnx0)+(-lnx0),

x0

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易知y=x+In%是增函数，

所以%o=—lnx0,即e"。=亍,由“(久)=—今当知，

9‘0)在(0,&)上单调递增，在(%),+8)上单调递减，

所以9(X)<(P(,x)=-exo=1一：=一1,

ox

和0“0

所以租一22-1,解得7nz1,

所以加的取值范围是[L+8).

故答案为：[1,+8).

不等式f(%)<g(x)恒成立转化为m-2>二三-e”在(0,+8)上恒成立，设*(%)=

手-蜻，利用导数判断函数的单调性，求出0(%)的最大值，即可求得机的取值范围.

本题考查了函数的单调性，最值问题，也考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是难

题.

—2.x+2,%工一1

17.【答案】解：(1)/(%)=卜,一1vxV3,

2x—2,x>3

不等式f(x)>6等价于.2>6<>1%<3或吃2>6,

解得：x<-2或x>4,

综上所述，不等式解集是(一8,-2]11[4,+8).

(2)由(1)可知f(X)min=4,即t=4,

所以+炉+。2=4,

由柯西不等式可得(a+2b+3c)2<(l2+22+32)(a2+b2+c2)=56,

当且仅当彳=g=|,即。=手，b=W，©=半时等号成立，

所以a+2b+3c<2V14,

所以a+2b+3c的最大值为2旧.

【解析】(1)化简函数为分段函数，然后转化不等式求解即可；

(2)由(1)可得/(x)min=4,可得+〃+c2=4,利用柯西不等式即可求得a+2b+3c

的最大值.

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档

题.

18.【答案】解：(1)曲线C的参数方程为二:鬻°(a为参数)，转换为直角坐标方程

为9+y2=i.

fx—pcosO

直线/的极坐标方程为pcos(e+g)=1,根据y=psine,转换为直角坐标方程

+y2=p2

为《x~~y=1>整理得x-y/3y—2=0.

l(X=2+—t

(2)由x-Wy—2=0,转换为参数方程为<12(t为参数)，

代入9+y2=i,得到：3t2+27^—5=0.

故+t2=一等，t/2=-I，

故1,1_Itfl_Jai+t2)z-4jt2_6V2

X|PM||PM-|t«2l-Kitzl-5'

【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转

换；

(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方

程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由sinA=cosC(sinB+75cosB)得sin(B+C)-cosCsinB=

V3cosBcosC,

即sinCcosB=KCOSBCOSC,因为△ABC为锐角三角形，cosB40,

所以tanC=g,C=p

(2)由c=M，C=3得-^7==-^7=2,得a=2sin4b=2sinB,

3sirMs\nBsinC

所以△ABC面积S=-absinC=V3sini4•sinB=—+且sin(2A-

2426’

因为△ABC为锐角三角形且C=g所以

362

所以24一江麻甘，sin(24一》G41],所以SG(今引

ABC面积5的取值范围为(今争.

【解析】(1)可知sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,然后代入sin/=

cosC(sin^+BcosB)即可求出tanC=V3,从而得出C=g；

(2)根据正弦定理可得出△ABC面积S=f+fsin(2A-5，根据题意可得出J<A<一

42662

然后即可求出S的取值范围.

本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的正余弦公式，三角形的面积公

式，考查了计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由条件知coszPOQ=%色-詈】=乎,所以P(l,2).(2分)

由此可得振幅4=2,周期T=4X(4-1)=12,又如=12,则3=

将点P(l,2)代入/(x)=2sin(^x+cp),得sin/%+@)=1,

因为0V3VB所以0=g,于是/(%)=2sin(gx+§.(6分)

2363

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(2)由题意可得g(x)=2sin[^(%-2)4--]=2sin^x.

所以九(%)=/(%)•g(x)=4sin(-x+-)-sin-x=2sin2-x+2-/3sin-x-cos-%=1-

636666

cos-x+VSsiny%=14-2sin(-x—2).(9分)

3336

当xW(-1,2)时，6(-7,7)，所以sin(gx_g)W(-1,1)，

ooZZoo

即l+2sinCx—5G(—1,3).于是函数八(x)的值域为(—1,3).(12分)

36

【解析】(1)从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的

坐标，:的长度，由此推理出三角函数的解析式；

(2)由题意先求出g(x),“乃的函数解析式，由x的范围求出gx-g的范围，同时结合三

角函数的图象进行分析，即可求出其函数值域.

本题主要考查了三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识,

考查了求解三角函数的值域，关注自变量X的取值范围是解题的关键，属于中档题.

21.【答案】(1)证明：连接AC,与BD交于点、N,则N为AC的中点,

MN//EC.

•：MNC平面EFC,ECu平面EFC,

MN〃平面EFC.

BFABCD,DEABCD,且BF=CE,

BF//DE,BF=DE,

二四边形BOE尸为平行四边形，二BD〃EF.

vBD<t平面EFC,EFu平面EFC,

•••B。〃平面EFC.

又•••MNC\BD=N,

平面BDM〃平面EFC；

(2)解：连接EMFN.在正方形ABCO中，AC1BD,

又；BF1平面ABCD,ACu平面ABCD,

•••BF1AC.

・：BFCBD=B,BF,BDc5p®BDEF,

：.AC1平面BDEF,且垂足为N,

_1

^A-CEF—•力C•S^NEF

=-xV2x-xV2x2=-,

323

••・三棱锥A-CEF的体积为|.

【解析】本题考查面面平行的判定