2021届高三数学高考总复习-集合易错题专题复习

易错01集合

元素意义理不清否命题与命题否定区分

集合

逻

与

用

集合互异性忘检验辑充分、必要傻傻分不清

i吾

子集为空集与取等全称特称与最值

易错点1元素的意义

【例1】已知集合/*州U},B=^,y）\y=\x\}f则集合4nB的子集的

个数为（）

2C8

A.D.16

4r夜

X-一

-2

2<

X2+H-也&

V-

V-2T

得

Z或

V,

K八“即中有2个元素；力门3子集个数为4.故选:

B.

【变式训练】

1.（2017•全国高考真题试卷（理））已知集合'=4羽'）卜=5,

8={（x，y）|v=x},则/nB中元素的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

由题意，可知集合力表示以（0'°）为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合

B表示直线>="上所有的点组成的集合，又圆/+产=1与直线歹=x相交于两点

，叵玲旦一旦

（22）,122则4n8中有2个元素,故选B.

2.（2020•山东）若集合A/={（x,y）|x+y=0}»N={（x,y）|x2+^2=0,xGR,_yGR},则有

（）

A.MUN=MB.MUN=NC.MCN=MD.MC\N=0

根据集合的表示法知集合M表示直线，集合N表示一个点且点在直线上，得到两集合的并

集.

详解：N={（x,y）|X24-/=0,xeR,y£R}={（℃）},且点（0,0）满足直线x+k）.

所以“UN=M,故选A.

A=<（x.y^x2+—=1>

3.（2020•宁夏银川一中高三月考（理））设集合4,

，则“门6的子集的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

riY

A=<(x,y)x2+—=1>8=〈(xj)y=1\

4

集合〔J

Ar\B=<(x,y^<

y

则画出图形：由图知，/ns元素有2个，则“ns子集

有2?=4个，选A

易错点2集合的互异性

4二%]Q2

【例2】20.（2020•黑龙江哈尔滨•高三月考（理））已知集合I''

8={l,0,3a-2},若4=B,则a等于（）

A.1或2B.-1或一2C.2D.1

C

因为4=8,所以/=3a—2,解得a=l或4=2.

当。=1时，片=1,与集合元素互异性矛盾，故〃=1不正确.经检验可知。=2符合.故选:

C

【易错总结】

根据题意求出参数后，记得将参数代入原集合，看集合中的元素是否满足元素的互异性，不满足则舍

【变式训练】

"="一'2/+5。，12}其一3e/,则由〃的值构成

1.（2020•四川成都♦石室中学月考）

的集合是（）

A.0

•••-3e,当。-2=-3,即”=一1时,'={-3,-3,12},集合中有相同元素，舍去;

,a=A=,-3,12>

当2矿+5a=-3,即”=一1（舍）或2时，I2J,符合,

故由。的值构成的集合是.故选:D

2.（2020•泊头市高一月考）若一"1，。一11则听（）

A.-1B.0C.1D.0或1

因为一1邛八"1，八1},所以有=或=

当"一。一1=一1时，解得”=0或。=1,当“=。时，a--a-1=a-t不符合集合元

素的互异性，故舍去，所以。=1.当二一1=一1时，解得。=°,由上可知舍去，综上.

°=1故选:C

易错点3子集为空集与取等

3x<25

A=<xx+T

【例3】（2020•渝中•重庆巴蜀中学月考）已知集合

3={x["2<x<2a+l},若力”，则实数”的取值范围是（）

*1

A.B.PC.D.

三42,=3x—2x—2

A=<xX<0>=5—<ol=(x|—1<x2J

X+1x+1x+1

（1）因为，

a-2<-l

—<a<1

「8=„-2<%<2々+1}A

,@B,所以3+l>2,解得2.故选：B.

【易错总结】

区分0子集包括集合相等，真子集不包括集合相等

f分式中分母为0

子子集=0>

集子集含有参数不等式左端点〉（或2）右端点

为

空子集X0

集

与真子集按子集思路求参数再验证"="

取

等里空外空取等

里空外实取等

子集取“=”V空指集合没有等号，实指集合有等号〉

里实外实取等

里实外空不取等

【变式训练】

1.（2020•安庆市第七中学高三其他（文））已知集合"={x|x?=1},N={x|ax=l},

若NJM,则实数。的取值集合为（）

A.{1}B.卜”}C{1，0}D.{1，T，0}

,集合M={x|x2=l}={-1,1},N={x|ax=l},NUM,.,.当a=0时，N=0,成立;

当a4）时，N={4},：NUM,二&或。=1.解得a=-l或a=l,

综上，实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.

A=^>0

2.（2020・扬州大学附属中学东部分校月考）若集合[x+1

8={x|ax+"0},若,则实数。的取值范围是（）

C.（-叫―l）U[0,+s）d[-1,o）u（o,i）

x-3x+lwO

因为x+l'°,所以l（x-3）G+l）N°,所以x<-l或xN3,

所以/小-1或a},

当a=0时，1<0不成立，所以8=0,所以8工“满足，

当。>0时，因为ax+l<0,所以a,

又因为所以。,所以

当。<°时，因为ax+l<°,所以a,

--->3—<a<0

又因为所以。，所以3,

ae

3

综上可知.1故选：A.

,..._,右3人4=仅。—1WxWa+215={xl3<x”,则使

3.（2021•三口峡市月考）已知集合I।口

4AB成立的实数。的取值范围为（）

A{中<。44}\a\3<x<4}初3<”4}0

a—143

V

若满足由已知条件得曾+225,解得3W前4,故选：c.

易错点4命题的否定与否命题的区分

Vxe（0+oo）sinxNx+L

【例4】⑴（2020•福建其他）命题JU'田九x„的否定是（）

1

人Vxe(0,+oo)smx<x+[曰C、sinx^x+-

A.、，,，xB.*e(0,+8),x

11

nzn,\SinX<X+—Sinx<x+

C*e(o,y),xn3xe(^o,0]T

D.'」，人

（2）.（2020•陕西省商丹高新学校高三其他（理））命题“若。>】，则三》>°,使得

Y2

°>x”的否命题为（）

7

xE2

A.若,则Vx>°,a<xB.若,则mx>°,a<x

v7Y2

C.若。>1,则a>x-D.若。>1,则Vx>。，a

1

⑴因为命题“Vx”.+00),Smx>x+—

X”为全称命题,

1

z、smx<x+—

所以该命题的否定是“土€”n,+8）,x”,故选：C.

（2）命题“若。>1,则改>0,使得。'>/，，的否命题为“若a41,贝ijVx>0,

a-x”故选：A

【易错总结】

【变式训练】

1.（2020•河北月考）命题«0，+8）,42，",的否定是（）

X

A3x0e（0,+oo）X；+2%<13x0e（0,+oo）+2°>1

2X2X

cVxw（0,+oo）,X+2<\DX+2<\

命题“Vxe（°，+8）,V+2、21，，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的

否定为：3%°e（°，+8）,x；+2X0<1故选:A.

2.（2020•甘谷县月考（文））命题“若/+/=°,则X=>=°”的否命题为（）

A.若/+丁=0,则XHO且"0B,若/+炉=0,则xwO或产0

C.若丁+歹00,则XW0且"0D.若则x/0或"0

设P为原命题条件,4为原命题结论，则否若非P则非4.

原命题喏/+丁=0,则x=y=O„

•••故其否命题为：若则XHO或故选:D.

3.（2010•黑龙江齐齐哈尔）下列说法正确的是（）

A.命题“若/>1,则x>l”的否命题为“若>1,则x<l”

B.命题》>1”的否定是“必^€火，X2>1„

C.命题“若X=y，则C°SX=COSR,的逆否命题为假命题

D.命题“若x=V,则c°sx=c°sy”的逆命题为假命题

A.命题“若/>1,则X>1”的否命题为“若fwl,则X41”，故/错误；

反命题8>1，，的否定是“也6/?,X2<1故8错误：

C.命题“若X=»,则0°$"=85'’,为真命题，故它的逆否命题为真，故C错误；

D.命题“若x=y,贝|JcosX=cosy,,的逆命题为“若cosx=cosy,则工=入，，当

x=-y时，c°sx=cosy成立，故为假命题,故选：D

易错点5充分、必要傻傻分不清

【例5】（1）（2020•黑山县黑山中学月考）已知集合'=8'=怆（2—

5=（-oo,«]>若xe/是xe8的必要不充分条件，则实数。的取值范围为（）

B.a>2C.°22D.

（2）（2020・陕西新城•西安中学高三月考（理））设P」4x—3区1,1：

x2-（2«+l）x+a（a+l）<0是「夕的必要不充分条件,则实数°的取值范围是（）

(-0o,0)U

（1）'''A={c\y=^（2-x）}={x|2-x>0}={x|x<2}5=（-oo,a]

由于xe/是xw8的必要不充分条件，，a<2.故选：4

（2）由非P是非q的必要而不充分条件，可知《是「的必要而不充分条件，即「是“充分

而不必要条件，解不等式-3|<1,得〔3'解不等式

N=-,1

0：/-（20+。^+而+口4。得8=|?，"+1],由题意知12'」是8=[a,a+l]的

{+110<a<-

真子集，所以"121,即2,故A

【易错总结】

1.充分、必要性

充分、必要条件与集合的关系

充分、必要条件：2={MWM},8={Mq(M集合关系

若方q,则一是q的充分条件，q是0的必要条件A&B

夕是q的充分不必要条件夕0q且曲pAgB

夕是q的必要不充分条件且gpBgA

一是q的充要条件p^qA=B

夕是q的既不充分也不必要条件/q旦q^p4HB旦4至B

【变式训练】

1.（2020•天津高考真题试卷）设awR,贝是“的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

求解二次不等式。>a可得：。>1或。<°,据此可知：。>1是>&的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2020,江苏省郑集月考）已知命题p：a<x<a+1,命题q：x2—4x<0,若p是q的充分

不必要条件，则。的取值范围是.

令M=[x\a<x<a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}.

a>0

<

,：p是q的充分不必要条件，些N,N+1<彳，解得oq。.故填（°，3）

jx||<2v<8,xe/?

A=

3.（2020•陕西省洛南中学）已知集合

8=同-1<x<加+1}

若是的充分不必要条件，则实数〃2的取值范围为

A=卜<8,xeR-1<x<3}

根据指数函数的性质得

因为xe4是xeB的充分不必要条件，所以/£8

所以〃?+1>3,解得m>2.

所以实数加的取值范围为+00）故（2,+8）

易错点6全称特称与最值

【例6】已知函数/(X)=2，+4X—",g(x)=x2-2X

⑴若对任意X+3,3],都有/(x)<g(x)成立，求实数〃的取值范圜

⑵若存在臼―3,3],使八小g⑴成立，求实数人的取值范围；

(3)若对任意NT美],都有小)“伍)成立，求实数后的取值范围

⑴由题意得：g()/G)=rjx+CO对任意xe[-3,3]恒成立，

即a,"2+6x对任意XG卜3'3]恒成立，

当"3时，八6》取得最大值27,.”227,即左的取值范围为口7,年)

(2)由题意得:存在XW[T3]使得g(x)—/(X)=—X2—6X+左NO成立

即存在“G[T3],使得八46%成立，

当x=-3时，/+6》取得最小值-9,/“9,即左的取值范围为[-9,+00)

(3)由题意得：当》武一利时，/。)…*。)*,

当x=3时，/G)nax=18+12T=30T；当x=l时，g()n=1-2=7

.•.30—左4一1,解得：k>3l,即左的取值范围为PL+«)

【易错总结】

【变式训练】

1.（2020•临高县临高中学月考）命题“天。€凡2年—3依0+9<0,,为假命题，则实数。的

取值范围是.

由题意可得YxwR、2x?-3ax+9>0为真命题.

所以△=（<“一4x2x940,解得_2四。42夜.

2.（2020•利辛县阚瞳金石中学月考）若命题“存在实数xW，2],使得/+3+3—加<0，，

是假命题,则实数m的取值为

因为命题“存在实数x°e[1,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命题

所以命题的否定形式为“对于任意实数X。引1,2],使得ex+x2+3-m»0”恒成立是真命题

由ex+x2+3-m^0可得〃?（d+Y+3在口为上恒成立

设/（x）=e'+x?+3/'（x）=e*+2x在口,2]上大于o恒成立，

所以/（X）=/+厂+3在口,2]为单调递增函数所以〃x）min=/XD=e+l+3=e+4

所以机4e+4即m的取值范围为（一°°4+4]

f（\_2g（x）=（―）'-m

3.（2020•湖南宁乡一中）己知函数”Y一%r,2

（1）若对任意王€[T，3],e[0,2]都有/a）》g（x2）成立，求实数的取值范围；

（2）若对任意总存在m6卜1,3],使得/（再）2g（W）成立,求实数m的取值

范围.

（1）由题设知：/（』）minNg（x2）max,

•."（X）在（T°）上递减，在（°，3）上递增，二/（七）„1而=/（°）=°

又•.•g（x）在（0,2）上递减，...gQ）1rax=g（°）=l-加.•.有021-祖,加的范围为

[1,+8）

（2）由题设知/（斗）2.•.有/（3）2g（0）,即921-〃2,.•.A/的范围为

[-8,+00）

【巩固提升】

1.（2020-土默特左旗）若集合/=｛（"/）"=2x?-3x+l｝,5=｛（x,y）|y=x｝,则

集合/n3中的元素个数为.

集合/=｛（"）1k2--3x+l｝,8=｛（"）|kx｝均表示的是点集，即曲线上的点

构成的集合，则集合4cB即为求两函数图象的交点.

y=2x2-3x+l

<

联立方程得：［-y=x,2/-4x+l=0,由A=16_8=8>0知两函数图象有

两个交点，所以集合/C8中的元素个数为2.

2.(2020•全国高考真题试卷(理))已知集合”={(x/)|xjeN"j2x},

8={(x,y)|x+y=8},则a8中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

y>x

由题意，”n8中的元素满足［x+y=8,且x/wN*,由x+y=822x,得844,

所以满足x+V=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故中元素的个数为4.故选：c.

3.（2020•山东高三零模）已知集合4={T，2},B={x\ax=1}t若BqA,则由实数

。的所有可能的取值组成的集合为（）

A.HiB.罔C.{遍}D.H尚

因为集合力={T,2},5={x|ax=l}）BJ,

若B为空集,则方程狈=1无解，解得。=°；

11,1、

x=——=-1—=2

若6不为空集，则。。0；由。x=l解得a,所以。或a,解得。=-1或

1

a——

2,

综上，由实数。的所有可能的取值组成的集合为12J,故选口

4.(2020•安徽省泗县开学)若集合'=一""+1<0}=0,则实数。的取值范围是

()

{a10<a<4}{a10<a<4}「{a10<a<4}n{a\0<a<4}

设/(x)=aj(2—ax+l

当a=0时，/(x)=l>°,满足题意；当"0时，/(x)时二次函数

2>2

=<r|6ZX-ar+l<O)=0_f(x\=ax-ax+\△/八

因为L,所以八)恒大于0,即TO

所以/—4a4°,解得0Wa<4.

4=但ax2+2x+a=0,aeR

5.（2020•江西南昌二中月考）已知集合若集合N有且

仅有两个子集，则“的值是（）

A.1B.-1C.0,1D.-1,0,1

因为集合/有且仅有两个子集，即为0和集合N本身，

故集合Z中的元素只有一个，即方程。/+2%+。=°只有一个解,

当。=°时，原方程为2x=°,即x=°,符合题意；

当tzwO时，令4=2?-4/=0,a-+\

综上，。=一1,。=0或。=1可符合题意.故选：D.

A=-3x4-2=01

6.（2021•四川省泸县月考）已知集合

八{小2一小+2=0},若加8=以则加的取值范围为

由犬-3x+2=。解得x=l或x=2,所以力={1,2},因为=所以可能

8=。,{1},{2},{1,2},分别分析，当△=/-8<0即一2ga时8=。，符合

题意，再有根与系数的关系知，8=。，2}时，胆=3符合题意，8={1}，{2}不符合题意,

{m\m=3-2V2<m<2JI）

故填L或）

7.（2020・宝山・上海交大附中开学）设集合'=1'318=[机+1，2"+4],若A^B,则

实数m的取值范围是.

W+1<11「1-

...月0,...[2加+423,解得2.故L2」.

A=^x|-2<x<51

8.（2020•江苏宝应中学高三开学）已知集合

B=[x\m+\<x<2m-\}若BqZ,则实数”的取值范围是.

根据题意得：当8=0时，m+\>2m-1,解得桃42；

"2+1<2m-1

<w+1>-2

当3/0时，⑵“一"5,解得2（机<3.综上，加43.故答案为.（-8,3]

9.（2020•四川省泸县月考）已知集合"={X_2<X<5},B={x\m+\<x<2m-\]

若,求实数的取值范围.

由题：BqA

当+即机<2时，5=0,符合题意；

当m+1<2〃2-1,即m22时，B丰0,BqA,12加-145,得2<〃z<3；综上：

mG（-00,3]

A=—2x-15>01

10.（2020•宜宾市叙州区校月考）设£

5={x|a+l<x<2a-l}>且此。屋，求实数。的取值范围

A=,产-2X-15>o}={x|xv-3或％〉5}/.CRA=^x|-3<x<5J

•••8={x|a+lV-l}BeCRA

,，且

当5=0时，解得：a<2.

+l<2a-1a+1<2。一1

<a+l>—3<2+1>-3

当人。时，［2a-145,或

2°-1<5即2<。43.综上所述，实数a的取值范

围为〃-3・

A=

5={^|log（xa）21}

11.（2020•全国月考（理））已知集合3

若064,是“xG8”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

A-<x<1>

由〔

，,Wx2-6>0BPx<-2Wcx>3/.A={x\x<-2Wcx>3}

由10g3（x+a）21,得x+a“，即在3-。，贝U8={x|x工3-a}

由题意知：B*A：.3—aN3,得aSO.故（一8,0]

12.（2020•河南高三其他（文））若关于x的不等式（xi）（x—3）<°成立的充要条件是

2<x<3,则。

因为2<x<3是不等式——3）<°成立的充分条件，所以。42,

因为2<x<3是不等式(x—a)(x-3)<0成立的必要条件，所以24。43,故a=2.故2

13.（2020•钦州市月考（理））命题“大。二,使C"+l）x；一叫〉+“一14°”是假命题,

则实数加的取值范围为.

*0GR