(四川专用)高三数学大一轮复习讲义27函数的图象理新人教A版

§2.7函数的图象2014高考会这样考1.考察基本初等函数的图象；2.考察图象的性质及变换；3.考察图象的应用．复习备考要这样做1.会画一次函数、二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数的图象；2.掌握常有的平移、伸缩、对称三种图象变换；3.利用图象解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，稳固数形联合思想．1．描点法作图方法步骤：(1)确立函数的定义域；(2)化简函数的分析式；(3)议论函数的性质即奇偶性、周期性、单一性、最值(甚至变化趋向)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换平移变换对称变换①y＝f(x)对于x轴对称y＝－f(x)；――→对于y轴对称②y＝f(x)――→y＝f(－x)；③y＝f(x)对于原点对称y＝－f(－x)；――→x且a≠1)对于y＝x对称y＝logax(a>0且a≠1)．④y＝a(a>0――→翻折变换①y＝f(x)保存x轴上方图象y＝|f(x)|.――→将x轴下方图象翻折上去②y＝f(x)保存y轴右侧图象，并作其y＝f(|x|)．――→对于y轴对称的图象伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax)．②y＝f(x)a>1，纵坐标伸长为本来的a倍，横坐标不变y＝――→a倍，横坐标不变0<a<1，纵坐标缩短为本来的af(x)．[难点正本疑点清源]1．数形联合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热门．作函数图象首先要明确函数图象的形状和地点．2．图象的每次变换都针对自变量而言，如从f(－2x)的图象到11f(－2x＋1)的图象是向右平移2个单位．此中的x变为x－2.3．要理解一个函数和图象自己的对称性和两个不一样函数图象对称关系的不一样．1．函数y＝1－1的图象是x－1( )答案B1分析将y＝－x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可获得函数y＝11－x－1的图象．2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为

(

)A．y＝fC．y＝f

(|x|)(－|x|)

BD

．y＝|f(x)|．y＝－f(|x|)答案

C－x，x≥0分析y＝f(－|x|)＝，x<0.fx3．函数y＝2x－x2的图象大概是( )答案A分析因为2x－x2＝0在x<0时有一解；在x>0时有两解，分别为x＝2和x＝4.所以函数y＝2x－x2有三个零点，故应清除B、C.又当x→－∞时，2x→0，而x2→＋∞，故y＝2x－x2→－∞，所以清除

D.应选

A.4．

(2012·湖北

)已知定义在区间

[0,2]

上的函数

y＝f(x)的图象如图

所示，则

y

＝－

f

(2

－x)

的图

象为(

)答案

B分析当x＝1时，y＝－f(1)＝－1，清除A、C.当x＝2时，y＝－f(0)＝0，应选B.5．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A.[－1，1＋22]B.[1－22，1＋22]C.[1－22，3]D.[1－2，3]答案C分析由y＝3－4x－x2，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．∴曲线y＝3－4x－x2是半圆，如图中实线所示．当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|2.2∴b＝1±22.由图可知b＝1－22.∴b的取值范围是[1－22，3].题型一作函数图象例1分别画出以下函数的图象：(1)y＝|lgx|；x＋2(2)y＝2；2x＋2(3)y＝x－2|x|－1;(4)y＝x－1.思想启示：依据一些常有函数的图象，经过平移、对称等变换能够作出函数图象．lg

x

x≥1

，解

(1)y＝

图象如图①.－lg

x

0<x<1将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.x2－2x－1x≥0(3)y＝x2＋2x－1x<0.图象如图③.33(4)因y＝1＋x－1，先作出y＝x的图象，将其图象向右平移1x＋2个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x－1的图象，如图④.研究提高(1)娴熟掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反1比率函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋x的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．作出以下函数的图象：(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝10|lgx|.解(1)当x≥2，即x－2≥0时，2129y＝(x－2)(x＋1)＝x－x－2＝x－2－；4当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－12＋9.24129x－－，x≥2，y＝129－x－2＋4，x<2.这是分段函数，每段函数的图象可依据二次函数图象作出(如图)．当x≥1时，lgx≥0，y＝10|lgx|＝10lgx＝x；|lgx|－lgx11当0<x<1时，lgx<0，y＝10＝10＝10lgx＝x.x，x≥1，y＝1x，0<x<1.这是分段函数，每段函数的图象可依据正比率函数或反比率函数图象作出(如图)．题型二识图、辨图例2函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同向来角坐标系下的图象大概是( )思想启示：在同一坐标系中判断两个函数的图象，可利用两个函数的单一性、对称性或特点点来判断．答案C分析f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而获得，所以函数图象经过(1,1)点，且为单一增函数，明显，A项中单一递加的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不知足；1－x1x函数g(x)＝2＝2×2，其图象经过(0,2)点，且为单一减函数，B项中单一递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不知足；D项中两个函数都是单一递加的，故也不知足．综上所述，清除A，B，D.应选C.研究提高函数图象的识辨可从以下方面下手：从函数的定义域，判断图象的左右地点；从函数的值域，判断图象的上下地点；从函数的单一性，判断图象的变化趋向；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断图象的周而复始；从函数的特点点，清除不合要求的图象．(1)(2012·泰安模拟)函数y＝x＋cosx的大概图象是( )(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如下图，则在(－2,0)上，以下函数中与f(x)的单一性不一样的是( )A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋12x＋1，x≥0C．y＝x3＋1，x<0ex，x≥0D．y＝e－x，x<0答案

(1)B

(2)C分析

(1)∵y′＝1－sin

x≥0，∴函数

y＝x＋cos

x

为增函数，清除

C.又当x＝0时，y＝1，清除A，ππ当x＝2时，y＝2，清除D.∴选B.f(x)在(－2,0)上为减函数，可逐一考证．题型三函数图象的应用例3已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.求函数f(x)的单一区间，并指出其增减性；求会合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．思想启示：利用函数的图象可直观获得函数的单一性，方程解的问题可转变为函数图象交点的问题．解f(x)＝x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞x－22＋1，x∈1，3作出函数图象如图．函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不一样的交点(如图)．由图知0<m<1，∴M＝{m|0<m<1}．研究提高(1)利用图象，可察看函数的对称性、单一性、定义域、值域、最值等性质．利用函数图象能够解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．(1)(2011

·课标全国

)已知函数

y＝f

(x)的周期为

2，当x∈[

－1,1]

时

f(x)＝x2，那么函数

y＝f(x)的图象与函数

y＝|lg

x|

的图象的交点共有

(

)A．10

个

B

．9

个C．8

个

D

．1

个(2)直线

y＝1

与曲线

y＝x2－|

x|

＋a有四个交点，则

a的取值范围是

________．5答案

(1)A

(2)1<

a<4分析

(1)察看图象可知，共有

10个交点．x2－x＋a，x≥0，(2)y＝x2＋x＋a，x<0，作出图象，如下图．1此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－4，要使y＝1与其1有四个交点，只要a－4<1<a，5∴1<a<4.高考取的函数图象及应用问题高考取和函数图象相关的题目主要有三种形式：一、已知函数分析式确立函数图象典例：(2012·课标全国)已知函数f(x)＝ln1－x，则y＝x＋1f(x)的图象大概为()考点剖析此题考察识图能力，考察对函数性质的灵巧应用．求解策略策略一(函数性质法)函数f(x)知足x＋1>0，ln(x＋1)－x≠0，即x>－1且ln(x＋1－x－x≠0，设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝x＋1－1＝x＋1.因为x＋1>0，明显当－1<x<0时，g′(x)>0，当x>0时，g′(x)<0，故函数g(x)在x＝0处获得极大值，也是最大值，故g(x)≤g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，故函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(0，＋)，且函数g(x)在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f(x)的值域也是(－∞，0)，且在x＝0邻近函数值无限小，察看各个选项中的函数图象，只有选项B中的图象切合要求．策略二(特别值查验法)当x＝0

时，函数无心义，清除选项

D中的图象，1

1

1当x＝e－1

时，f

e－1

＝

ln

1e－1＋1

－

1e－1

＝－

e<0，清除选项A、C中的图象，故只好是选项B中的图象．1(注：这里选用特别值x＝e－1∈(－1,0)，这个值能够直接排除选项A、C，这类取特值的技巧在解题中很实用途)解后反省(1)确立函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形联合的思想．对于给出图象的选择题，能够联合函数的某一性质或特别点进行清除．二、函数图象的变换问题典例：若函数y＝f(x)的图象如下图，则函数y＝－(x＋1)的图象大概为( )考点剖析此题考察图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言．求解策略要想由y＝f(x)的图象获得y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象对于而后再向左平移一个单位获得步骤可知C正确．答案C

x轴对称获得y＝－f(x)的图象，y＝－f(x＋1)的图象，依据上述解后反省对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，能够先进行平移变换，也能够先进行伸缩变换，要注意变换过程中二者的差别．三、图象应用典例：议论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．考点剖析此题考察绝对值的意义，考察分类议论思想和数形联合思想．求解策略能够利用函数图象确立方程实数根的个数．设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右侧图象可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．解后反省利用函数图象确立方程或不等式的解，形象直观，表现了数形联合思想；解题中要注意对方程合适变形，选择合适的函数作图.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每题5分，共20分)1．把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数的分析式是(

)A．y＝(x－3)

2＋3

B

．y＝(x－3)

2＋1C．y＝(x－1)

2＋3

D

．y＝(x－1)

2＋1答案

C分析

函数

y＝(x－2)2＋2

的图象向左平移

1个单位，将此中的x换为x＋1，获得函数y＝(x－1)2＋2的图象；再向上平移1个单位，变为y＝(x－1)2＋3的图象．2．若函数f(x)＝loga(x＋b)的大概图象如图，此中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大概图象是( )答案B分析由f(x)＝loga(x＋b)的图象知0<a<1,0<b<1，则g(x)＝ax＋b为减函数且g(x)的图象是在y＝ax图象的基础上上移b个单位，只有B合适．3．(2011·陕西)设函数f(x)(x∈R)知足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是( )答案B分析因为f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象对于y轴对称，所以A、C错误；因为f(x＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期，D错误．所以选B.11x4．(2012·北京)函数f(x)＝x2－2的零点的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案B分析将函数零点转变为函数图象的交点问题来求解．11x在同一平面直角坐标系内作出y1＝x2与y2＝2的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．11x所以函数f(x)＝x2－2只有1个零点．二、填空题(每题5分，共15分)5．已知以下曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.请按曲线A、B、C、D的次序，挨次写出与之对应的方程的编号________．答案④②①③分析按图象逐一剖析，注意x、y的取值范围．如下图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上挪动，一直保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MNy，则函数y＝f(x)的图象大概是________．答案③分析过M作ME⊥AD于E，连结EN.222则BN＝AE＝x，ME＝2x，MN＝ME＋EN，即y2＝4x2＋1，y2－4x2＝1(0≤x≤1，y≥1)，图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分．2x≥2，7．(2011·北京)已知函数f(x)＝x，若关x－13，x<2.于x的方程f(x)＝k有两个不一样的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)分析画出分段函数f(x)的图象如下图，联合图象能够看出，若f(x)＝k有两个不一样的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不一样的交点，k的取值范围为(0,1)．三、解答题(共25分)x8．(12分)已知函数f(x)＝1＋x.画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单一区间．解x1f(x)＝1＋x＝1－x＋1，函数f(x)的图象是由反比率函数y1＝－x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位获得，图象如下图．由图象能够看出，函数f(x)有两个单一递加区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．19．(13分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋x＋2的图象关于点A(0,1)对称．求f(x)的分析式；a若g(x)＝f(x)＋x，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，务实数a的取值范围．解(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P对于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，11即2－y＝－x－x＋2，∴y＝f(x)＝x＋x(x≠0)．aa＋1a＋1g(x)＝f(x)＋x＝x＋x，g′(x)＝1－x2.g(x)在(0,2]上为减函数，a＋12∴1－x2≤0在(0,2]上恒建立，即a＋1≥x在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．B组专项能力提高一、选择题(每题5分，共15分)3x，x≤1，1．(2012·厦门模拟)函数f(x)＝1则y＝f(xlog3x，x>1，＋1)的图象大概是( )答案B分析将f(x)的图象向左平移一个单位即获得y＝f(x＋1)的图象．2．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )答案A分析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，清除B项．又g(x)在x＝0处无心义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，清除C、D两项．13．(2011·课标全国)函数y＝1－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象全部交点的横坐

标

之

和

等

于(

)A．

2

B．

4

C．

6D．8答案

D分析

令1－x＝t

，则

x＝1－t

.由－2≤x≤4，知－2≤1－

t≤4，所以－

3≤

t≤3.又y＝2sin

πx＝2sin

π(1

－t

)＝2sin

πt

.1在同一坐标系下作出

y＝t

和

y＝2sin

πt

的图象．由图可知两函数图象在

[

－3,3]

上共有

8个交点，且这

8个交点两两对于原点对称．所以这

8个交点的横坐标的和为

0，即

t1＋t

2＋＋

t

8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋＋1－x8＝0，所以x1＋x2＋＋x8＝8.二、填空题(每题4分，共12分)1x4．(2012·课标全国改编)当0<x≤2时，4<logax，则a的取值范围是________．2答案2，1x与y＝logx的大概图象知，分析易知0<a<1，则由函数y＝4a1只要知足loga2>2，解得a>

22

，∴

22

<a<1.5．用

min{

a，b，c}表示

a，b，c

三个数中的最小值．设

f(x)＝min{2