2021北京一七一中学高二（上）期中数学（教师版）

17/172021北京一七一中学高二（上）期中数学（时长：120分钟总分值：150分）一、选择题1.若数组，1，和，，满足，则实数等于（）A. B. C. D.2.关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.设第一象限的点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（）A. B.4 C. D.324.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A.4 B.C. D.5.两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间距离为A.0 B. C. D.6.已知，，，四点中恰有三点在椭圆上，则（）A8 B.6 C.4 D.27.已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.8.直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（）A. B.C. D.9.若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则（）A.1 B. C. D.210.已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（）A.3 B.2 C. D.二、填空题11.直线的倾斜角是________.12.过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______．13.已知方程表示双曲线，则的取值范围是_______________________．14.若点是抛物线上一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为______．15.曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围为_________.16.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为______．三、解答题17.在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，.（1）求证：平面FBC；（2）线段ED上是否存在点Q，使平面平面QBC？证明你的结论.18.已知两点及圆.为经过点的一条动直线.（1）若直线经过点，求证：直线与圆相切；（2）若直线与圆相交于两点从下列条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．19.已知椭圆的左右焦点分别为､，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）求直线被椭圆截得的弦长.20.已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上.21.已知集合对于，，定义A与B差为A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：，且;（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个偶数(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：（P）≤.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题1.若数组，1，和，，满足，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题得，1，，1，，化简解方程即得解.【详解】解：，，1，，1，，，解得．故选：C．2.关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】利用题中的条件，假设甲乙都对，根据逻辑关系可以推出矛盾，进而可以确定选项．【详解】解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，椭圆焦距为：，且焦点在轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙，丙和丁是真命题时，，，，此时椭圆方程为：，符合题意，故甲是假命题．故选：．3.设第一象限的点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（）A. B.4 C. D.32【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义或焦半径公式求得，代入抛物线方程可得．【详解】，则，．由题意，，所以，又，所以．故选：A．4.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A4 B.C. D.【答案】D【解析】【详解】因为点关于点对称，所以有，解得．所以点到原点的距离为，故选D5.两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间的距离为A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两平行直线的系数之间的关系求出,把两直线的方程中的系数化为相同的,然后利用两平行直线间的距离公式,求得结果.【详解】直线l1与l2平行,所以,解得,所以直线l2的方程为:,直线:即,与直线:的距离为:.故选:C【点睛】本题考查直线平行的充要条件,两平行直线间的距离公式,注意系数必须统一,属于基础题.6.已知，，，四点中恰有三点在椭圆上，则（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】由椭圆的对称性可得都在椭圆上，又在椭圆上与在椭圆上矛盾，故不在椭圆上，即得解【详解】由于椭圆关于轴对称，且，关于轴对称故必然同时在或不在椭圆上，由于四点中恰有三点在椭圆上故都在椭圆上又若在椭圆上，则，因为都在椭圆上，有两个等式矛盾，故不在椭圆上因此，，三个点在椭圆上故，，解得则故选：D7.已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解；【详解】解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.8.直线经过，两点，那么直线倾斜角的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围.【详解】解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.9.若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】结合圆的几何性质列方程，化简求得的值.【详解】圆即，圆心为，半径为，故焦点，双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，所以，解得.故选：A.10.已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，通过，即可求出内切圆的半径.【详解】解析：因为椭圆为，所以a=5，b=3，；当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，故选:D.【点睛】关键点睛:本题的关键是结合三角形面积的两种求法，得关于内切圆半径的方程，从而求出半径.二、填空题11.直线的倾斜角是________.【答案】【解析】【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出．【详解】解：设直线的倾斜角为，则，，，．【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系，当倾斜角时，斜率，属于基础题．12.过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______．【答案】【解析】【分析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.【详解】解：由得，所以圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得，所以直线l的方程为，即，故答案为：.13.已知方程表示双曲线，则的取值范围是_______________________．【答案】【解析】【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可.【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，即，所以的取值范围是，故答案为：.14.若点是抛物线上一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，则可得的最小值为点到抛物线准线的距离，即可得出答案【详解】抛物线的焦点为，准线为，过作准线的垂线，交准线于由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，所以所以的最小值为4，故答案为：415.曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到曲线表示圆的上半圆，作出曲线和直线的图形，再根据图形即可得到答案.【详解】由，可得，即()，所以，曲线表示圆的上半圆，作出曲线与直线如下图所示：当直线与圆相切且切点在第二象限时，且有，解得，当直线过点时，，此时，直线与曲线有两个公共点；有.故答案为：16.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】取中点，可得平面，可判断点的轨迹在线段上，可求出点到棱的最大值，即可得出.【详解】由正方体的性质可知，当位于点时，，满足题意，当点位于中点时，,则,所以，故，又，所以平面，故点的轨迹在线段上，由，可得为锐角，而,所以点到棱的最大值为，所以面积的最大值为.故答案为：三、解答题17.在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，.（1）求证：平面FBC；（2）线段ED上是否存在点Q，使平面平面QBC？证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC,证明见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得，再利用已知和线面垂直的判定定理即可证明；

（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直来判断即可.【详解】解：（1）证明：，，在中，由余弦定理可得，，..又，，平面FBC.（2）线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.证明如下：因为平面FBC，所以.因为，所以平面ABCD.所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系.等腰梯形ABCD中，可得.设，所以，，，，.所以，，.设平面EAC的法向量为，则，所以，取，得.假设线段ED上存在点Q，设，所以设平面QBC的法向量为，则，所以，取，得.要使平面平面QBC，只需，即，此方程无解.所以线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.【点睛】本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.18.已知两点及圆.为经过点的一条动直线.（1）若直线经过点，求证：直线与圆相切；（2）若直线与圆相交于两点从下列条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．【答案】（1）证明见解析；（2）条件①：；条件②：.【解析】【分析】根据题意，圆心，半径．（1）方法一：求出直线和的斜率，求出，可得，即可证明结果；法二：求出直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，即可证明结果；（2）选择条件①：直线平分圆，可得直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果；选择条件②：直线的斜率为，求出直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果.【详解】解：根据题意，圆心，半径．（1）法一：若直线经过点，由满足，可知，点在圆上.直线的斜率，所以.所以直线与圆相切.法二：若直线经过点，则直线的方程为.圆心到直线的距离为所以直线与圆相切.（2）选择条件①：直线平分圆，此时，直线过圆心，方程为点到直线的距离所以，选择条件②：直线的斜率为，直线的方程为此时，圆心在直线上，点到直线的距离所以，19.已知椭圆的左右焦点分别为､，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）求直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由上顶点坐标可得；利用勾股定理可构造关于的方程，结合椭圆关系可求得，由此可得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式可直接求得结果.【详解】（1）是椭圆的上顶点，；由椭圆对称性知：，又，，是等腰直角三角形，，即，，解得：；椭圆的方程为：；（2）设直线与椭圆交于两点，由得：，则，，，，即直线被椭圆截得的弦长为.20.已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上.【答案】（