2018北京丰台长辛店一中初三（上）期中数学（教师版）

15/152018北京丰台长辛店一中初三（上）期中数学一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）1．（2分）以为顶点的二次函数是A． B． C． D．2．（2分）如图，已知，和相交于点，，则为A． B． C． D．3．（2分）如图，在中，，，，则的值为A． B． C． D．4．（2分）用配方法求的顶点坐标，配方正确的是A． B． C． D．5．（2分）如图，在平行四边形中，点在边上，若，且，相交于点，则的值为A． B． C． D．6．（2分）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是A． B．或 C． D．7．（2分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为A． B． C．， D．，8．（2分）小阳在如图①所示的扇形舞台上沿匀速行走，他从点出发，沿箭头所示的方向经过点再走到点，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为（单位：秒），他与摄像机的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的A．点 B．点 C．点 D．点二、填空题（共8小题；每题2分，共16分）9．（2分）计算：．10．（2分）已知，，则，．11．（2分）二次函数中，顶点坐标是，最小值是．12．（2分）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是．13．（2分）将二次函数的图象，向下平移2个单位，向左平移3个单位，将得到新的图象的解析式为．14．（2分）点，在抛物线上，则．（填“”，“”或“”15．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为．16．（2分）对于三个数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，2，；，2，；，2，．解决下列问题：（1）填空：，，；（2）如果，，，则的取值范围为．三、解答题（共10小题；共68分）17．（6分）计算：．18．（6分）如图，在中，，是边上一点，于点．若，，，求的长．19．（6分）已知：中，，，于点，，解这个直角三角形．20．（7分）已知：二次函数的图象过点和两点．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式；（2）求出函数图象与轴、轴的交点坐标．（3）当取何值时，随的增大而增大．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．（1）求，的值；（2）连接，点是函数上一点，且满足，直接写出点的坐标（点除外）．22．（7分）如图，小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处正东500米的处，测得海中灯塔在北偏东方向上，则灯塔到环海路的距离等于多少米？23．（7分）“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数（件与销售单价（元满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元，那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？24．（7分）表是二次函数的部分，的对应值：01232（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，的值为；（2）当时，的取值范围是；（3）当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围是．25．（7分）已知：关于的一元二次方程：．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形，将图形向右平移一个单位，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，写出的取值范围．26．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为．（1）的值为；（2）若抛物线与轴正半轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值；（3）点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围．

参考答案一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）1．【分析】将各个选项中函数的顶点坐标写出来，即可判断哪个符合题意．【解答】解：函数的顶点坐标为，故选项不符合题意；函数的顶点坐标为，故选项不符合题意；函数的顶点坐标为，故选项不符合题意；函数的顶点坐标为，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式，可以写出顶点坐标．2．【分析】由，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，通过，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证得是解题的关键．3．【分析】根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在中，，，，由勾股定理，得．，故选：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．【分析】根据配方法将题目中的函数解析式化为顶点式，即可判断哪个选项中是正确的．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的三种形式，解答本题的关键是会用配方法将二次函数解析式化为顶点式．5．【分析】根据四边形是平行四边形，可知，，可得，平行线截线段成比例的应用可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，故选：．【点评】本题主要考查了平行四边形，平行线截线段成比例的应用，熟练掌握平行四边形和平行线截线段成比例是解决问题的关键．6．【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可．【解答】解：由图可知，时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足的的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．7．【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，抛物线与轴另一个交点坐标为．的解为，．故选：．【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与轴的另一个交点坐标是解题的关键．8．【分析】根据小阳运动轨迹，结合图①与②，确定出摄像机所在的固定位置即可．【解答】解：从图②图象上观察得到小阳沿着匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远，观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的点．故选：．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化过程是解本题的关键．二、填空题（共8小题；每题2分，共16分）9．【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．【分析】根据锐角三角函数和勾股定理可求出答案．【解答】解：，，，，故答案为：6，．【点评】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键．11．【分析】将函数解析式化为顶点式求解．【解答】解：，抛物线顶点坐标为，开口方向向上．函数最小值为3．故答案为：；3．【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是将函数解析式化为顶点式求解．12．【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可得出，解之即可得出的取值范围．【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，，解得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出是解题的关键．13．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：将二次函数的图象，向下平移2个单位，向左平移3个单位，将得到新的图象的解析式为：，即．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．14．【分析】分别计算自变量为、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当时，；当时，；，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．【分析】设树的高度为，根据相似三角形的性质即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设树的高度为，根据题意得：，解得：．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用以及解一元一次方程，利用相似三角形的性质列出关于的一元一次方程是解题的关键．16．【分析】（1）根据，，表示这三个数中最小的数即可得到结论；（2）根据题中的运算规则得到不等式组求解即可．【解答】解：（1），，，，，故答案为：；（2）由题意得：，解得：．故的取值范围是；故答案为：0，1．【点评】本题考查了算术平均数，解一元一次不等式组，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．三、解答题（共10小题；共68分）17．【分析】先进行零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后合并求解．【解答】解：原式．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，属于基础题．18．【分析】证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可．【解答】解：，，，又，，，即，解得，，由勾股定理得，．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．【分析】在直角中，已知，，就可求出，的长，再在直角中，依据边角的关系就可以求得，的长．【解答】解：，．．又于．．，．在直角三角形中，，，，．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为的形式；（2）令，解得的值，可得出函数图象与轴的交点坐标，令，解得的值，可得出函数图象与轴的交点坐标．（3）根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）把和代入得：，解得：，二次函数的表达式为：，；（2）令得，解得或3，函数图象与轴的交点坐标为和，令得，函数图象与轴的交点坐标为；（3），抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大．【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．21．【分析】（1）将点代入，求出的值，得到点坐标，再把点坐标代入，求出的值；（2）设点的坐标为，根据列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）直线经过点，，．函数的图象经过点，；（2）设点的坐标为，，，化简整理，得，解得，，，，经检验，，，，都是原方程的根，点与点不重合，点的坐标为，，．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出的值是解题的关键．22．【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出和，根据它们之间的关系，构建方程解答．【解答】解：由已知得，在中，，．在中，，．解得，．（米，答：灯塔到环海路的距离等于米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．【分析】根据题意得出每天获得的利润，转换为，于是求出每天获得的利润最大时的销售价格．【解答】解：根据题意得：，，，当时，有最大值，最大值为200元．答：当销售单价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是200元．【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点；解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．24．【分析】（1）由表中所给、的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令代入可求得的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当时，可知其有最小值，无最大值，可求得的取值范围；（3）在中，令代入，结合条件可得到关于的不等式，可求得的取值范围．【解答】解：（1）把点，和代入二次函数解析式可得，解得，二次函数解析式为，二次函数图象开口向上，顶点坐标为，令，代入可得，故答案为：上；；2；（2），当时，有最小值，当时，，故答案为：；（3）在中，令代入可得，抛物线的顶点在直线的下方时，，解得，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．25．【分析】（1）根据要证方程有两个不相等的实数根，只要证出△，即可得出答案；（2）利用二次函数的对称性得出对称轴是轴，进而得出的值即可；（3）画出翻转后新的函数图象，由直线，确定出直线移动的范围，求出的取值范围．【解答】（1）证明△．该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知轴是抛物线的对称轴，故，解得．此抛物线的解析式为．（3）如图，当直线经过时，可得，又因为，故可知在的下方，当直线经过点时，，则，由图可知符合题意的的取值范围为时，直线；与此图象有两个公共点．【点评】本题考查了根的判别式以及二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．26．【分析】（1）根据对称轴公式：代入计算，可求；（2）把代入后，令，计算出与轴交点，写出点的坐标，点是对称轴与轴的交点，所以；（3）分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在轴上时，与抛物线只有一个交点，则△；②如图2，当抛物线过点时，代入可求；③如图3，