单调性 省赛获奖

探索神奇的数学世界函数的单调性双辽一中宋春华

函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),x∈A

复习回顾

函数的实质体现两个变量x、y之间的变化关系。

实例分析随着时间的推移气温是怎么变化的?图为某地区2011年4月某天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：y

024681012141618202224x

2468-2①0到4时温度逐渐降低，4到13时温度逐渐升高，13到16时温度逐渐降低，16到18时温度逐渐升高，18到24时温度逐渐降低。②最高气温是8o,最低气温是-2o。函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。

请同学们观察下面三个函数在相应区间上的函数图像，然后指出这三个函数的图像有什么共同特征？它们反映了函数的什么变化规律？创设情境aboxyoxyoxyy＝f1(x)y＝x3y＝f2(x)

新知探索

在给定区间上：①从左向右图像逐渐上升。②y随x的增大而增大。cd增函数

合作探究如何用数学语言、从自变量与函数值的变化规律的角度描述函数的这种变化规律？oxyx1x2f1(x)f2(x)增函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当时，都有，那么就说函数f(x)在这个区间D上是增函数，区间D称为函数y＝f(x)的增区间。定义x1＜x2f(x1)<f(x2)注意增函数：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2)

，那么就说函数f(x)在这个区间D上是增函数，区间D称为函数y＝f(x)的增区间。①存在”两个值x1、x2

与“任意”两个值

x1、x2之间的区别。yoxx1f1(x)x2f2(x)yOx123-1-2-3-112345(-1,-1)(2,4)y＝x2x2f2(x)x2f2(x)②增区间为定义域的子集yox-1-4.524

自主建构——类比

增函数oxyx1x2f1(x)f2(x)增函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2)

，那么就说函数f(x)在这个区间D上是增函数，区间D称为函数y＝f(x)的增区间。

自主建构——类比

减函数oxyx1x2f1(x)f2(x)

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说函数f(x)在这个区间D上是减函数，区间D称为函数y＝f(x)的减区间。

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。

函数的单调性

练习巩固

例1

下图是定义在区间[-5，5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每个单调区间上，它是增函数还是减函数？oxy-5-3-2-112345-4-1-2123一般地，设函数y＝f(x)的义域为I，如果存在实数M满足：1、（1）对于任意的x∈I都有f(x)≤M；（2）存在xo∈I，使得f(xo)＝M。那么，我们称M是函数的最大值。2、（1）对于任意的x∈I都有f(x)≥M；（2）存在xo

∈I，使得f(xo)＝M。那么，我们称M是函数的最小值。

练习巩固

例2请同学们分别作出函数y=1/x、y=x-2、y=-x+2、y=x2的图象,写出单调区间。Oyx123-1-2-3-1-2-3123Oyx123-1-2-3-1123456Oyyxx123-1-2-1-2123412-1-2-3-112345O注①函数的单调区间之间不能写成并集。②函数的单调性只是针对某个区间而言，有些函数在整个定义域上不是单调的，但是在定义域的某些区间上却存在单调性。即：函数的单调性是一个局部的性质。一次函数y=kx+b的单调性由k的正负决定。二次函数的单调性由对称轴决定。

练习巩固

例3请同学们思考下列问题：（1）定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1),那么

f(x)是R上的增函数还是减函数？（2）已知f(x)=1/x，因为f(-1)<f(2),是否可以说函数

f(x)是增函数？（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在(1，3)上为增函数是否正确？

思悟小结（1）函数的单调性概念；（2）利用图像判断函数的单调性；（3）函数的最值；（4）一次、二次函数单调性的判断。知识线（1）观察分析能力；（2）总结概括能力；（3）数学语言表述问题的能力。能力培养