概率论理工电子类

第一节随机变量离散型随机变量第二节随机变量的分布函数第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布2.1.1随机变量的概念2.1.2离散型随机变量及其分布律2.1.3常见离散型随机变量及其分布律第一节随机变量离散型随机变量2.1.1随机变量的概念1定义：对样本空间S上的任何一个样本点e，有唯一确定的实数X(e)与之对应，则称为随机变量（rv）。随机变量常用大写字母

等表示，

（Randomvariable）

等表示．

其取值常用相应的小写字母

第一节离散型随机变量及其分布律解释：变量？随机？2.作用：随机变量简化随机事件的表示。随机事件是以静态、孤立的观点研究随机现象，

随机变量是以动态、全面的观点研究随机现象．

例1.

在灯泡寿命试验中，{灯泡的寿命不低于1000小时}可用随机变量X表示为{X≥1000}.

例2.

用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}.

例3.{正面朝上}可以表示为{X=1}.

产品合格、不合格3.随机变量的类型⑴离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列个.⑵非离散型随机变量

连续型随机变量;既非离散型亦非连续型随机变量（混合型）.

定义1

若随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个,则称X为离散型随机变量.随机变量X的所有可能取值可写成一列：2.1.2离散型随机变量及其分布律

定义2称函数为离散型随机变量X的分布律。X

x1

x2

…

xn

…

p1

p2

…

pn

…

分布律常用表格来表示：

注：分布律可完整刻画离散型随机变量的概率分布．

利用分布律可求任意事件的概率:

正则性:

非负性:

分布律的基本性质：作业3例1

一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X的概率分布.解依题意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}

P{X=1}X0123P{X=k}1/21/41/81/8X的分布律为=P{第一个路口绿且第二个路口红}

=1/4,

=P{第一个路口红灯}

=1/2,

例2

盒中有2白球、3红球．从中任取3个，求取得的白球数X的分布律．作业1问最多取出1个白球的概率是多少？X01

2

P{X=k}X的分布律为解：依题意,X的可能取值为0,1,2.

P{X=0}=P{3红}=

P{X=1}=P{1白2红}=

P{X=2}=P{2白1红}=

2.1.3、几种常见的离散型随机变量及其分布律一、（0-1）分布定义:如果随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为

(0＜p＜1，p+q=1)即XP10p

q则称X

服从（0-1分布），(p为参数),记作X～b(1,p).或1、贝努利试验的定义（Bernoulli）

若试验E具备以下特征：

1)在相同的条件下可以进行n次重复试验；

2)每次试验只有两种可能的结果，A发生或A不发生；

3)在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；

4)各次试验是相互独立的。则称这种试验为n重贝努利试验，或n重贝努利概型。例如：

一枚硬币抛

n

次；抛n次骰子（A表示出现3点，A逆表示不出现3点）；袋中有a个白球，b个黑球。从袋中任取一球，A表示取得白球，若有放回的连续取n次，是此试验。不放回则不是。二、二项分布2、二项概率公式

假设在一次试验中，事件A发生的概率为p，即P(A)=p，那么，在n次重复试验中事件A出现k次的概率是多少？(0≤k≤n)

设X表示在n重贝努利试验中事件A出现的次数，则X是一个离散型随机变量。设Ai={A在第i次试验中发生}(1≤i≤n)，

P(Ai)=p，

(1≤i≤n)P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k，k=0,1,2,…,n.注意：用到互不相容和相互独立两个概念。二、二项分布

注1：当n=1时，二项分布为退化为(0－1)分布.二、二项分布显然,则称X服从参数为n，p的二项分布,记作X~b(n,p).定义：如果随机变量X的分布律为使P{X=k}取得最大值的k称为二项分布的最可能值或最可能成功次数.

3、二项分布的最可能值可证，二项分布的最可能值为

例6

连续抛一枚均匀硬币2n次，求正面出现的的最可能次数．

（n）(2)P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}

例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求（1）恰好8粒发芽的概率;（2）不少于8粒发芽的概率;（3）能发芽的概率。作业4解:

设X表示种子发芽的粒数，则X的所有可能取值为0,1,…,10,且X~b(10,0.7)，所求事件的概率为注：二项分布的近似计算（泊松定理）:>0为常数（应用条件：n很大而p又很小时，一般p<0.1,n>20时）会查表（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率解：设X表示同时发生故障的台数，则X～b(n,0.01)

由于n较大，p较小，可用泊松分布作近似计算,其中λ=np(1)n=30，p=0.01，λ=0.3，所求概率为

（2）若3人共同维修90台设备呢？(2)n=90，p=0.01，λ=0.9,所求事件概率为例5.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率:作业6

（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？（4）3人各自负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率解：(3)设配备M名工人，已知n=400，p=0.01，则λ=4，由题意P{X≥M+1}≤0.02得查表得M+1≥10，即M≥9，需配备９名工人.（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率

（2）若3人共同维修90台设备呢？例5.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率:

（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？（4）3人各自负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率（4）设Ai分别表示甲、乙、丙各自负责维修30台设备，发生故障不能及时维修，i=1,2,3.则P（A1UA2UA3）=例6

某人进行射击，设每次射击的命中率为0.03,独立射击300次,求至少击中两次的概率.作业5解设击中次数为X，则

所求概率为注：关于小概率事件，不能轻视。

小概率事件原理（实际推断原理）：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．只要试验次数很多，且试验是独立地进行，那么小概率事件的发生是几乎可以肯定的．三、泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~(λ).定义:如果随机变量X的分布律为(其中λ＞0是常数)

注背景：一定时间或空间稀有事件发生次数．如，某段时间内电话交换台接到呼唤的次数，某一地区某时间间隔内发生交通事故的次数．放射性物质放射出阿尔法粒子。

解：设X表示呼叫数，由题意知X

～

(3)，则（3）P{X=2}=P{X≥2}－P{X≥3}=0.80085－0.57681=0.22404（2）P{X＜6}=1－P{X≥6}=1－0.08392=0.91608（1）P{X≥6}（1）呼叫次数不小于6；（2）呼叫次数小于6；（3）呼叫数恰好为2.可查表例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:4.超几何分布(X~h(N,M,n)),

若X的分布律为定义

称X服从参数为N,M,n的超几何分布(0≤k≤M≤N,n≤N)

背景一般模型：有N个球，其中M个红球．现从这中任取n个，则恰有m（m≤M）个红球的概率为

2、性质设随机变量X的分布函数为F(x),则1、定义设X为随机变量，对于任意实数x，称函数F(x)=P{X≤x}(-∞<x<∞)为随机变量X的分布函数。第二节随机变量的分布函数注：若将X看成数轴上的随机点，则可解释为随机点X落在区间上的概率．x（1）0≤F(x)≤1（3）F(x)是x的单调的不减函数；（4）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续函数。(2)例子：

抛均匀硬币

110掷均匀骰子X:点数01234561F(x)=P{X≤x}(-∞<x<∞)xX3、计算利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率

P{X≤b}=F(b)P{a<X}=1-P{X≤a}=1-F(a)例1.

设X的分布函数为求（1）常数A、B；（2）（2）解；（1）由分布函数的性质知得

解得:解:(1)当x<0时，

F(x)=P{X≤x}＝Ｐ(Φ)=0当0≤x<1时，

F(x)=P{X≤x}＝P{X=0}=1/3当1≤x<2时，

F(x)=P{X≤x}＝P{X=0}+P{X=1}=1/3+1/6=1/2当2≤x时，F(x)=P{X≤x}＝P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1即其图像为12oF(x)的图形是如图所示阶梯的曲线，在X=0，1，2处有跳跃点，跳跃距分别为1/3,1/6,1/2．总结：离散型随机变量的分布函数(2)法一：特别注意：F(1)与P{X=1}不是一回事！法二：一连续型随机变量及其概率密度二常见的连续型随机变量的分布第三节连续型随机变量及其分布引例.靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.解:

若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是若0≤x<2，由题意得若x≥2，则有所以，§2.3连续型随机变量易见，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中引例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.2.3.1连续型随机变量及其概率密度一、定义：设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使得则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.注1：F（x）为连续函数。即连续型随机变量的分布函数为连续函数。注2：f（x）不一定连续。如：引例(4)(5)连续型随机变量，取任何实数a的概率等于0.如：由性质(5)可得二、性质：

(1)

f(x)≥0曲线下x轴上所围面积为1（在F(x)不可导的点，f(x)可任意取值，不影响积分的值）反之，已知f（x），积分可求F（x）。由以上性质得5条结论（P48），尤其注意结论4例1.设随机变量X的密度函数为作业8求(1)常数A;(3)分布函数F(x).（4）画图解:(1)由于f(x)是一个密度函数,解得A=2/3注:(1)若概率密度中含有待定常数，可由确定.(2)Ｘ取值于某区间的概率等于其密度函数在对应区间的积分.例1.设随机变量X的密度函数为作业9

，10

求(1)常数A；(3)分布函数F(x).（4）画图当0≤x＜1时，当1≤x＜2时，当x≥2时,说明：注意分布函数的自变量取值范围的划分.（3）当x<0时,分布函数为例2.设连续型随机变量的分布函数为

求：(1)X的密度函数f(x)；

(2)P{1<X<2}.解：(2)P{1<X<2}=F(2)-F(1)(一)均匀分布如果随机变量X的概率密度为分布函数为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X～U（a,b）.

X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关．2.3.2常见连续型随机变量的分布0abx例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率.作业11解：故X的概率密度为P{y2+2Xy+9=0有实根}=P{X≥3}+P{X≤-3}因为X～U（2,8），(二)指数分布其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布,X～E（λ）.分布函数为

注1：指数分布常用来作“等待时间”和各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布．作业12

若随机变量X的密度函数为2.3.2常见连续型随机变量的分布注2：指数分布的无记忆性，即P{X>s+t|X>s}=P{X>t}0x例4.

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分）服从参数λ＝1/5的指数分布。等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去，若其一个月到银行5次，以Y表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.解：

p=P{X>10}=1-P{X≤10}=所以Y的分布律为(三)正态分布1.定义若X的概率密度为分布函数：F(x)x其中μ,σ(，σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ

的正态分布或高斯分布,记作X～N（μ,σ2）f(x)0x2.3.2常见连续型随机变量的分布Gauss

2.正态分布的密度函数f(x)的图形的性质

曲线关于x=μ对称.

当x=μ时，函数f(x)达到最大值。即

P{μ-h＜X≤μ}

=P{μ＜X≤μ+h}(2)f(x)μf(x)μμ+hμ-h拐点(μ±σ，f(μ±σ));水平渐近线：x轴.

-

+

(3)固定σ，改变μ值，曲线f(x)形状不变，仅沿x轴平移.(4)固定μ，改变σ值，则σ愈小时，

f(x)图形的形状愈陡峭，X落在μ附近的概率越大.μ1μ2f(x)xf(x)xσ=2σ=0.5σ=1性质:

也称为f(x)的位置参数.

也称为f（x）的尺度参数.3.标准正态分布X~N（0，1）当μ=0，σ=1时(标准正态分布)-xx1-Φ(x)Φ(-x)标准正态分布的性质4.查标准正态分布函数表计算概率

4)P{|X|≥1.54}=1-P{|X|≤1.54}例5.设X～N（0，1）,计算P{X≤2.35}；

P{-1.64≤X＜0.82}；P{|X|≤1.54}；P{|X|≥1.54}1）P{X≤2.35}=Φ（2.35）=0.99062）P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.74343)P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)–Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.87641)2)5.正态分布函数查表计算X~N(,2)(2)P{X＞-2}=1-

P{X≤-2}==0.9332=1－φ(-1.5)=φ(1.5)=0.9938-0.9332=0.0606=1-[φ(1.5)-φ(-2.5)]=φ(2.5)-φ(1.5)(3)P{|X|＞4}=1-P{|X|≤4}=1-

P{-4≤X≤4}解：(1)=0.9772－0.6915=0.2857例6.

设X~N(1，4)，求：(1)P{2＜X＜5}；

(2)P{X＞-2}；

(3)P{|X|＞4}.作业13，14，15设X~N(,2),则

P{|X

|<3

}=0.9974.

应用中,通常认为P{|X-|≤3}≈1，而忽略{|X-|>3}的值.如在质量控制中,常用标准指标值±3

作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.6、正态分布的“3”原则3原则：尽管X的取值是从

但离中

心位置3

之内几乎是可以肯定的.7.标准正态分布的上α分位点0.0010.0050.010.0250.050.10

3.0902.5762.3271.9601.6451.282

解:(1)所求概率为=1-0.84=0.16

(2)设一周内迟到次数为Y，离散型随机变Y~B(5,0.16),

所求概率为例7.某人上班所需的时间（单位:分）X～N(50,100),已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）某天迟到的概率；（2）某周(以5天计)最多迟到一次的概率.P{X>60}=1-F(60)P{Y≤1}例8.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:

设车门高度为hcm,按设计要求得P{X≥h}≤0.01或P{X<h}≥0.99因为X～N(170,62),故P{X<h}=F(h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98=184

设X~N(,

2),则随

的增大，概率P{|X|<

}()①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③课堂练习

设X~f(x),f(x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意实数a>0，有()①F(a)=1

②F(a)③F(a)=F(a)④F(a)=2F(a)1设X的概率密度为

则k的取值范围为

．x

0

1/3136②2.4.1离散型随机变量的函数的分布2.4.2连续型随机变量的函数的分布第四节随机变量的函数的分布

随机变量的函数：设X为随机变量,则Y=g(X)

也是一个随机变量，且当X取值x时,Y取值y=g(x).如例1.

已知X的概率分布为

X-10125

0.30.10.20.150.25

求(1)Y=2X+1；(2)Y=X2

的概率分布.作业15解:(1)Y-113511

P0.30.10.20.150.25(2)Y01425

P

0.10.3+0.20.150.252.4.1离散型随机变量函数的分布

若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得.关键点：保持“概率行”不变，改变“取值行”的值．2.4.2连续型随机变量函数的分布例2.设随机变量X具有密度求随机变量的概率密度.作业16，17，18法1.分布函数法

一般地，若已知fX(x),求其函数Y=g(X)的fY(y)分两个步骤：

10

根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y)；20

对y求导,求出fY(y).Y的分布函数为FY(y),习惯上：设X

的分布函数为FX(x),Y的概率密度为fY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}例2.设随机变量X具有密度求随机变量的概率密度.解：

解:，a＜0，，a＞0，

，a＜0，，a＞0，=