2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷及答案

2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•丰台区期末）已知/（2,愿），B（1,0）,则直线的倾斜角为（）

A.2LB.c.22LD.1ZL

6336

2.（2020秋•西城区期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则复数W=（）

A.2-iB.I-2zC.2+iD.l+2z

3.（2020秋•平谷区期末）已知圆的方程（x+3）2+（y-2"=4,那么圆心和半径分别为（）

A.（-3,2）,2B.（3,-2）,2C.（-3,2）,4D.（3,-2）,4

4.（2020秋•海淀区校级期末）某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则

不同的投递方法共有（）

A.45种B.54种C.空种D.空种

5.（2020秋•房山区期末）下列双曲线中以歹=±2乂为渐近线的是（）

2222

A.乂2上=1B./工=iC.丫2工4D.y2_—=i

x4x24y2

6.（202（）秋•海淀区校级期末）如图，正方形/8CO与矩形ZCE尸所在平面互相垂直，AB

=&,/尸=1,A/在E尸上，且〃平面则M点的坐标为（）

A.（1,1,1）B.（亚,亚，1）C.（返,返，1）D.（返,返，1）

332244

7.（2020秋•海淀区校级期末）已知空间向量a=3,2,5）,芯=（1,x,-1）,且之与

彘直，则x等于（）

A.4B.IC.3D.2

8.（2016•陕西模拟）如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI-PM25历史数据的折线

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图，以下结论不正确的是（)

指数数值与等级水平表:

指数0〜5051-100101-150151〜200201〜300>300

等级一级优二级良三级轻度四级中度五级重度六级严重

污染污染污染污染

A.6月份空气质量为优的天数为8天

B.6月份连续2天出现中度污染的概率为2

29

C.6月份北京空气质量指数/0/-PM2.5历史数据的众数为160

D.北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好

9.（2020春•宁德期末）若X〜N（1,。），则尸印-。<X<u+。）=0.6827,尸（口-2

OVXWR+2。）=0.9545,已知X〜N（l,32）,则P（4VXW7）=（）

A.0.4077B.0.2718C.0.1359D.0.0453

10.（2020秋•平谷区期末）如图，在三棱柱N8C-4出1。中，CCi，底面48C,ACVCB,

点。是上的动点.下列结论错误的是（）

A.ACLBC\

B.存在点。，使得4G〃平面CD81

C.不存在点。，使得平面。8i_L平面/48山

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D.三棱锥出-CD81的体积是定值

二.填空题（共5小题）

11.（2020秋•丰台区期末）己知圆（X+3）2+（y-1）2=~（厂＞0）与X轴相切，则厂=.

12.（2021•武侯区校级模拟）设（x-2^—aAX^ayci+a^+aix+ao,则a1+02+03+04=.

13.（2020秋•平谷区期末）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容

量为25的样本，那么个体m被抽到的概率是.

14.（2020秋•房山区期末）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如表所

z5.

男生女生

有参加滑雪运动打算810

无参加滑雪运动打算1012

从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率

为;若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率

为.

15.（2020•迎泽区校级二模）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若

能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题

的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级

下一轮的概率为.

三.解答题（共6小题）

16.（2020秋•丰台区期末）如图，已知正方体力88-小81。。1的棱长为2,M为441的

中点.

（I）求证：48〃平面MCDi；

（II）求平面M2。与平面C\CD\夹角的余弦值.

17.（2020秋•西城区期末）已知圆C过原点O和点/（1,3）,圆心在直线夕=1上.

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（I）求圆c的方程；

（II）直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

18.（2020秋•平谷区期末）在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好

中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家

自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高

二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[0,1）,

[1,2）,[2,3）,[3,4）,[4,5）,[5,6）,[6,7）,[7,8]（单位：小时）的数据，整理

得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.

（I）由图中数据，求。的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生

该天居家自主学习的时间在[3,4）的概率；

（II）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[0,1）和[1,2）的人中任选2

人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[0,1）中至少有1人的概率；

（111）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100

名学生该天居家自主学习时间的平均数.

19.（2021•五华区校级模拟）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球

7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：

（I）第一次摸到红球的概率；

（II）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率：

（III）第二次摸到红球的概率.

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22

20.(2015秋•海淀区期末)已知椭圆G：1上=i(a>b>0)的离心率为工，经过左焦

a2b22

点Q(-1,0)的直线/与椭圆G相交于4,8两点，与y轴相交于C点，且点C在线

段48上.

(I)求椭圆G的方程；

(II)若川=|C印求直线/的方程.

21.(2020秋•海淀区校级期末)已知椭圆沙:式工=1的左顶点为N(-2,0),动直

4mm

线/与椭圆”交于不同的两点P,。(不与点4重合)，点力在以P0为直径的圆上，点

P关于原点0的对称点为

(I)求椭圆印的方程及离心率；

(II)求证：直线尸。过定点；

(III)(i)求△P0A/面积的最大值；

(ii)若为直角三角形，求直线/的方程.

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2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•丰台区期末）已知4（2,B（1,0）,则直线月8的倾斜角为（）

A.—B.—c.22LD.12L

6336

【考点】直线的倾斜角.

【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算.

【分析】先求出直线Z8的斜率，由此能求出直线的倾斜角.

【解答】解：•.〕（2,愿），B（1,0）,

...直线AB的斜率％=空应=«,

1-2

二直线N8的倾斜角为三.

3

故选:B.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

2.（2020秋•西城区期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则复数W=（）

A.2-zB.1-2/C.2+iD.1+2Z

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.

【专题】整体思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】直接利用复数的几何意义及共扼复数的定义即可求解.

【解答】解：由复数的几何意义可知，复数z对应的点的坐标是（2,1）,

则z=2+if

故z=2-i.

故选：A.

【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用，共辄复数的定义，属于基础题.

3.（2020秋•平谷区期末）已知圆的方程（/3）2+（厂2/=4,那么圆心和半径分别为（）

A.（-3,2）,2B.（3,-2）,2C.（-3,2）,4D.（3,-2）,4

【考点】圆的标准方程.

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【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】利用圆的标准方程的性质求解.

【解答】解：圆的方程（x+3）2+（厂2）2=4,则其的圆心为（-3,2）,半径为2.

故选：A.

【点评】本题考查圆的圆心坐标和半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆

的标准方程的性质的合理运用.

4.（2020秋•海淀区校级期末）某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则

不同的投递方法共有（）

A.45种B.54种C.C4种D.种

55

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；排列组合：数学运算.

【分析】根据题意，分析可得每封信都有4种不同的投递方法，由分步计数原理计算可

得答案.

【解答】解：根据题意，某邮局有4个不同的信箱，则每封信都有4种不同的投递方法,

则5封不同的信，有4X4X4X4X4=45种不同的不同的投递方法，

故选：A.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

5.（2020秋•房山区期末）下列双曲线中以^=±2》为渐近线的是（）

2"y-4"y~2~

【考点】双曲线的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】利用双曲线的方程，求解双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可.

22

2

【解答】解：乂2-匚=1的渐近线方程为：x-^=0-即^=±2'，所以/正确;

44

乂2_春=1的渐近线方程为：了=土后，所以8不正确；

c21

y2一券=1的渐近线方程为：y=±氏,所以C不正确；

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丫2_/=1的渐近线方程为：y=士孚X，所以。不正确；

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

6.（2020秋•海淀区校级期末）如图，正方形488与矩形/CEb所在平面互相垂直，AB

="历，NF=1,"在EE上，且4W〃平面8ZM,则M点的坐标为（）

A.（1,1,1）B.（返,返，1）C.（返,返，1）D.（返,返，1）

332244

【考点】空间中的点的坐标.

【专题】空间位置关系与距离.

【分析】设NC、BD交于点、O,连结OE,由已知推导出是平行四边形，从而M

是力■的中点，由此能求出点”的坐标.

【解答】解：设/C、BD交于点O,连结。£,

:正方形/8C。与矩形NCEF所在平面互相垂直，4F=1

M在EE上，且/"〃平面8ZJE,

J.AM//OE,又/0〃£”,...O/ME是平行四边形，

二〃是E尸的中点，

*：E（0,0,1）,F（72，&，1）,

二〃（返返1）.

22

故选：C.

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【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法

的合理运用.

7.（2020秋•海淀区校级期末）已知空间向量之=（-3,2,5）,4=（Lx,-1）,且之与

式垂直，则x等于（）

A.4B.1C.3D.2

【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】根据之，总可得之元=。，解得X.

【解答】解：

/.a*b=_3+2x-5=0,解得x=4,

故选：A.

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

8.（2016•陕西模拟）如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI-PM25历史数据的折线

图，以下结论不正确的是（）

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指数0〜5051〜100101〜150151〜200201〜300>300

等级一级优二级良三级轻度四级中度五级重度六级严重

污染污染污染污染

A.6月份空气质量为优的天数为8天

B.6月份连续2天出现中度污染的概率为2

29

C.6月份北京空气质量指数/0/-PM2.5历史数据的众数为160

D.北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好

【考点】频率分布折线图、密度曲线.

【专题】数形结合；综合法；概率与统计.

【分析】对于46月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，

18日，19日，300,即可判断出真假；

对于8.6月份连续2天d的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29

天，第24和25天，即可得出概率；

对于C.6月份北京空气质量指数AQI-PM2.5历史数据的众数为42,即可判断出真假；

对于。.北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，即可判断出真

假.

【解答】解：46月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，

18日，19日，30日，天数为8天，因此正确；

8.6月份连续2天d的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，

第24和25天，所以概率为2,正确；

29

C.6月份北京空气质量指数PM2.5历史数据的众数为42,因此错误；

D.北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，正确.

故选：C.

【点评】本题考查了频率分布折线图、概率的有关计算，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

9.（2020春•宁德期末）若X〜N（1,。），则尸（R-。<X<p+。）=0.6827,尸（-2

。〈/口+2。）=0.9545,已知X〜N（1,32）,则尸（4<XW7）=（）

A.0.4077B.0.2718C.0.1359D.0.0453

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【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】对应思想：数学模型法：概率与统计；数学运算.

【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合。与2。原则求解.

【解答】解：若X〜N（l,。），则正态分布曲线的对称轴为x=l,

又X〜N（l,32）,二尸（4CXW7）=*尸（（•!-2。<XWH+2。）-P（p-o<Z^n+

。）］

=工（0.9544-0.6826）=0.1359.

2

故选：C.

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量H

和。的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.

10.（2020秋•平谷区期末）如图，在三棱柱/8C-m81cl中，CC1JL底面/8C,ACLCB,

点。是48上的动点.下列结论错误的是（）

A.ACVBC\

B.存在点。，使得〃平面

C.不存在点。，使得平面。平面448归

D.三棱锥小-C£）8i的体积是定值

【考点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理：数学运算.

【分析】对于4推导出NCLCG，ACVCB,从而平面BCOBi，进而

对于8,设8CiC8iC=O,连结OZ）,当。是N8中点时，ODHAC\、从而存在中点

D,使得〃平面CD8i；对于C,当时，存在点。，使得平面CDBi，平面

对于。，△出84的面积是定值，由48〃小81,知48〃平面///，。到平

面48c的距离是定值，进而三棱锥小-CDB\的体积是定值.

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【解答】解：对于4：在三棱柱/8C-481cl中，CGJ•底面48C,

：.ACLCC\,又ACLCB,CCgCB=C,CGu平面8CC181,CBu平面BCCiBi,

BCC\B\,又BCiu平面BCCiS，：.ACYBC\,故《正确；

对于8,设BCin8C=0,则。是8。中点，连结。£）,

则。是中点时，OD//AC、,

VJCi05?®CDB\,0£>u平面881,

存在Z8中点O,使得ZCi〃平面。81,故8正确；

对于C,•在三棱柱N5C-/181C1中，CCi_L底面NBC,

.•.44iJ_CD,.,.当CZ）_L4B时,由44”是平面44//中的相交线，得到CLLL平面

AA\B\Bi

•.•CDu平面C£）8i，.•.存在点。，使得平面CDS，平面441318,故C错误；

对于。，,••△4181C的面积是定值,AB//A\B\,平面/18C,/由1<=平面小8|C,

...48〃平面小81C,二。到平面/181C的距离是定值，...三棱锥/i-COBi的体积是定

值，故。正确.

故选：C.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，是中档题.

二.填空题（共5小题）

11.（2020秋•丰台区期末）已知圆（x+3）2+（y-1）2=7（厂>0）与X轴相切，则尸1.

【考点】圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】根据题意，由圆的标准方程分析圆的圆心和半径，又由圆与x轴相切可得r的

值，即可得答案.

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【解答】解：根据题意，圆(x+3)2+⑶-1)2=»(r>0),其圆心为(-3,1),半径

为r,

若该圆与x轴相切，则厂=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆的切线的性质，属于基础题.

12.(2021•武侯区校级模拟)设(%-2)4=a4X4+a3x3+ay^+a\x+ao,则.1+42+43+04=-

15.

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】先求出ao=16,再令x=l,可得要求式子的值.

【解答】解：：(x-2)4=a4X4+a3x3+a2x2+aix+ao>"**ao=(-2)4=16,

令X=l,可得1=16+。1+。2+。3+。4，

则a1+02+03+04--15,

故答案为：-15.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通

过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.

13.(2020秋•平谷区期末)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容

量为25的样本，那么个体机被抽到的概率是

4

【考点】简单随机抽样；等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理.

【分析】利用简单随机抽样，每个个体被抽到的概率都相等，再结合样本容量和总体容

量，分析求解即可.

【解答】解：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为工，

100

所以用简单随机抽样方式从该总体中抽取一个样本容量为25的样本，

则指定的某个个体抽到的概率是」_x25=--

10064

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了统计知识的理解和应用，解题的关键是掌握总体中每个个体被抽到

的概率都是一样的，属于基础题.

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14.（2020秋•房山区期末）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如表所

示.

男生女生

有参加滑雪运动打算810

无参加滑雪运动打算1012

从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率

为_工_;若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为一豆

59

【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】由频数统计表得：这个班级一共有40名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生

有8人，由此能求出从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑

雪运动打算”的概率；这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，由

此能求出抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率.

【解答】解：由频数统计表得：

这个班级一共有：8+10+10+12=40名学生，

其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，

，从这个班级中随机抽取一名学生，

则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为2=且=工.

405

由频数统计表得：

这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，

抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为

189

故答案为：1,A.

59

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

15.（2020•迎泽区校级二模）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若

能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题

的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级

第14页共25页

下一轮的概率为004608

【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计：数据分析.

【分析】由题意可得，第4个和第五个问题回答都正确，第3个问题回答不正确，前2

个问题至少有一个回答错误，再根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果.

【解答】解：由题意可得，第4个和第五个问题回答都正确，第3个问题回答不正确，

前2个问题至少有一个回答错误.

该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.8X0.8X0.2X(1-0.8X0.8)=

0.04608,

故答案为：0.04608.

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题.

三.解答题(共6小题)

16.(2020秋•丰台区期末)如图，已知正方体的棱长为2,M为/小的

中点.

(I)求证：小8〃平面

(II)求平面MCD\与平面CiCQi夹角的余弦值.

【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角：逻辑推理；直观

想象；数学运算.

【分析】(I)如图建立空间直角坐标系4-..求出平面的法向量为；，

甲=(2,0,-2)，计算即可证明48〃平面MCOL

(1[)利用平面的法向量；，平面CCA的法向量为屈=(o,2,0)，结合空间

向量的数量积求解平面MCDx与平面CCa夹角的余弦值即可.

【解答】(I)证明：如图建立空间直角坐标系/-町⑶

第15页共25页

因为正方体/8CO-/181GG的棱长为2,A(0,0,0)是/(0,0,0)的中点,

3^,

/"

X

所以4(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),M(0,0,1),

D\(0,2,2),Ai(0,0,2),B(2,0,0),

西=(0,2,1)，MC=(2,2,-1>

设平面A/CDi的法向量为u=(x,y,z),

u*MDi_09(2v+z=0

则|1BPJzyzu,

u-MC=0,l2x+2y-z=0

令y=l,贝i]z=-2,x=-2,所以u=(-2,1,-2),

因为不=(2,0,-2)，

所以不：=2X(-2)+0X1+(-2)X(-2)=(，

因为mBU平面MCZh，

所以Z13〃平面MC〃1.

(H)解：由(I)知，平面MCA的法向量；=(-2,1,-2),

又平面CiCOi的法向量为其二(0,2,0〉

设平面MCD\与平面C\CD\的夹角为。,

|u-AD|_2___1

则COS0=

cos<u,AD〉IluhlADl砺

所以平面“81与平面CiC。夹角的余弦值为工.

3

【点评】本题考查向量法求解直线与平面平行的方法，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力.

17.(2020秋•西城区期末)已知圆C过原点。和点/(1,3),圆心在直线y=l上.

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(I)求圆c的方程；

(II)直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.

【分析】(I)设圆C的圆心坐标为(〃，1),由已知列式求解a,进一步得到圆的半径,

则圆C的方程可求：

(II)由弦长求得圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，直线x=0符合题意；当

直线/的斜率存在时，设直线方程为丘-y=0,由圆心到直线的距离列式求解左，则直线

方程可求.

【解答】解：(I)设圆C的圆心坐标为(°,1),

2222,

依题意，^-\/a+l=-\/(a-l)+2

解得a=2.

从而圆C的半径为=="+]2=而,

...圆C的方程为(x-2)2+(")2=5：

(II)依题意，圆C的圆心到直线/的距离为2.

显然直线x=0符合题意：

当直线/的斜率存在时，设其方程为y=依，即履-y=0.

...圾期=2,解得k='.

E4

二直线/的方程为丫=—*安即3x+4y=0.

综上，直线/的方程为x=0或3x+4y=0.

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了分类讨论的

数学思想，是基础题.

18.(2020秋•平谷区期末)在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好

中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家

自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高

二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[0,1),

[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8](单位：小时)的数据，整理

第17页共25页

得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.

（I）由图中数据，求。的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生

该天居家自主学习的时间在［3,4）的概率；

（II）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在［0,1）和口，2）的人中任选2

人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在［0,1）中至少有1人的概率；

（Ill）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100

名学生该天居家自主学习时间的平均数.

【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算.

【分析】（I）利用频率分布直方图的性质能求出a,随机抽取的100名学生中居家自主

学习时间该天在［3,4）的频率为0.1,由此能求出从该校高二年级中随机抽取一名学生，

这名学生该天居家自主学习时间在［3,4）的概率.

（II）设“抽取的2人其中学习时间在［0,1）中至少有1人”为事件4由图中数据可

知：该天居家自主学习时间在［0,1）和［1,2）的人分别有2人和3人.设在［0,1）的2

人分别为a,6,在［1,2）的3人分别4B,C,从这5人中任选2人，利用列举法能求

出学习时间在［0,1）中至少有1人的概率.

（〃/）利用频率分布直方图能求出样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.

【解答】解：（1）因为（0.02+0.03+0.05+a+0.15X2+0.2+0.3）Xl=b

所以47=0.1.

由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在［3,4）的频率为0.1X1=

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0.1,

所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，

这名学生该天居家自主学习时间在［3,4)的概率为0.1.

(II)设“抽取的2人其中学习时间在［0,1)中至少有1人”为事件

由图中数据可知:该天居家自主学习时间在［0,1)和［1,2)的人分别有2人和3人.

设在［0,1)的2人分别为a,b,在［1,2)的3人分别4,B,C,

则从这5人中任选2人的样本空间={M,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC},

共有10个样本点，

事件/={",aA,aB,aC,bA,bB,hC},共有7个样本点，

所以学习时间在［0,1)中至少有1人的概率为p(A)=焉.

(III)样本平均数：

7=0.5X0.02+1.5X0.03+2.5X0.05+3.5X0.1+(4.5+7.5)X0.15+5.5X0.2+6.5X0

=5.38.

样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时.

【点评】本题考查概率频率分布直方图的应用，考查概率、平均数的求法，考查古典概

型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

19.(2021•五华区校级模拟)袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球

7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：

(I)第一次摸到红球的概率；

(II)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

(III)第二次摸到红球的概率.

【考点】条件概率与独立事件.

【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】先设事件出第一次摸到红球；事件3：第二次摸到红球，

(I)由袋中球的总数和红球的数目，结合古典概型公式计算可得答案，

(II)根据题意，计算尸(AB)的值，由条件概率公式计算可得答案，

(III)根据题意，计算尸(AB)、P(A8)的值，相加即可得答案.

【解答】解：根据题意，设事件4第一次摸到红球；事件&第二次摸到红球，

则事件A第一次摸到白球.

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(I)袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结

果共3种,

所以P(A)=—)

W10

(H)由(I)的结论，P(A)=§，前两次都摸到红球的概率=_3_x2=J_,

31010915

则P(即)=P(AB,)=2；

p(A)9

(III)p(A)=§，则尸C)=1-P=—<P<AS)=J_x_l=工，

101010930

则尸(5)=P(4B)+P(AS)=JL_+_L=且；

153010

所以第二次摸到红球的概率p(B)3

10

【点评】本题考查古典概型和条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题.

22

20.(2015秋•海淀区期末)已知椭圆G：江上=i(a>b>0)的离心率为工，经过左焦

a2b22

点91(-I,0)的直线/与椭圆G相交于力，8两点，与y轴相交于C点，且点C在线

段Z8上.

(I)求椭圆G的方程；

(II)若|/Q|=|C8|,求直线/的方程.

【考点】椭圆的性质.

【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(I)设椭圆焦距为2c,运用离心率公式和a,b,c的关系，即可得到椭圆方程:

(II)由题意可知直线/斜率存在，可设直线/：y=k(x+1),代入椭圆方程，运用韦达

定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程.

【解答】解：(I)设椭圆焦距为2c,

由已知可得且」，且c=l,

a2

所以4=2,即有序="2-。2=3,

22

则椭圆G的方程为心上=i；

43

(II)由题意可知直线/斜率存在，可设直线/：y=k(x+1),

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y=k(x+l)

由1V2v2消乃并化简整理得(4严+3)”+8底什4庐-12=0,

—+^—=1

I431

由题意可知A>0,设力(xi，yi),B(X2，J2)，

因为点c产1都在线段ZB上,且M尸11=13,

所以AF；二而，即(-1-xi，-yi)=(小歹2-yc)，

所以-1-X]=X2，即Xl+%2=-1»

解得卜2号，即卜=土喙.

所以直线/的方程为丫平6+1)或y=Xl(x+l>

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程

联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.

21.(2020秋•海淀区校级期末)已知椭圆人耳上=1的左顶点为力(-2,0),动直

4mm

线/与椭圆少交于不同的两点尸，。(不与点力重合)，点力在以产。为直径的圆上，点

P关于原点。的对称点为

(I)求椭圆〃的方程及离心率；

(II)求证：直线P。过定点；

(III)(i)求△PQM面积的最大值；

(ii)若△心0为直角三角形，求直线/的方程.

【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合.

【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学

运算.

【分析】(I)求出椭圆左顶点为/(-2,0),推出〃?，得到椭圆方程，然后求解离心

率即可.

第21页共25页

(II)设P(.x\,y\),0(孙歹2),当PQ_Lx轴时，0(xi,-yi)通过PAX.QA,利用还,赢=0,

求出直线尸。的方程为x=a.当夕。与x轴不垂直时，设尸。的方程为、=履+〃&wo),

5

与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量的数量积求出直线方程，得到直线夕。过定点

(4,0).

D

(III)(I)连接。O,因为。为中点，求出三角形面积的表达式，

SAPQI=2SAPOQ=2Xyx1-1yt-y2I=|-1yJ-y2P利用换元法，结合二次函数的

性质，求解面积的范围，得到最大值.

(a)设T(a,0)，通过

5

①当NQ尸M=90°时，②当NPQM=90°时，③当NQWP=90°时，判断是否满足条

件，转化求解直线方程即可.

【解答】(I)解：因为椭圆W：式工=1的左顶点为力(-2,0),

4mm

所以4加=4,所以m=l,

2,

所以椭圆w的方程为午+丫2=1，

a—2,b—\,所以c=V^

所以椭圆w的离心率为返.